Учебное пособие 1828

Для этого сообщают мысленно всем звеньям передачи вращение с угловой скоростью - H , то есть равной по моду-

лю и противоположной по направлению угловой скорости водила H . Тогда, на основании результатов § 6.1, водило в этом сложном движении станет неподвижным, а любое зубчатое колесо радиуса rk приобретет относительно водила абсолют-

ную угловую скорость

где k - абсолютная угловая скорость колеса k относительно стойки.

ром k относительно неподвижного водила H .

В суммарном (сложном) движении водило Н останавливается, и планетарная зубчатая передача превращается в рядовую зубчатую передачу, в которой все зубчатые колеса дви-

всех колес передачи станут неподвижными и зависимости ме-

жду угловыми скоростями ( H ) можно будет определить, ис-

k

пользуя ранее полученные формулы для рядовых зубчатых передач.

Кинематику планетарных и дифференциальных передач можно рассчитывать и с помощью мгновенных центров скоростей (§ 3.2) или планов скоростей.

§ 6.4. Примеры решения задач

Задача 6.1. В планетарном механизме (рис. 6.11) зубчатое колесо 1 радиуса r1 неподвижно, а водило H вращается относительно центральной оси с угловой скоростью H . Опреде-

198

лить угловую скорость зубчатого колеса 2. Решение. Пусть 1 и 2

абсолютные угловые скорости зубчатых колес 1 и 2, то есть скорости этих колес относительно системы координат Ax1 y1 . Сообщив всем звеньям передачи угловую скорость H , полу-

чим в обращенном движении следующие угловые скорости

колес 1 и 2 равна нулю, поскольку эта точка колеса 1 неподвижна, и для колеса 2 является мгновенным центром скоростей. Точка В колеса 2 имеет скорость vB относительно системы

199

Ax1 y1 , поэтому абсолютная угловая скорость

Задача 6.2. Определить соотношение между угловыми скоростями зубчатых колес в планетарной дифференциальной передаче, схема которой изображена на рис. 6.10.

Решение. Пусть H , k и m абсолютные угловые скорости водила и центральных зубчатых колес k и m , а l и l абсолютные угло-

вые скорости сателлитов. Эти скорости определены относительно системы координат связанной со стойкой. Тогда по определению передаточного отношения для планетарной дифференциальной передачи имеем

В этом выражении обе угловые скорости могут быть неизвестными.

Сообщив всем звеньям передачи угловую скорость H , получим в обращенном движении следующие угловые скорости

В передаче имеется одно внешнее зацепление и поэтому k 1 . Тогда по формуле (6.8) для угловых скоростей относительно системы координат, связанной с, ставшим неподвижным, водилом, получаем соотношение

200

нетарной передаче. Учитывая, что эта передача получена

Последняя формула называется формулой Виллиса.

§ 6.5. Сложение вращений тела вокруг пересекающихся осей

Пусть относительным движением тела 1 (рис. 6.13) является вращение с угловой скоростью 1 , вокруг оси a1a , укреп-

ленной на кривошипе 2, а переносным является вращение кривошипа с угловой скоростью 2

вокруг оси b1b , которая с осью

a1a пересекается в точке О.

Схема сложения вращений в таком случае движения тела вокруг пересекающихся осей показана на рис. 6.13.

Очевидно, что в этом случае скорость точки О, как лежащей одновременно на обеих осях, будет равна нулю. Следовательно, результирующее движение тела является движением вокруг неподвижной точки О и для каждого элементарного промежутка времени является элементарным

202

поворотом с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О (§

4.1).

Чтобы определить вектор , определим скорость какой-либо точки М тела, вектор -

радиус которой OM r . В относительном движении вокруг оси Oa точка М, согласно (§ 5.2)

движении вокруг оси Ob точка получает ско-

Так как результирующее движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловой скоростью , то должно быть

Такие результаты будут получаться для всех точек тела (т.е. при любых r ). Отсюда заключаем, что последние два равенства будут выполняться всегда, если

1 2 . (6.13)

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О. Вектор угловой скорости этого вращения равен векторной сумме относительной и переносной угловых скоростей. Мгновенная ось вращения Ос направлена вдоль вектора , т. е. по диагонали параллелограмма, построен-

203

ного на векторах 1 и 2 .

С течением времени ось Ос меняет свое положение и в пространстве и относительно тела, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в n независимых вращениях вокруг n осей, пересекающихся в точке О, то, последовательно применяя равенство (6.13), получим, что результирующее движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

1 2 n . (6.14)

§ 6.6. Кинематические уравнения Эйлера

Пользуясь результатами предыдущего параграфа, найдем угловую скорость тела, движущегося вокруг неподвижной точки О, если это движение задано уравнения-

ми (4.1).

Построим оси неподвижной Ox1 y1 z1 системы координат K1 и оси Oxyz системы K , жестко связанной с те-

204

3 - векторы угловых скоростей этих вращений,

направленные вдоль соответствующих осей. Модули этих угловых скоростей

(6.15)

Тогда по формуле (6.13) угловая скорость тела в данный момент времени будет равна

1 2 3 . (6.16)

Для определения вектора , найдем его проекции на подвижные оси системы K . Из равенства (6.16) имеем:

x 1x 2 x 3 x y 1 y 2 y 3 y

z 1z 2 z 3 z

(6.17)

Проекции векторов 1 и 3 определяются

непосредственно по рис. 6.14 с учетом обозна-

чений (6.15)

205

угловой скоростью вокруг оси Аа, укрепленной на платформе 2, а переноснымпоступа-

тельное движение платформы со скоростью v . Одновременно в двух таких движениях уча-

ствует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным - движение той же платформы. В зависимости от значения угла α между векторами

иv (для колеса этот угол равен 90°) возможны три случая.

6.7.1.Скорость поступательного движения

перпендикулярна к оси вращения ( v ) Пусть сложное движение тела состоит из

вращательного движения вокруг оси Аа с угловой скоростью и поступательного движения со скоростью v , перпендикулярной к (рис. 6.16). Легко видеть, что это движение является относительно любой плоскости, перпендикулярной к оси Аа, плоскопараллельным движением, подробно изученным в главе 3. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное движение, будет действительно состоять из поступа-

тельного движения со скоростью v , т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси Аа, проходящей через полюс.

207