Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1696

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

f (−2) = 25 , f ′(−2) = −57 , f ′′(−2) = 74 , f ′′′(−2) = 36 , f (4) (−2) = 24 .

Отсюда

x4 −2x3 + x2 +3x −5 =

=25 −57(x + 2) +37(x + 2)2 −10(x + 2)3 +(x + 2)4 .

15.3.Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию f (x) = (x3 +2x −1)2 по степеням x.

Решение. Находим производные и их значения при x = 0

f ' (x) = 2(x3 +2x −1)(3x2 + 2) , f ' (0) = −4 ;
f '' (x) = 2((3x2 + 2)2 +6x4 +12x2 −6x) ,	f '' (0) = 8	;
f ''' (x) =12(2(3x2 + 2)x + 4x3 + 4x −1) ,	f ''' (0) =12	;
f (4) (x) =12(30x2 +8) , f (4) (0) = 96 ;
f (5) (x) = 720x , f (5) (0) = 0 ;

f (6) (x) = 720 , f (6) (0) = 720 .

Подставляя значение f (0) =1 и значения производных в формулу Тейлора при x = 0 , получим

(x3 + 2x −1)2 =1−4x + 4x2 −2x3 + 4x4 + x6

15.4. Представить функцию 4 x в виде многочлена четверной степени относительно x −1.

Решение. Находим значения функции и ее производных в точке a =1:

1																			4
f (x) = x		;	f (1) =1; f ' (x) =																	1	x−		;			f ' (1) =							1		;
	4																			1		3											1
	4																					3											4
														7					4														4
f '' (x) = −							1			3		x−		7			;		f '' (x) = −						1		3		;
							1			3				4											1		3
														4										4 4
			4 4													11								4 4
f ''' (x) = −					1			3			7		x−			11		;	f ''' (x) =					1		3 7				;
					1			3			7					4								1		3 7
																4
			4 4 4												15									4 4 4
f (4) (x) = −			1	3		7			11			x−			15			;	f (4) (x) = −							1		3			7	11		.
			1	3		7			11						4											1		3			7	11
															4											4 4
			4 4 4 4																							4 4				4 4

161

По формуле (1) имеем

4 x =1+

(x −1)

−

1 3 (x −1)2

1 3 7 (x −1)

1 3 7 11 (x −1)

−

+ R

4 4

f (5) (c)

где

R =

(x −1)

; c =1+θ(x −1) ; 0

<θ <1.

15.5.Написать разложение функции: а) ecos x до члена с

x4 ; б) ln cos x до x6 .

Решение. а) Пользуясь уже известным разложением (15.1. а) и принимая cos x за новую переменную, запишем

e	cos x			=1+cos x +													cos2 x										+				cos3 x									+		cos4 x				+O(cos								4		x) .
e				=1+cos x +															2								+							6						+			24			+O(cos										x) .
																			2															6									24			x2				x4
Так как по формуле (15.1. в) cos x =																																													1−	x2	+			x4			+O(x				5	) , то
Так как по формуле (15.1. в) cos x =																																													1−	2	+		24				+O(x					) , то
окончательно имеем																																														2			24
окончательно имеем																																												2
		cos x											x		2						x	4								1										x	2			2				x	2						4
e		cos x											x								x									1										x								x			x
					=1+ 1−													+									+							1			−								+ 1−											+
					=1+ 1−									2				+		24							+			2				1			−			2					+ 1−		2					24				+
														2						24										2										2							2					24
			1				x	2		3				1									x			2		2					x		4
+			1	1−			x					+		1				1		−			x										x				+
+			6	1−								+		2				1		−												24					+
			6			2								2										2								24
			1						x		2	4															x		2			3				x		4
+			1			1−			x				+ 4 1−														x									x					+O(x5 ) =
+						1−							+ 4 1−																												+O(x5 ) =
			24							2																		2								24
			24							2																		2								24
			1							32x				2					61				x		4					+O(x									5
=					65 −											+																								) .
=			24		65 −											+			6																					) .
			24																6
б) Представим логарифм в виде ln cos x = ln(1+(cos x −1))
и воспользуемся разложением (15.1. д),																																													принимая cos x −1 за
новую переменную																			1																						1
ln cos x = cos x −1−																			1		(cos x −1)2 +																				1			(cos x −1)3 +O(x6 ) .
ln cos x = cos x −1−																			2		(cos x −1)2 +																							(cos x −1)3 +O(x6 ) .
																			2																						2

