Учебное пособие 1852

b

Если f (x) 0

на a, b , то f (x)dx 0 и

a

b

b

S= f (x)dx

f (x)

dx .

a

a

2

Решение: S

dx

ln x

12

ln 2 ln1 ln 2 (кв. ед.).

x

1

y

y

0

+

2

0

xt

1

2

xt

Рис. 4

Рис. 5

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями y sin x

0 x 2 ; y 0 (рис. 5).

0

0 x

Решение: sin x

.

0

2x 2

2

2

S

sin x

dx sin xdx

( sin x)dx

0

0

70

x

y r 2

x 2 ,

откуда y

.

r 2 x2

Следовательно,

r

r

r

1

x2

r

x

L

1

dx

dx r arcsin

2 .

4

r 2

x2

r

r 2

x2

0

0

0

y

O

x

y

Рис. 6

1

1

Решение: V 4xdx 2x 2

2 (куб. ед.).

0

0

1.

y 4 x2 , y 0.

2. y 2 2 px, x h.

3.

y ln x, x e, y 0.

4. y x2 , y 2 x2.

5.

y x2 , y = 1. 6.

y cos2 x sin 2 x, y 0, x 0,

x / 4.

72

7.

y

x

1,

y 0, x 2, x 1.

8.

y sin x,

y x2 x.

9. y arcsin 2x, x 0, y / 2.

10.

y sin 2x,

y 1, x / 2, где

/4 x / 2.

11.

x2 y 2

1,

x 2.

12.

xy 4, x 4, y 4, x 0, y 0.

y x2 ,

y

x2 1,

13.

y x.

14.

y 0, x 2, x 2.

15.

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой

y x2 2x 2, касательной к ней в точке (3, 5) и осью Оу.

16.

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой

y x2 4x 3

и касательными к ней в точках (0, 3) и (3,0) .

19.

y

a

e x / a

e x / a от

x 0 до x a.

2

20.

y ln cos x

от

x 0

до

x / 6.

21.

y ln sin x

от

x / 3

до

x 2 / 3.

22.

y

x2

1

ln x

от

x 1

до

x e .

4

2

23.

y 2

4

(2 x)3

от

x 1 до x 2 .

9

24.

y x2 от

х = 0

до x 2 .

25.

x et sin t,

y et cos t,

0 t / 2.

26. Астроиды

x a cos3 t,

y asin3 t .

73

27. Кардиоиды a 1 cos , a 0,

0 2 .

y x2 ,

y

вокруг оси Ох.

30.

x

31.

y e x ,

x 0, x 1,

y 0 вокруг: 1) оси Ох;

2) оси Оу.

32.

y x2 1, y 0,

x 1,

x 2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Оу.

33.

y x3 ,

y 1, x 0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

34.

y x x2 ,

y 0 вокруг

каждой из следующих прямых:

1)

y = 0;

2)

x = 0; 3) x = 2;

4) x= 2;

5) y = 1;

6) y = 2.

35.

y ln x ,

y 0 ,

x = e вокруг каждой из следующих пря-

мых: y = 0; 2) x = 0;

3)

y = 1; 4) x = 1; 5) x = 1; 6) y = 1.

36.

y sin x ,

y = 0,

0 x вокруг каждой из следующих

прямых:

y = 0;

2) x = 0;

3) x 2 ;

4) x = 1;

5) x = 2;

6)

y = 1;

7)

y = 2.

37 x2 y 2 4,

y = 2,

y = 0 вокруг оси Ох.

38.

y x,

y x2 вокруг: 1)

оси Ох; 2)

оси Оу.

39.

y cos 2x ,

y 0,

x = 0, где,

0 x / 4 вокруг: 1) оси

Ох;

2) оси Оу.

40.

y sin x ,

y 0, где 2 х 3

вокруг каждой из следую-

щих

прямых: 1) y = 0;

2) x = 0;

3) х ;

4) y = 2.

41.

y 2x x2 ,

y 0

вокруг каждой из следующих прямых:

1) x = 0;

2)

y 0;

3) x = 1;

4) y = 1.

42.

y

4

,

x = 1,

x = 4,

y 0

вокруг: 1) оси Ох; 2)

оси Оу.

x

43.

y

1

,

x 1,

x 1,

y 0 вокруг: 1) оси Ох;

2) оси Оу.

1 x 2

44.

y x2 1,

y 3x 1

вокруг оси Оу.

Ответы

1. 32/3.

4

3. 1.

4. 8/3.

5. 4/3.

6. 1/2.

7. 11/2.

2.

h 2 ph.

3

8. 2 3 / 6.

2 .

9. 1/2.

10.

11.

2 3 ln(2

3).

4

12.

4 ln(4e).

13. 1/3.

14.

4.

15.

9.

16.

9/4.

8

1

a(e2

1)

1

17.

(10 10 1).

18.

5

ln(2

5).

19.

.

20.

ln 3.

27

2

2e

2

1

(e2 1).

1

ln(4

21.

ln 3.

22.

23.

4/3.

24.

17

17).

4

4

(e / 2

1) .

27. 8a. 28. ph2.

256

; 8 .

25.

2

26. 6a.

29.

15

30.

3

.

31.

(e2 1)

;

2 .

32.

178/15 ; 21/ 2.

10

2

33.

6

;

3

.

34.

;

;

;

5

;

11

;

19

.

7

5

30

6

2

66

30

30

35.

(e 2);

(e2

1)

; e;

(e2 3)

;

(e2 5)

; (4 e).

2

2

2

36.

2

; 2 2 ; 6 2 ; 2 ( 2); 2 ( 4);

(8 )

;

( 16)

.

2

2

2

75