Учебное пособие 1696

11.4. Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение. Обозначим множители за x и y тогда xy = 64.

Сумму квадратов обозначим за z = x2 + y 2 , z = x2 + 642 . x2

Найдем минимум функции:

Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку х = 8 (рис. 2.34), т. е. функция имеет минимум, следовательно, при x= 8, у = 8 сумма квадратов наименьшая.

Рис. 2.34

11.5. Из углов квадратного листа железа со стороной а нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 2.35), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квадрата?

Рис. 2.35

Решение. Если обозначить сторону вырезаемого квадрата через x, то сторона основания коробки будет равна a − 2x , а

121

высота - x. Объем коробки выразится функцией V = x(a −2x)2 ,

2.36). Следовательно, наибольшая вместимость коробки будет при стороне вырезаемых квадратов равной a6 .

Рис.7.36

11.6. Кусок угля массы m, лежащий на горизонтальной конвейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему силой (рис. 2.37). Под каким углом ϕ к горизонту следует

приложить эту силу, чтобы величина ее была бы наименьшей, если коэффициент трения угля по резине μ = 0,6 ?

Рис.2.37

Решение. Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие: Fcosϕ и Fsinϕ . Fcosϕ -сдвигающая

сила. Прижимающую силу находим, как разность силы веса куска и вертикальной составляющей mg − F sinϕ , где g-

122

ускорение свободного падения. Согласно закону Кулона сдвигающая сила равна прижимающей, умноженной на коэффициент трения, т. е. F cosϕ = μ(mg − F sinϕ) . Отсюда

ϕ0; π . Поскольку y′′ = −cosϕ − μsinϕ < 0, при

2

ϕ= arctgμ , то знаменатель y принимает наибольшее значение,

асоответственно, сила - наименьшее, т. е. прилагать силу под углом ϕ наиболее выгодно.

Угол ϕ - называется углом трения и в нашем случае ра-

вен ϕ = arctg 0,6.

11.7. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты.

Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

Решение. Обозначим высоту балки через h, ширину че-

рез b (рис. 2. 38).

Рис. 2.38

123

Сопротивление на изгиб определяется функцией y = bh2 .

y′′ = −2 3d < 0 . Поскольку у''<0, то сопротивление балки на

v' = 0.

Так как v'' = -6 для любого t, то при t =1 функция v имеет максимум, т. е. vmax = 24 ед.скорости.

11.9. Уравнение движения снаряда, вылетающего из ствола орудия с начальной скоростью v0 имеют вид

x = v0 cosαt,

y = v0 sinαt − gt 2 ,

2

124

где t - время, g - ускорение свободного падения, α - угол между горизонтом и направлением вылета.

Определить, под каким углом следует произвести выстрел, чтобы получить наибольшую дальность полета, если орудие стоит у подножья возвышенности, поверхность которой наклонена под углом β к горизонту (рис. 2.39).

Рис. 2.39

Решение. Поскольку требуется найти наибольшую дальность полета в зависимости от α , то дальность полета х примем за функцию, а α - за независимую переменную. Для этого, исключая из уравнений движения t, запишем уравнение

Из условия равенства ординат в точке А прямой ОА (рис.2.39) y = xtgβ и уравнения траектории находим, что

125

dα2

печивает наибольшую дальность полета.

11.10. Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8.

Решение. Пусть источники находятся в точках А и В, причем в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что точка С наименее освещена и отстоит от точки А на расстоянии х (рис. 2.40), тогда СВ = 25 - х. Если силу света более сильного источника принять за I, то сила света другого ис-

точника будет 278 I

Рис. 2.40

Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна силе света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до источника света, то, учитывая, что выбранная точка освещается обоими источниками света, функция освещенности

25 − x = 23 x .

126

Таким образом, наименее освещенная точка отстоит от источника А на расстоянии x = 15м.

Докажем это. Возьмем вторую производную от осве-

> О при x = 15, следовательно, точка С есть точка минимума функции.

11.11. Электрическая лампа висит над центром круглого стола радиуса r. На какой высоте над столом должна находится лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего освещена?

Решение. Обозначим высоту через х (рис. 2.41). Зная, что освещенность Е прямо пропорциональна косинусу угла падения и обратно пропорциональна квадрату расстояния до ис-

Рис. 2.41 127