Учебное пособие 1696

20. Вторая

производная

от

неявной функции

d 2 y

dx2

находится

дифференцированием

функции

y′ = ϕ(x, y)

по

переменной х,

учитывая при этом, что у

есть функция от х.

30. Вторая производная от функции у по х, заданной

параметрически, равна

y′′xx = ( y′x )′x =

( yt′)′t

=

y x

− x y

.

x′

x2

t

В

последнем

выражении

точки

означают

дифференцирование по t.

′′

′

Третья производная

′′′

=

( yxx )t

и т. д.

yxxx

xt′

40. Производную п-го порядка от произведения двух

функций удобнее находить по формуле Лейбница

(n)

(n)

n

(n−1)

′

n(n −1)

(n−2)

′′

(uv)

= u

v +1!u

+

2!

u

v

+... +

v

+

n(n −1)(n −k +1)

u

(n−k )

v

(k )

′

(n−1)

+ nv

(n)

=

k !

+... + nu v

n

= ∑Cnk u(n−k )vk ,

k =0

n!

k

где

Cn

=

биномиальные коэффициенты,

k!(n − k)!

u(0) = u,

v(0) = v.

50. Приведем некоторые общие формулы для производных

любого порядка

1.

y = xα ,

y(n) = α(α −1)...(α − n +1)xα −n . Если α = - 1 , то

1

n

=

(−1)n n!

Если α = −

1

1 (n)

=

(−1)n (2n −1)!!

.

, то

.

xn +1

2

(2x)n

x

x

x

8. y = eax sin bx;

y(n)

n

= (a2 +b2 )2 eax sin(bx + nϕ), где

sinϕ =

b

; cosϕ =

a

a2 + b2

a2 + b2 .

y(n) = (−1)n−1(n −1)!

1

1

9. y = arctgx;

sin n arctg

,

(1+ x2 )

n

2

x

где arctg

1

=

π

− y.

2

x

3.1. Для данных функций найти производные указанного

порядка:

а) y =

x2 −1

,

y′′? ;

б) y = arctg

x

, y′′′?;

x

a

в)

s = sin2 ϕ, s(4) ? ;

г) y = ln x, y(n) ? ;

д)

y = e−x sin x, y(4) ?

1

2xx

− x2 −1

2

y′ =

x2 −1

.

x2

− 2x x

2 −1 − x2

1

2x

2 −3x2

( y′)′x = y′′ =

2

x2 −1

=

.

x4 (x2 −1)

x3 (x2 −1)32

б) Находим первую производную

y

′

1

1

a

=

x

2

a = a2 + x2 .

1+

a

Дифференцируя у' по x, находим

вторую производную

y′′ =

− 2ax

.

(a2 + x2 )2

Дифференцируя еще раз по х, находим третью

производную

′′′

(a2

+ x2 )2 − 2x(a2 + x2 )2x 2a(3x2 − a2 )

y

= −2a

(a2 + x2 )4

= (a2 + x2 )3 .

y′

=

1

=

x

−1

;

y′′

= −1 x

−2

;

y′′′

=1

2x

−3

;

y

(4)

= −1 2 3x

−4

x

и т.д.

Отсюда y(n)

= (−1)n−1(n −1)!x−n

(См. 3. пункт 5°).

д) Поскольку функция у представляет произведение двух

функций

u = e−x ;v = sin x ,

то

применяя

формулу

Лейбница

y

(4)

= (uv)

(4)

= u

(4)

v +

′′′ ′

+

′′

′′

+

′

′′′

+ uv

(4)

(4) ,

4u v

6u v

4u v

получим

y(4)

= e−x sin x − 4e−x cos x − 6e−x sin x + 4e−x cos x + e−x sin x

3.2. Найти производные указанного порядка:

а)

e

y

+ xy = e, y′′? ;

б) y = x + arctg

y

, y′′?;

2

в)

y

3

= x

3

+

3xy,

x

′′

?;

г) cos(xy) = x

2

′′

, x ?;

д)

x

3

+ y

3

=

1, y

′′′

?;

e)

x = tg(x + y),

′′′

?

x

Решение. а) Дифференцируем правую и левую часть по х

e

y

y

′

+ y + xy

′

y

′

y

= 0,

откуда

= − ey + x.

Дифференцируем еще один раз по х

′

y

+ x) − y(e

y

y

′

+1)

y′′

= −

y

(e

.

(ey + x)2

Подставляя в последнее выражение значение у', получим

y

(e

y

+ x) + y(−e

y

y

+1)

2 y −

y2ey

y

′′

ey + x

ey + x

ey

+ x

=

(ey + x)2

=

(ey + x)2

=

=

2 y(ey + x) + y2ey

.

(ey + x)3

′

1

y′

′

4 + y2

y

=1

+

y

2 2 , откуда y

=

4 + y2 −1.

1 +

2

2 yy′

( 4 + y2 −1) − 4 + y

2

1 2 yy′

2

2

4 + y2

y′′ =

4 + y2

=

(

4 + y2

−1)2

= −

y

.

( 4 + y2 −1)3

в) Дифференцируем правую и левую часть по у

2

2

′

′

′

y2 − x

3y

=

3x

x

= x2 + y .

+

3(x y + x),

x

Дифференцируем

еще

раз

по

у

′

2

+ y) − ( y

2

− x)(2xx

′

+1)

′′

=

(2 y − x )(x

.

x

(x2 + y2 )

Подставляя

в

последнее

выражение х',

получим

2 y(x

2

+ y) −

( y

2

− x) −

( y2 − x)2 2x

− ( y

2

− x)

′′

x2 + y

=

=

x

(x2 + y)2

=

2 y(x2 + y)2 − 2( y2 − x)(x2

+ y) − 2( y2 − x)2 x

.

(x2 + y)3

г)

Дифференцируем

обе

части

по

у

′

′

′

xsin(xy)

−sin(xy)(x y

+ x)

= 2xx

, откуда x

= −

.

2x + y sin(xy)

′

=

′

′

x

(−((x

sin(xy) + x cos(xy)(x y + x))(2x + y sin(xy)) − xsin(xy)

(2x

′

′

+ x)))) /((2x + y sin(xy))

2

+ sin(xy) + y cos(xy)(x y

д) Дифференцируем обе части по х

2

2

2

′

′

x

3x

+ 3y

y

= 0 , откуда

y

= −

.

y

Дифференцируем еще раз по х

x y − xy′

xy + x

2

x2

xy3 + x4

y

′′

y2