Учебное пособие 1828

точка М. Движение точки М происходит в вертикальной плоскости с постоянным ускорением g (рис. 1.19).

Определить: 1) уравнение траектории точки в неподвижной системе отсчета Оху, начало которой совпадает с точкой М в момент отделения ее от самолета; 2) расстояние l , на котором должна отделиться точка от самолета, чтобы попасть в точку А на поверхности Земли; 3) скорость точки М и

Рис. 1.19. угол между вертикалью в положении

А.

118

Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 2.1. Поступательное движение

Поступательным называют движение твердого тела, при котором все прямые, соединяющие любые две точки тела, перемещаются параллельно своим первоначальным положениям (сохраняют свою ориентацию в пространстве).

Теорема 2.1. При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек имеют одинаковую форму и при на-

чало в неподвижной точке О. Введем вектор AB . Этот вектор постоянен, так как постоянен его модуль (как расстояние между двумя точками в абсолютно твердом твердом теле), и сохраняется его направление в соответствии с поступательным движением тела. Поскольку в любой момент времени

ный вектор AB . Таким образом, траектории точек А и В действительно при наложении совпадут.

Теорема 2.2. При поступательном движении твердого тела для каждого момента времени скорости и ускорения всех точек тела соответственно равны между собой.

Доказательство. Для каждого момента времени верно ра-

венство rB rA AB , причем AB - постоянный вектор. Диф-

119

2.2.1. Угловая скорость При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

первую производную по времени от угла поворота тела называют угловой скоростью тела

Поскольку угол измеряется в радианах, единицей измерения угловой скорости в СИ является 1 с-1, что означает радиан в секунду.

Равномерным называют вращение твердого тела с постоянной угловой скоростью: = const. Из (2.2) следует, что d =

dt. Считая, что = const, после интегрирования, получаем = t + С. При t0 = 0 0 = 0, и, следовательно, C = 0. Отсюда

=t т.е.

Во многих случаях при описании вращательных движений удобно считать угловую скорость вектором. Вектор угловой скорости имеет модуль равный и направлен вдоль оси вращения тела или точки так, чтобы, глядя в направлении, противоположном направлению этого вектора, можно было видеть вращение происходящим против хода часовой стрелки.

В технике часто используется частота вращения, которая измеряется числом оборотов в минуту. Из (2.3) следует, что угловая скорость для равномерного вращения является углом поворота в единицу времени. За один оборот тело описывает угол 2рад, а если тело имеет n об/мин, то за минуту оно опишет угол 2 n рад. Отсюда следует, что за 1 с угол поворота тела

2.2.2. Угловое ускорение

121

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси первую производную по времени от угловой скорости тела называют его угловым ускорением

Единица измерения [ ] = 1/с2. Сравнивая (2.2) и (2.5), находим

Во многих случаях при описании вращательных движений удобно считать угловое ускорение вектором. Вектор углового ускорения имеет модуль равный и при вращении относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения тела или точки так же, как и вектор при 0 , или в противоположном направлении при 0 .

Равнопеременным называют вращение твердого тела, при котором величина углового ускорения постоянна = const. Из (2.5) d = dt. Интегрируя и считая, что при t0 = 0 = 0, получаем

2.2.3.Линейные скорость, касательное

инормальное ускорения

Из математики известно, что = r , где r - радиус окружности, - криволинейная координата точки на окружности, а - центральный угол, соответствующий координате и выраженный в радианах. Учитывая (1.10), (1.21), (1.23), (2.2)

122

и (2.5), получаем выражения для линейной скорости и касательного и нормального ускорений точки

Согласно (2.10) и (2.11), модуль полного ускорения точки

Полное ускорение образует с нормальным ускорением точки угол

§2.3. Способы передачи вращательного движения

Втехнике механизмы, служащие для передачи движения называются механизмами.

Передача вращательного движения от одного вала к другому может происходить за счет силы трения. Если передача движения происходит при непосредственным соприкосновении колес, роликов, закрепленных на валах механизма, то механизм, передающий движение называется фрикционной передачей. Если для передачи движения происходит между двумя телами вращения и используется промежуточное гибкое звено – ремень, канат или цепь, то передача называется соответственно ременной, канатной или цепной. Тела, которые взаимодействуют с ремнем называют шкивами. Тела, которые взаимодействуют с цепью называются звездочка-

123

ми. Тела взаимодействующие с канатом называются блоками.

