Учебное пособие 1696

5.13. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, определяется по закону q = 3t2-2. Найти силу тока в конце второй секунды.

Решение. Сила тока равна первой производной от коли-

чества электричества по времени I = dqdt = 6t . При t = 2 сила

тока равна I(I = 2) = 6·2 = 12а.

5.14. Зависимость между количеством q вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выра-

жается уравнением q = A(1 −e−at ) .

Определить скорость реакции.

Решение. Скорость реакции есть производная dqdt = Aae−at или q = a( A − q) .

2.6. Теоремы о среднем

10. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка и удовлетворяет условию f(a) = f (b) = 0, то между a и b найдется такая точка ξ ]a,b[, что f ′(ξ) = 0 .

Геометрически это означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f(x) равны нулю, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ох (рис.2.14). Теорема также верна, если f(a) = f(b) ≠ 0.

Рис. 2.14

91

20. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то между а и b найдется такая точка ξ ]a,b[, что f(b)-f(a)=(b-a) f ′(ξ) . Эта формула называется

формулой конечных приращений.

Геометрически это означает следующее: на дуге АВ (рис. 2.15) всегда найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Рис.2.15

30. Теорема Коши, Пусть функции ϕ(x) и ψ (x) непрерывны на отрезке [а, b] и имеют конечные производные в каждой внутренней точке этого отрезка. Если эти производные не обращаются в нуль одновременно и ϕ(a) ≠ ϕ(b) , то между a и b

ϕ′(x) ≠ 0 в промежутке [а, b].

6.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: а) у = х2-2х-3 на отрезке [-1,3]; б) y = 1 - 5 x2 на от-

резке [-1,1].

92

Решение. а) Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. Значения функции на границах отрезка равны между собой у(-1) = y(З) = 0 и функция имеет конечную производную y′= 2x - 2 в каждой точке этого отрезка, следовательно, условия теоремы Ролля выполняются.

Значение ξ определяем из выражения y′= 0, 2x - 2 = 0,

т. е. ξ = 1.

б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и на концах этого отрезка принимает равные значения y(-1)=y(1)=0. Находим

не существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены, то теорема Ролля к данной функции неприменима.

6.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для

Решение. а) Даная функция на отрезке [0,1] непрерывна и имеет конечную производную f ′(x) = x2 −1. Следовательно, условия теоремы Лагранжа выполняются. Точку ξ найдем из

[-1,1] не существует, то теорема Лагранжа к данной функции не применима.

93

6.3. В какой точке касательная к параболе у = х2 +2х параллельна хорде, стягивающей точки A(−2,0) и B(1,3) ? Пояс-

нить графически.

Решение. Наклон хорды АВ (рис. 2.16) определяется уг-

гранжа f (1) − f (−2) = (1 + 2) f ′(ξ) , 3 = 3(2ξ +2), ξ = − 12 . Угло-

вой коэффициент касательной к данной кривой

94

6.5. Доказать, что уравнение ex-x-1=0, имеющее корень x=0, не имеет других действительных корней.

Решение. Пусть данное уравнение имеет еще один действительный корень х2, тогда между корнями x=0 и x2 найдется такая точка ξ , в которой f (ξ) = 0 . Обозначим левую часть

уравнения за f (x) = ex − x −1 и найдем производную f ′(x) = ex −1. Приравнивая ее нулю, получим ex=0, x=0.

Поскольку это значение х совпадает с корнем уравнения, а другой точки ξ , где бы f (ξ) = 0 нет, то данное уравнение не

имеет других действительных корней.

6.6. Многочлен f (x) = x4 − x3 + x2 − x имеет корни x=0 и x = 1. Доказать, что dfdx имеет действительный корень, при-

надлежащий интервалу [0,1].

Решение. Находим производную dfdx = 4x3 −3x2 + 2x −1.

Поскольку функция f(x) удовлетворяет на интервале [0,1] условиям теоремы Ролля, то приравниваем производную нулю 4x3 −3x2 + 2x −1 = 0 . Данное уравнение третьей степени, следовательно, имеет, по крайней мере, один действительный ко-

рень. Поскольку многочлен dfdx на концах интервала [0,1]

имеет разные знаки, а производная от него

95

вале имеет один действительный корень.

2.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Если при x → a функции ϕ(x) и ψ(x) одновременно

стремятся к нулю или ∞, то предел их отношения равен пределу отношения их производных, т. е.

При этом предполагается, что ϕ(x) и ψ(x) существуют и

конечны.

Если же отношение производных также будет представ-

лять случай 00 или ∞∞ , можно снова и снова применять прави-

ло Лопиталя. Если неопределенности типа 0 ∞ или ∞ −∞, то сначала приводят эти функции к виду дроби, которая пред-

ставляет неопределенность 00 или ∞∞ , а затем уже пользуются

правилом Лопиталя.

Нахождение предела функции в случае неопределенно-

96

Решение. а) При x → 0 имеем неопределенность вида 00 .

Применяем правило Лопиталя:

97

∞ −∞. Приводим к общему знаменателю и получаем неопре-

6)При x → 0 имеем неопределенность ( ∞ −∞). приводим

кобщему знаменателю и получаем неопределенность 00 . При-

Лопиталя:

98

99