Высшая математика. Дифференциальное исчисление. практикум. Пантелеев И.Н

11.14. Стоимость топлива для судна пропорциональна кубу его скорости. При какой скорости судна общая сумма расходов на 1км пути будет наименьшей, если при скорости 20 км/ч расходы на топливо составляют 40 руб.в час, а остальные расходы 270 руб. в час?

Решение. Обозначим стоимость топлива через q, тогда q = kv3, где к - коэффициент пропорциональности найдем из

условия 40 = k 203 , к = 0,005.

Общая стоимость плавания судна в течение часа в рублях находится по формуле Q = a +q = a + kv3 , где а = 270руб. остальные расходы. Затраты на 1км пути выразятся в виде функ-

следовательно, при скорости судна v = 30 км/ч общая стоимость расходов на 1км пути будет наименьшей и составит

u= 27030 + 0,005 302 =13,5 руб.

2.12.Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

Если кривая расположена в некотором интервале ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если кривая расположена выше любой своей касательной, то она называется выпуклой вниз.

Функция у = f(x) выпукла вверх, если f ′′(x) < 0 и выпукла вниз, если f ′′(x) > 0 . Если f ′′(x0 ) = 0 в некоторой точке x0,

131

бесконечна или вовсе не существует и f ′′(x) меняет знак при

переходе через точку x0, то график функции в точке x0 имеет перегиб. Если же f ′′(x) сохраняет знак, то перегиба нет.

Чтобы исследовать кривую у = f (x) на направление вы-

пуклости, надо найти вторую производную и приравнять ее к нулю f ′′(x) = 0 . Корни этого уравнения, а также возможные

точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом из интервалов определяется знаком второй производной.

12.1. Исследовать на направление выпуклости и найти

Решение. а) Функция определена для любого значения х. Находим производные:

ласть определения функции на три интервала. Определяем методом интервалов (рис.2.44) знак y′′ на каждом промежутке.

Поскольку у'' при переходе через эти точки меняет знак,

то в точках x = 13 и х = 1 функция имеет перегибы. На интер-

валах ] −∞; 13[ и ]1;∞[ кривая выпукла вниз, а на интервале ] 13 ,1 [ выпукла вверх.

132

довательно, кривая выпукла вверх на всей числовой оси.

в) Находим точки х, в которых y′′ = 0 или не существует: y′ = ±3x2 , y′′ = ±6x , где знак плюс соответствует значе-

ниям x ] − ∞,1[ (x3 −1 < 0), а минус - x ]1, ∞[ (x3 −1 > 0) .

Поскольку при x = 0 вторая производная y′′ = 0 , а

при х = 1 не существует, то эти значения х могут быть абсциссами точек перегиба. Знак y′′ слева и справа от точек х = 0 и

х = 1 показан на рис. 2.45. Так как y′′ при переходе через точ-

ки х = 0 и х = 1

вверх. Определяя ординаты точек перегиба y(0) = 0, у(0) = 1, строим кривую (рис. 2.46).

Рис. 2.46

134

2.13. Асимптоты кривой

10. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой

для кривой у = f(x) при x → ±∞, если, lim [ f (x) −(kx +b)] = 0 ,

x→±∞

т. е. если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю. Параметры к и b находятся с помощью пределов

Если lim = ∞, то кривая у = f (x) при приближении х к а

x→a

будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой х = а. Прямую х = а называют вертикальной асимптотой. Как правило, это точки разрыва.

20. Если кривая задана параметрически x = ϕ(t), y =ψ (t) ,

то исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых функции ϕ(t), ψ (t) или одна из них обращается в бесконеч-

ность.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx+b, где

кривая имеет горизонтальную асимптоту у = С.

30. Если кривая задана уравнением ρ = ρ(ϕ) в полярной

системе координат, то, преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формулам x = ρ cosϕ = ρ(ϕ) cosϕ ,

y = ρsin ϕ = ρ(ϕ) sinϕ , ее асимптоты находят по предыдущему правилу.

135

40. Если кривая задана уравнением F{x,y) = 0 (т. е. неявно), то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее представить ее в полярных координатах или перейти к параметрическому виду.

Для алгебраической кривой ∑ak i xk yi = 0 суммирование

k ,i

идет по всем целым k и i; (0 ≤ k ≤ n; 0 ≤ i ≤ n) , наклонная

асимптота у = кх +b находится подстановкой ее в уравнение кривой и приравниванием к нулю, в получившемся многочлене относительно х, коэффициентов при двух старших степенях

х.

Из решения этой системы относительно к и b находим параметры наклонной асимптоты.

Вертикальная асимптота алгебраической кривой находится из приравнивания к нулю коэффициента при старшей степени y.

13.1.Найти асимптоты кривых: а) y = x2 + 3x + 6 ;

x−1

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = х + 4. График кривой и асимптоты показаны на рис. 2.47.

136

График функции и асимптоты показаны на рис. 2.51.

Рис. 2.51

140