Учебное пособие 1852

Подставляя это значение в соотношение (6.14), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции

Решение. Положим y p y . Тогда y dpdy p. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

Окончательно получим

6.2.2. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относи-

тельно искомой функции у и ее производных (n) , т.е. имеет вид

ные, причем a0 0 для всех значений х из той области, в которой рассматривается уравнение (6.15). Будем предполагать, что функции a0 , a1 ,...,an и f ( x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент a0 1 (если он не равен 1, все члены уравнения надо поделить на него). Функция f ( x) ,

стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если f ( x) 0, то уравнение называется линейным неод-

и называется линейным однородным или уравнением без правой части.

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь уравнениями второго порядка.

121

1. Если у1 и у2 – два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

y a1 y a2 y 0 , (6.17)

то у1 + у2 есть также решение этого уравнения.

2. Если у1 есть решение линейного однородного уравнения второго порядка (6.17) и С – постоянная, то Су1 есть также решение этого уравнения.

Определение. Два решения уравнения (6.17) у1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке а,b , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если

y1 const . В противном случае решения называются линейно y2

зависимыми.

3. Если у1 и у2 – два линейно независимых решения уравнения (6.17), то

у=С1 у1 + С2 у2,

где С1 и С2 – произвольные постоянные, есть общее решение этого уравнения.

6.2.3.Линейные однородные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Пусть имеем линейное однородное уравнение второго

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде y ekx , где k = const;

Тогда y kekx ; y k 2ekx.

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (6.18), имеем ekx (k 2 pk q) 0.

122

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (6.19), то e kx будет частным решением уравнения (6.18). Урав-

нение (6.19) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (6.18). Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозна-

Возможны следующие случаи:

1.k1 и k2 – действительные и притом не равные между собой числа;

2.k1 и k2 – действительные равные числа;

3.k1 и k2 – комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Корни характеристического уравнения действитель-

2. Корни характеристического уравнения действитель-

ные и равные. В этом случае k1= k2.

Одно частное решение y1 ek1x . Необходимо найти второе частное решение линейно независимое с первым (функция

Поэтому общим решением будет функция

3. Корни характеристического уравнения комплексные.

Пусть характеристическое уравнение имеет комплексные корни k1,2 i , тогда общее решение уравнения (6.18)

имеет вид

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

124

Важным частным случаем решения (6.22) является случай, когда корни характеристического уравнения мнимые. Это имеет место, когда в уравнении (6.18) р=0, и оно имеет вид y qy 0 .

Корни характеристического уравнения k1,2 iq i .

го условия получим 1=2 С2, т.е. С2=1/2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

y 12 e x sin 2x .

Тогда на основании начальных условий будем иметь систему уравнений для определения С1, С2. Доказано, что получаемая система всегда имеет решение.

6.2.4.Неоднородные линейные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Пусть имеем уравнение

где f ( x) 0, p и q - действительные числа.

125

Рассмотрим случаи, в которых правая часть уравнения имеет специальный вид, при котором можно обойтись без интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего решения y соответствующего однородного урав-

где у1 и у2 – линейно независимые решения уравнения (6.18), а С1 , С2 – произвольные постоянные, можем записать равенство

(6.24) в виде

у =С1 у1 + С2 у2 + у*.

Рассмотрим возможные случаи вида функции f ( x) .

1. Пусть правая часть уравнения (6.23) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

где Pn ( x) - многочлен n –й степени. Тогда возможны случаи: а) Число не является корнем характеристического

уравнения k 2 pk q 0.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

n – 1, Qn ( x) - многочлен степени n – 2. Таким образом, слева и

справа от знака равенства стоят многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

126

систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0 , A1 , A2 ,..., An .

б) Число есть простой корень характеристического уравнения.

В рассматриваемом случае частное решение нужно искать в виде

y xQn (x)e x .

в) Число есть двукратный корень характеристического уравнения.

Частное решение ищем в форме

y x 2Qn (x)e x .

Пример. Найти общее решение уравнения. y 4y 3y x.

Решение. Общее решение данного уравнения будем искать в виде y y y .

Составим характеристическое уравнение и найдем его

нем характеристического уравнения, то частное решение бу-

Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

4A0 3( A0 x A1 ) x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,

Пример. Найти общее решение уравнения. y 9 y (x 2 1)e3x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

(x 2 1)e3x имеет вид P2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического урав-

Пример. Найти общее решение уравнения. y 7 y 6 y (x 2)e x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

128

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x( Ax B)e x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax 2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7( Ax 2 Bx) 7(2Ax B) 6( Ax 2 Bx)]e x

(x 2)e x

или ( 10Ax 5B 2A)e x (x 2)e x . Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

Общее решение y y y будет

ния определяется следующим образом:

а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в виде

y e x U (x) cos x V (x) sin x ,

где U(x), V (x) - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов P(x), Q(x) ;

129