162

Здесь остаточный член Rn = O(x6 ) , так как бесконечно малые

x и sin x		эквивалентны														и,		следовательно,																	1−cos x = 2sin									2	x
x и sin x		эквивалентны														и,		следовательно,																	1−cos x = 2sin									2
одного порядка с x2 .																																												2
одного порядка с x2 .											1								1										1
		cos x −1 = −									1		x			2 +			1				x4			−			1			x6 +O(x7 ) .
		cos x −1 = −									2		x			2 +		24					x4			−		720				x6 +O(x7 ) .
Отсюда											2							24										720
Отсюда							1					1											1									1 1							1
ln cos x =					−		1	x	2	+		1				x	4	−					1			x		6		−		1 1			x	4		−	1	x	6		+

							2				24										720													4					24
							2				24										720											2		4					24
	1		1			6						6							1					2				1			4			1			6				6
+		−		x			+O(x							)		= −						x			−					x		−			x			+O(x				) .
+	3	−	8	x			+O(x							)		= −			2			x			−		12			x		−	45		x			+O(x				) .
	3		8																2								12						45
15.6. Вычислить с точностью 0,001 приближенные зна-
чения следующих чисел: а) sin 20°; б) cos 45°.
Решение. а) Воспользуемся формулой разложения sin x
по степеням x (15.1,б), подставляя в нее радианную меру
																x =						π				20 = π
																x =				180						20 = π
sin π					π			π3								π5				180											9						x2m−1
			≈		π		−	π3				+				π5				−... +(−1)m−1																	x2m−1						+ R .
			≈		9		−	3!93				+			5!95					−... +(−1)m−1													(2m −1)!92m−1										+ R .
		9			9			3!93							5!95																		(2m −1)!92m−1										n

При определении числа первых членов в данном разложении, необходимых для обеспечения требуемой точности вычислений, оценим величины последовательных остаточных членов

R	≤	π3	≤ 0,006 ,	R	≤	π5	≤ 0,00003 .


1		3!93		2		5!95

Поскольку R2 <10−3 , то для получения требуемой точ-

ности достаточно взять первые два члена разложения, предшествующих R2

sin	π	=	π	−	π3	= 0,3491−0,0071 = 0,342 .
	9		9		3!93

Здесь значение числа π ≈ 3,14159 и результатов промежуточных вычислений взяты с одним лишним знаком, т. е. с точностью до 10−4 .

163

б) Представим функцию cos x по формуле Тейлора в виде

x −a

(x −a)2

cos x = cos a +cos a +

+cos a +2

(x −a)n

+.... +cos a

+ Rn ,

π (x −a)n+1

Rn = cos a +θ(x −a) +(n +1)

, 0 <θ <1.

2 (n +1)!

Поскольку

cos a

≤1, то

≤

(x −a)n+1

и по мере увели-

(n +1)!

чения числа членов погрешность неограниченно убывает, стремясь к нулю. Причем чем меньше по абсолютной величине разность x −a , тем меньше потребуется первых членов разложения для обеспечения требуемой точности вычислений.

Пусть a = 60° или в радианной мере a = 180π 60 , тогда

x −a =

(65

−60)

, отсюда

180

π3

cos 65° =

−

1 π

+... + R .

1!36

2 2!362

3!362

Поскольку R4 <10−4 , то для получения требуемой точ-

ности достаточно взять первые три члена разложения, тогда cos 65° = 0.4221 .

164

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1. Найти производную функции:

1.1 y = 2x5 −	4	+	1	+ 3 x .
	x3		x

1.2y = 3x + 5 x2 − 4x3 + x24 .

1.3y = 3x4 + 3 x5 − 2x − x42 .

1.4y = 7 x − x25 −3x3 + 4x .

1.5y = 7x + x52 − 7 x4 + 6x .

1.6y = 5x2 − 3 x4 + x45 − 5x .

1.7 y = 3x5 −	3	−	x3 +	10 .
	x			x5

1.8y = 3 x7 + 3x − 4x6 + x45 .

1.9y = 8x2 + 3 x4 − 4x − x23 .

1.10y = 4x6 + 5x − 3 x7 − x74 .

1.11y = 2 x3 − 7x +3x2 − x25 .

1.12y = 4x3 − 3x − 5 x2 + x62 .

1.13	y = 5x5 −			8	+ 4		x +	1 .
		9		x2		2		x
1.14	y =	9	+ 3	x4	−	2	+5x4 .
		x3				x

165

1.15y = x45 − 9x + 5 x2 −7x3 .