Существуют передачи зацепления, в которых основные детали имеют соответствующим образом подобранные согласованные формы, а трение не играет существенной роли. К передачам зацепления относятся различные зубчатые и червячные передачи, передачи винт – гайка, волновые и т.д.

Если передача вращения телами происходит без проскальзывания точек этих тел друг относительно друга, то окружные скорости соприкасающихся точек на поверхностях тел (шкивов, зубчатых колес, роликов) должны быть равны, то есть v1 = v2.

Согласно (2.9),

порционально длинам окружностей колес и, следовательно,

Валы, шкивы (и т. д.), получающие вращение от других механизмов, называют входными, а передающие вращение другим механизмам - выходными.

Передаточным числом называют отношение угловой скорости входного вала к угловой скорости выходного вала. Без учета скольжения ремня по шкивам имеем

124

§ 2.4. Примеры решения задач

Пример 2.1. Два параллельных звена (кривошипа) O1A и O2B вращаются вокруг неподвижных осей O1 и O2 , причем угол поворота в период разгона изменяется по закону 3t 3 / 8 ; O1A = O2B =

l = 60 см. Определить скорость и ускорение точки M звена AB (ша-

туна) в момент времени t= 4/3= 1,333 с (рис. 2.3).

Решение. При произвольном угле четырехзвенник O1ABO2 — параллелограмм, и поэтому шатун AB, будучи все время параллельным O1O2, движется поступательно. Отсюда следует, что для каждого момента времени скорости и ускорения всех точек шатуна соответственно равны между собой и равны скорости и ускорению точки А - конца кривошипа O1A.

Согласно (2.2), (2.5), (2.9) и (2.12), получаем

Решение. Поскольку угловое ускорение постоянно, рассматриваемое движение является равноускоренным вращением. Согласно (2.8),

125

Пример 2.3. Дисковая пила 1 (рис. 2.4) имеет диаметр 600 мм. На валу пилы находится шкив 2 диаметра 300 мм. Шкив соединен бесконечным ремнем со шкивом двигателя 3 диаметром 120 мм. С какой угловой скоростью должен вращаться шкив

двигателя, чтобы скорость зубьев пилы не превышала 15 м/с. Определить передаточное число ременной передачи?

Решение. Пила 1 и шкив 2 жестко скреплены друг с другом и поэтому

имеют общую угловую скорость n. Согласно (2.9), скорость вершин зубьев пилы v 0,5d n , где

v = 15 м/c; dn = 600 мм = 0,6 м. Тогда n = 50 1/с. Из (2.13) сле-

дует

126

§ 2.5. Задачи для самостоятельного решения

2.1.C момента выключения мотора пропеллер самолета,

вращавшийся с угловой скоростью, соответствующей n 1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Считая движение пропеллера равнозамедленным определить время, прошедшее после выключения мотора до остановки.

2.2.В период разгона маховик вращается относительно

своей оси по закону 0,25 t 3 . Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика сразу после того, как он сделает

27оборотов.

2.3.Колесо радиуса R 1 м вращается равномерно вокруг своей оси, делая один оборот за 0,25 с. Найти скорость и ускорение точки, находящейся на ободе колеса.

с-1 равноускоренно и за 10 с делает 30 оборотов. Найти ускорение точки, отстоящей от оси вращения вала на расстояние 0,5 м, в момент времени, когда скорость этой точки вала равна 2м/с.

2.5. Вал вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси по закону

( / 16 )sin(0,75 t ) , где - угол поворота вала в радианах. Найти скорость и ускорение точки М вала, отстоящей от оси вращения вала на рас-

стояние r 0,8 м, в момент времени, когда угловая скорость вала достигнет максимального абсолютного значения.

бесконечным ремнем со шкивом 2 радиуса O2C r2 . Определить скорость и ускорение точки А шкива 3 радиуса O2 A R , жестко соединенного со шкивом 2.

127