Учебное пособие 1852
.pdf2.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей
Пусть имеется правильная дробно-рациональная функ-
ция:
(2.2)
(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:
Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 s x2 p2 x q2 p ...
Тогда дробь (2.2) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дро-
бей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Pn x |
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Qm x |
x x1 |
x x 2 |
|
x x k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
B1 |
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
... |
|
|
Bl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x x2 |
|
x x |
2 |
2 |
x x |
2 |
l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M1x N1 |
|
|
|
|
M 2 x N2 |
|
|
... |
|
|
M S N S |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 p1x q1 |
|
x2 |
p1x q1 |
2 |
x2 |
p1x q1 s |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P x Q |
|
|
|
|
|
|
P x Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P Q |
P |
|
|
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
||||||||||||||||||||||||
x2 p2 x q2 |
x2 |
|
p2 x q2 2 |
x2 p2 x q2 |
p |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Здесь A1, A2 ,...Ak ; B1, B2 ,...Be ,...M1, N1, M 2 , N2 |
и т.д. |
- некоторые коэффициенты.
Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.
20
x 2
Пример. Вычислить интеграл dx . (x 2)2 (x 1)
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей:
x 2 |
|
|
A |
|
B |
|
C |
. |
x 2 2 x 1 |
x 2 2 |
|
|
|||||
|
|
x 2 |
|
x 1 |
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.
|
|
A |
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 2 |
x 2 |
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 2 x 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax A Bx 2 Bx 2Bx 2B Cx 2 4Cx 4C |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 x 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C x 2 A B 4C x A 2B 4C x 2.
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем
x 2 |
B C 0 |
|
C B |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
A B 4C 1 |
|
A 3B 1 |
|
;9B 1; B |
; C |
;3A 4; |
||
|
|
9 |
9 |
||||||
x0 |
A 2B 4C |
2 |
A 6B 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 43 .
Подставим найденные коэффициенты в разложение
x 2 |
|
|
4 1 |
|
1 1 |
|
1 |
|
1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x-2 2 x 1 |
3 x 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9 x 2 |
|
9 x 1 |
Окончательно получим:
21
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
dx |
4 |
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x-2 |
2 |
x |
1 |
3 |
|
x 2 |
2 |
9 |
x |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 9 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 1 |
|
1 |
ln |
|
x 2 |
|
|
1 |
ln |
|
x 1 |
|
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 1)(x 1) |
(x2 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разложим дробь на простейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
Cx D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 x 1 x 2 1 |
x 1 |
x 1 |
|
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A x 1 x 2 1 B x 1 x 2 1 |
Cx D x 2 1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1 x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняем числители: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A x3 x2 x 1 B x3 x2 x 1 C x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 A 1 A |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x3 |
A B C 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
D 0 |
B |
|
; C 0, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x1 |
A B C 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
A B |
D 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
D |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 x 1 |
|
4 x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 4 1 |
|
|
|
|
|
2 x 2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
В результате |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
x4 1 |
4 |
|
x 1 |
4 |
x 1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x 1 |
|
|
1 |
arctgx c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
x D x2 1 1.
1dx
x2 1
2.8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
I. Универсальная тригонометрическая подстановка
Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, рациональной относительно sinx и cosx:
R cos x,sin x dx .
Спомощью замены переменной tg 2x t ( универсальная
тригонометрическая подстановка) вычисление данного инте-
грала сводится к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t, при этом функции sinx, cosx и dx выражаются через t и dt:
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
||
sin x |
2 |
|
|
|
; |
cos x |
|||
|
2 x |
|
1 t 2 |
||||||
1 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 2arctgt; dx |
|
2dt |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|
1 tg 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
||
2 |
|
|
; |
|||
1 tg |
2 |
|
|
1 t 2 |
||
x |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
dx |
|
2dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
t |
|
c ln |
tg |
c; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
sin x |
1 t 2 |
|
|
2t |
|
|
|
t |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin x |
|
2t |
, dx |
2dt |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
t 2 |
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3sin x 2 cos x 2 |
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2t |
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
6t 2 2t |
2 |
2 2t |
2 |
||||||||||||||||
|
1 t 2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2dt |
|
|
|
dt |
|
1 |
ln |
|
3t |
2 |
|
c |
1 |
ln |
|
3tg |
x |
2 |
|
c. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
6t 4 |
3t 2 |
3 |
3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако пользоваться универсальной тригонометрической подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.
II. Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.
1) Если интеграл имеет вид R sin x cos xdx , то подста-
новка sinx=t; cosxdx=dt приводит этот интеграл к виду
R t dt.
2) Если интеграл имеет вид R cos x sin xdx , то подста-
новка cosx = t, sin x dx= dt приводит интеграл к интегралу от рациональной функции.
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin x cos xdx |
cos x t |
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 cos2 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2t 2 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
sin xdx dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
4tdt |
1 |
|
2t 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 cos2 x 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
1 |
c |
|
|
ln |
|
|
|
c . |
|||||||||||
4 |
2t 2 1 |
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) Если подынтегральная функция зависит только от tgx, |
|||||||||||||||||||||||||
то замена tgx = t , |
x arctgt, dx |
|
dt |
|
приводит интеграл к |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралу от рациональной функции.