1.16y = x83 + 3x − 4 x3 + 2x7

1.17y = 5x2 + 4x − 3 x7 − 2x6 .

1.18 y =10x2 +3	x5 −	4	−	5 .
		x		x4

1.19y = x5 − 3x − x43 −3x3 .

1.20y = 9x3 + 5x − x74 + 3 x7 .

1.21y = 3 x + x45 + 3 x2 − 7x .

1.22y = x3 + 2x − x45 −5x3 .

1.23y = 7x2 + 3x − 5 x4 + x83 .

1.24y = 8x3 − 4x − x74 + 7 x2 .

1.25y = 8x − x54 + 1x −5 x4 .

1.26y = 4 x3 − 5x + x45 +3x .

1.27y = 4x3 + 3x − 3 x5 − x24 .

1.28 y = 4x5 −	5	−	x3 +	2 .
	x			x3

1.29y = 7x + x43 − 5 x3 − 2x6 .

1.30y = x64 − 3x +3x3 − x7 .

166

Задача 2. Найти производную функции:

2.1 y = 3 3x4 + 2x −5 + (x −42)5 .

2.2	y = 3		(x −3)4					−		2x3			3		.
										2x3		−3x +1
2.3	y =		(x − 4)5					+		(2x		2	5		1)2			.
										(2x		2	+ 4x −		1)2
2.4	y = 5		7x2		−3x + 5 −								5		.
												(x −1)3
2.5	y = 4		3x2		− x + 5 −								3	.
											(x −5)4
2.6	y =		3x4		− 2x3 + x −								4				.
													(x + 2)3
2.7	y = 3		(x − 7)5					+		4x	2		5			.
										4x	2	+ 3x −5
2.8	y = 5		(x + 4)6					−		2x	2		2			.
				3						2x	2	−3x + 7
2.9	y =			3			−			5x2		− 4x + 3 .
		(x − 4)7
2.10	y =		3	4x2		−3x − 4 −							2				.
													(x −3)5
2.11	y =			7				+		8x −3 + x2 .
			(x −1)3
2.12	y =		5	3x2		+ 4x −5 +							4				.
													(x − 4)4
2.13	y =		3	5x4		− 2x −1 +							8				.
													(x −5)2
2.14	y =			3				− 7 5x − 7x2 −3 .
			(x + 2)5
2.15	y =		4 (x −1)					5	−	7x2			4		2		.
										7x2			−3x +		2

167

2.16	y = 5		(x − 2)6				−					3		4	.
			3					7x3 − x2 −						4
2.17	y =		3	− 3					4 +		3x − x4 .
		(x + 4)2
2.18	y =		2	−							8			.
2.18	y =	(x −1)3		−			6x2 + 3x − 7							.
		(x −1)3					6x2 + 3x − 7
2.19	y =		1 + 5x − 2x2								+	(x	3			.
												(x	−3)4
2.20	y = 3		5 + 4x − x					2	−			5		.
										(x +1)3
2.21	y = 4		5x2 − 4x +1 −									7			.
											(x −5)2
2.22	y =		3 − 7x + x					2	−			4		.
										(x − 7)5
2.23	y =		(x −3)	7		+		7x2				9		8	.
								7x2			−5x −			8
2.24	y = 3		(x −8)	4		−						2			.
			3					1 + 3x − 4x2
2.25	y =		3		+1				−		(x +1)5 .
		4x −3x2			+1

2.26y = x −3 4 + 6 (2x2 −3x +1)5 .

2.27y = (x −47)3 − 3 (3x2 − x +1)4 .

2.28	y =	(x − 4)7 −		10	.
				(3x2 −5x +1)
2.29	y =	7	−	8 −5x + 2x2 .
	(x + 2)5
2.30	y = 3	(x −1)5	+	5	.
				2x2 − 4x + 7

