Учебное пособие 1696

2

(n −1)

=

(−1)n −1(n −1)!2n

.

1 + 2x

(1 + 2x)n

Таким образом,

y

(40)

(−1)39 39!239

2

39

=

= −39!

.

(1 + 2x)39

1 + 2x

При

п ≥ 2 будем иметь

y(n) (x2 − x + 6) + ny(n −1) (2x −1) +

n(n −1)

y(n −2)

2 = 0 ,

откуда при х = 0 получим

2

6 y(n) (0) − ny(n −1) (0) + n(n −1) y(n −2) (0) = 0

или y(n) (0) =

n

y

(n −1) (0) −

n(n −1)

y(n −2)

(0).

6

6

1

′

− 2x2 − 6x +15

15

y(0) =

,

y (0) =

(x2 − x + 6)2

=

.

2

36

x =0

Полагая

последовательно

п = 2,3,4,..., с помощью

′′

=

2

y

′

−

2

1

y(0)

=

1

15

−

1

= −

1

,

y (0)

6

(0)

6

3

36

36

2

′′′

3

′′

3 2

′

1

1

2 15

31

=

−

=

−

−

= −

.

y (0)

6

y (0)

6

y (0)

2

36

36

72

10. Из определения производной lim

y

= y′

и предела

x→0

x

70. Для дифференцируемой функции

y = f(x) из

приближенного равенства

y ≈ dy следует

f(x+ x) ≈ f(x)+ f

′

(7)

(x) x .

обозначается

=

a0 − a

.

Абсолютная

величина

отношения

абсолютной

погрешности

к

истинному

значению

называется

относительной погрешностью и обозначается δ =

.

a

0

Относительная погрешность обычно выражается в

процентах

δ =

100 %.

a

0

Если приращение функции заменить ее дифференциалом,

то получим приближенное значение приращения

y ≈ dy . В

этом случае абсолютная погрешность равна

=

y − dy

, а

относительная погрешность будет δ =

y − dy

.

y

4.1. Найти дифференциалы функций:

3

ln tgx

; в) y =

x3 −1

а) y = x

− x +

x ; б) y = 3

;

x3 +1

г)

x = a sin3 t .

Решение. а) Находим производную данной функции

y

′

= 3x

2

−1 + 2

1

x .

Отсюда дифференциал равен

′

2

−1 +

1

dy = y dx = 3x

dx.

2

x

y

′

lntgx

1 1

2 3lntgx ln 3

= 3

ln 3

=

.

tgx

cos2 x

sin 2x

y

′

3x2 (x3

+1) −(x3

−1) 3x2

6x2

=

(x3 +1)2

= (x3 +1)2 .

Отсюда дифференциал будет

dy =

6x2

dx .

(x3 +1)2

а)

y = 3ln tgx , d 2 y ? ;

б)

ρ =

sin 2ϕ

, d 2

ρ?

1 −ϕ2

в) y = (x2 − x +1)3 , d 3 y ?

г) x 13 + y 13 = a 13 , d 2 y ?

Решение. а) Находим дифференциал 1-го порядка

lntgx

1

1

3lntgx

dy = 3

ln 3

dx = 2 ln 3

dx.

tgx

cos2 x

sin 2x

Дифференцируя еще раз, получим

3lntgx sin 2x

lntgx

cos 2x

2 ln 3

−2 3

d

2

y = 2 ln 3

sin 2x

dx

2

=

sin2

2x

y

23

y

23

y′ = −

, тогда dy = −

dx.

x

x

Вычисляем вторую производную

2 y

−

1

′

2

ay

y′′ = −

3

=

,

3

x2

3

x5

x

отсюда

d 2 y =

2 3

ay dx2.

3

x5

а)

y = x2 −3x, x = t2 +1; б) z = ln y, y = tgx, x = 2t2 +t;

в)

y = ex ,

x = tgt , представить d 2 y

через: 1) x и dx; 2) t и dt.

Решение. a) Дифференциал сложной функции равен

2x −3

dy = y′x xt′dt.

Находим производные

y′x′ = 2 x2 −3x ;

Отсюда no формуле (7) имеем

1

arctg(x +

x) = arctgx +

x.

1 + x2

Пусть x = 1, тогда х = 0,05. Таким образом

arctg(1 + 0,05) = arctg1 +

1

0,05 = π

+ 0,025.

2

1 +1

4

б) Положим f ( x ) = lgx, тогда

′

1

f

(x) = x ln10 . Отсюда по

формуле (7) имеем

lg(x +

x) = lg x

+

x

.

x ln10

−1

Пусть x =10, тогда

x = -1 и lg(10 −1) = lg+

.

10ln10

0,1

Отсюда lg9 =1 −

= 0,956.

ln10

4

′

1

−

1

1

5

5

в) Полагаем f (x) =

x ,

тогда

f

(x)

=

x

=

5 5

x4 .

5

Отсюда 5 x +

x = 5

x

+

1

x .

5

55 x4

1

−0,02 или

Пусть x = 1, тогда

х = 0,02 и

5 1 −0,02 = 5 1 +

5

5 14

5 0,98 =1 −0,0004 = 0,996 .

4.5. Для функции

y = x2 +3x +1

найти

приращение

0,7,

а приращение функции 0,71. Так как

у = dy + α х, то

α х = 0,71 - 0,7 = 0,01.

4.6.

Найти

дифференциал и

приращение функции

y = x3 − 2x при

х = 2 и х = 0,1.

Найти

абсолютную и

При x = 2 и x =

0,l

получим: dy = (3 22 − 2) 0,1 =1;

y = (3 22 +3 2

0,1

+ 0,12 − 2) 0,1 =1,061.

Абсолютная погрешность

= | у - dy| = 0,061, а oтноси-

тельная погрешность δ =

100% =

0,061

100% ≈ 6% .

y

1,061

неточность

измерения

|

х | = 0,01. Отсюда абсолютная

погрешность

V

≈

dV

= 3x2dx = 3 42 0,01 = 0,48. Относи-

тельная погрешность

dV

0,48

100% = 0,75% .

=

V

64

двух

прямых

k1

= −

1

, уравнение нормали имеет вид

k2

y − y0

= −

1

(x − x0 ) , если

f ′(x0 ) ≠ 0 .

f ′(x0 )

Отрезки

AM = y0ctgα ,

BN = y0tgα называются, соответ-