Учебное пособие 1852

Функция z=f(x,у) называется дифференцируемой в точке М0 (х0,у0), если полное приращение функции представимо в

жение x y является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с x и y , а частные

производные функции являются непрерывными функциями в некоторой окрестности точки М0(х0 ,у0).

Линейная по x и y часть полного приращения функ-

ции f (x, у) называется полным дифференциалом функции f(x,у) в точке М0 (х0,у0) и обозначается dz:

dz= f x (x0 , y0 ) х+ f y (x0 , y0 ) у или

Если функция f(x,у) дифференцируема в точке М0, то она непрерывна в этой точке.

Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет

вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.

Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M(x,y,z) непрерывные частные производные. Тогда из точки M(x,y,z) можно построить вектор, координатами которого являются частные производные функции в этой точке. Такой вектор называется градиентом функции в точке M(x,y,z)

Аналогично определяется градиент функции двух переменных u=f(x,y). Это – вектор на плоскости Oxy

Пример. Найти градиент функции u x2 y2 в точке

М1 (2,1).

Решение: grad u 2xi 2yj , grad u M1 4i 2 j .

Вектор grad z указывает направление наибыстрейшего роста функции z f x, y в данной точке, а его модуль ха-

рактеризует наибольшую скорость возрастания функции в этой точке.

5.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

вые функции двух переменных х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго поряд-

ными производными второго порядка. Смешанные производные второго порядка, вычисленные с помощью различной последовательности дифференцирования по переменным x и y ,

По аналогии можно получить полные дифференциалы третьего и т.д. порядков. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.

5.6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть неявно заданная функция z= f(x,y) определяется тождеством: F(x,y, f(x,y))=0.

Продифференцируем тождество по х, считая у постоянной величиной:

5.7. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности. Точка М0(x0,y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)<f(М0) или z=f(М) - f(М0)<0. Точка М0(x0,y0) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если

95

найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)f(М0) или z=f(М) - f(М0) 0.

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Следует отметить, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если функция

z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то

Экстремум следует искать либо в стационарных точках, то есть точках в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных не существует. Такие точки называются критическими. В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. О наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточного признака экстремума.

Достаточное условие экстремума. Пусть функция

z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а сама точка М0 является критической:

Тогда:

1.Если число = AC B2 >0, то точке М0 (х0 ,у0) функция f(х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число = AC B2 <0, то точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC B2 =0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

96

Пример. Исследовать на экстремум функцию z x3 y 3 9xy 27 .

5.8. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области D . В области D найдётся хотя бы одна точка, в которой функция принимает своё наибольшее значение M, и найдется хотя бы одна точка, в которой функция принимает своё наименьшее значение m: m f(x,y) M.

Точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значение, могут располагаться либо внутри, либо на границе области.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений необходимо:

1)найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции;

97

3) затем выбрать наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения

Получаем критическую точку M1(1, 12 ).

Рассмотрим границу области D , представляющую собой треугольник АОВ (рис. 9).

y

99