24
4) Если интеграл имеет вид R(sin x, cos x)dx , но |
sinx и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x входят только в четных степенях, |
|
|
то применяется под- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
становка tgx = t, |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dt |
,так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin2 |
x |
|
|
tg |
|
2 x |
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
; cos2 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
tg 2 x |
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
tg 2 x |
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
После подстановки получаем интеграл от рациональной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
tgx t |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
sin |
4 |
x cos |
2 |
x |
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 t 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t c |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
tgx c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3tg 3 x |
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
tgx t |
|
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x 4 |
|
|
1 |
|
|
4 |
1 4t 2 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4t 2 3 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
2tgx |
|
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Пусть интеграл имеет вид sinm x cosn xdx . Рассмот-
рим два случая.
а) sinm x cosn xdx , где m и n таковы, что по крайней
мере одно из них нечетное неотрицательное число. Допустим для определенности, что n нечетное. Положим n=2р+1 и преобразуем интеграл:
sinm x cos2 p 1 xdx sinm x cos 2 p x cos xdx
sin m x(1 sin2 x) p cos xdx.
Делаем замену переменной sinx = t, cos xdx=dt. Тогда
x cosn xdx = t m 1 t 2 p dt, а это есть интеграл от ра-
циональной функции от t.
Пример.
|
sin 3 x |
dx |
|
sin 2 x sin xdx |
|||||||||||||||
cos |
4 |
x |
|
|
cos |
4 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 t 2 dx |
|
|
dt |
|
dt |
|||||||||||||
|
|
t |
4 |
|
|
t |
4 |
|
t |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
c. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3cos 3 |
x |
cos x |
|
|
|
|
cos x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin xdx dt |
|
31t 3 1t c
б) sinm x cosn xdx , где m и n неотрицательные и
четные.
Для вычисления интеграла используем тригонометрические формулы:
sin2 x 12 (1 cos 2x), cos2 x 12 (1 cos 2x). 26
Пример. sin 4 xdx |
1 |
|
(1 cos 2x)2 dx |
2 |
|||
|
2 |
|
|
14 (1 2 cos 2x cos 2 2x)dx 14 [x sin 2x 12 (1 cos 4x)dx]
1 ( 3 x sin 2x sin 4x ) c. 4 2 8
2.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
1. Рассмотрим интеграл
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x, m x, n x,... dx = |
|
|||||||
|
|||||||||
|
|
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
m , x |
1 |
|
x, x |
|
n ,... dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть k – общий знаменатель дробей 1/m, 1/n, ... Сделаем
подстановку x= t k , dx ktk 1dt.
Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t, и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
Пример.
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x t 6 |
|
|
|
|
|
6t 5 dt |
|
t 3 dt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
3 |
|
x |
|
|
|
|
5 |
dt |
|
t |
3 |
t |
t 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx 6t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
t 3 1 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 6 t |
|
t 1 dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
t 3 |
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
t ln |
t |
1 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t 3 3t 2 6t ln t 1 c 2x 33 x 66 x ln 6 x 1 c;
t 6 x.
27
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax b |
|
|
|
|
ax b |
|
||
2. Рассмотрим интеграл вида |
|
m |
; |
n |
|
|
|||||
R x; |
|
|
cx d |
|
|
cx d |
|
;... dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем
замену: ax b t N , где N – наименьшее общее кратное чисел cx d
m, n. Выражаем х: ax b cxt N dt N ; x t N d b t .
Здесь х = φ(t) – рациональная функция от t, поэтому t
– тоже рациональная функция. Значит, и dx t dt является
рациональным выражением. В результате получим интеграл от дробно-рациональной функции.
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t 2 dt |
|
||||||||||||||||
|
J |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 1 |
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
t 3 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
3t 4 |
|
|
|
3 |
|
|
x 1 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
c |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 1 |
|
t 3 |
; x |
1 xt 3 t 3 ; x |
t 3 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
t 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3t 2 t 3 1 t 3 1 3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
dx |
dt |
|
6t 2 dt |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 3 1 2 |
|
|
|
|
|
t 3 1 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
t 3 |
1 |
|
|
1 |
t 3 |
1 t 3 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
t 3 |
1 |
|
|
|
|
|
t 3 1 |
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.10, №№ 17, 27, 33, 40, 62, 112, 124, 129, 130; 4, №№ 1337 1351, 1368 1370, 1372 1378, 1392 1396, 1410 1418].
28
Задачи для самостоятельного решения: [1, гл. 10, №№
159, 162, 166, 171, 174, 194, 197, 211], [4, №№ 1428 1435, 1453 1457, 1489, 1492, 1494 1497, 1501], [6, №№ 1707-1780, 1781-1789, 1832-1849, 2012-20217, 2022-2028, 2036-2042, 2090-2112].
Задачи для самостоятельного решения
|
|
Вычислить неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. (x2 3x3 |
|
x 1)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
x4 |
|
5 x 3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
dx. 4. (2 |
|
|
3 |
|
)dx. |
|
5. |
e |
|
2 |
|
|
|
x |
3 |
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. (sin x 5cos x)dx. 7. |
|
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x sin |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
x4 |
|
|
dx. |
10. |
|
3 2 ctg2 x |
dx. |
11. |
1 sin3 x |
dx.. 12. |
|
ctg2 xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
2 |
|
|
|
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. |
|
|
sin 2 |
|
|
x |
dx. |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
1 x2 |
|
dx. |
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16. |
|
|
|
2 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. 4x |
3 |
|
|
|
|
|
dx. |
|
x |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
22. e x 1
|
e x |
|
|
|
5x8 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
dx. 23. |
x |
4 dx. |
||
|
|
x |
|
|
|
|||
29 |
|
|
|
|
|
|
|