168

Задача 3. Найти производную функции:
3.1	y = sin3 2x * cos8x5 .				3.2	y = cos5 3x * tg(4x +1)3 .
3.3	y = tg 4 x * arcsin 4x5 .				3.4	y = arcsin3 2x * ctg7x4
3.5	y = ctg3x * arccos3x2 .				3.6	y = arccos2 4x * ln(x −3) .
3.7	y = ln5 x * arctg7x4 .				3.8	y = arctg 3 4x * 3sin x .
3.9	y = 2cos x		* arcctg5x3 .		3.10		y = 4−x * ln5 (x + 2) .
3.11	y = 3tgx		* arcsin 7x4 .		3.12		y = 5x2	* arccos 2x5 .
3.13	y = sin 4 3x * arctg2x3 . 3.14						y = cos3 4x * arcctg		x
3.15	y = tg 3 2x * arcsin x5 .				3.16		y = ctg 7 x * arccos 2x3 .
3.17	y = e−sin x * tg7x6 .				3.18		y = ecos x ctg8x3 .
3.19	y = cos5 x * arccos 4x .				3.20		y = sin3 7x * arcctg5x2 .
3.21	y = sin 2 3x * arcctg3x5 .3.22						y = cos 5 x * arctgx4 .
3.23	y = tg 6 2x * cos 7x2 .				3.24		y = ctg 3 4x * arcsin		x .
3.25	y = ctg		1	* arccos x4 .	3.26		y = tg	x * arcctg3x5 .

			x				y = 2tgx arctg 5 3x .
3.27	y = tg 3 2x * arccos 2x3 .				3.28
3.29	y = sin5 3x * arctg x .				3.30		y = cos4 3x * arcsin 3x2 .
Задача 4. Найти производную функции:
	4.1	y = arcctg 2 5x * ln(x − 4) .
	4.2	y = arctg 3 2x * ln(x + 5) .
	4.3	y = arccos4 x * ln(x2				+ x −1) .
	4.4	y = arccos 2x * 3−x .
	4.5	y = tg 4 3x * arctg7x2 .
	4.6	y = 5−x arcsin 3x3 .
	4.7	y = arctg 5 x * log2 (x −3) .
	4.8	y = log3 (x + 5) * arccos3x .
	4.9	y = e−x * arcsin2 5x
	4.10		y = log4 (x −1) * arcsin 4 x.
						169

4.11y = (x − 4)5 * arcctg3x2 .

4.12y = ctg 3 4x * arctg2x3 .

4.13y = e−cos x arctg7x5 .

4.14y = (x +1) arccos3x4 .

4.15y = 2sin x arcctgx4 .

4.16y = 3−x arctg2x5 .

4.17y = 3cos x arcsin2 3x .

4.18y = ln(x −10) * arccos2 4x .

4.19y = lg(x − 2) * arcsin5 x .

4.20y = log3 (x +1) * arctg 5 7x .

4.21y = ln(x + 9) * arcctg 3 2x .

4.22y = lg(x + 2) * arcsin2 3x.

4.23y = 4−sin x arctg3x.

4.24y = 2cos x arcctg 3 x.

4.25y = lg(x −3) * arcsin 2 5x.

4.26y = log2 (x + 3) * arccos2 x.

4.27y = 2−x arctg 3 4x.

4.28y = ln(x − 4) * arcctg 4 3x.

4.29y = lg(x + 3) * arcctg 2 5x.

4.30y = log5 (x +1) * arctg 2 x3 .

Задача 5. Найти производную функции:

5.1	y = (cth3x)arcsin( x)	5.2	y = ((cos(
5.3	y = (sin 3x)arccos(x)	5.4	y = (th5x)

x + 2))ln( x) arcsin( x+1)

5.5	y = (sh(x + 2))arcsin 2 x	5.6 y = (cos5x)arctg		x
5.7	y = ( 3x + 2)arcctg (3x)	5.8	y = (ln(x + 3))sin	x
5.9	y = (log2 (x + 4))ctg (7 x)	5.10	y = (sh3x)arctg ( x+2)
5.11	y = (ch3x)cg (1/ x)	5.12	y = (arcsin 5x)tg x

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.77 Mб2Учебное пособие 1691.pdf
#
30.04.20221.78 Mб3Учебное пособие 1692.pdf
#
30.04.20221.79 Mб5Учебное пособие 1693.pdf
#
30.04.20221.79 Mб9Учебное пособие 1694.pdf
#
30.04.20221.79 Mб25Учебное пособие 1695.pdf
#
30.04.20221.8 Mб6Учебное пособие 1696.pdf
#
30.04.20221.8 Mб2Учебное пособие 1697.pdf
#
30.04.20221.8 Mб2Учебное пособие 1698.pdf
#
30.04.20221.81 Mб7Учебное пособие 1699.pdf
#
30.04.2022207.49 Кб6Учебное пособие 17.pdf
#
30.04.2022310.52 Кб19Учебное пособие 170.pdf