Гидрогазодинамика. учебное пособие. Муравьев А.В., Кожухов Н.Н

Рис. 8.3. Движение течения в пограничном слое

Применим теорему об изменении количества движения к объему жидкости, ограниченному контуром ABCD и имеющему единичную толщину. Уравнение импульсов имеет вид

где f – результирующая всех сил, приложенных к объему.

Жидкость втекает в выделенный неподвижный объем через левую и верхнюю грани и вытекает через правую, в результате чего устанавливается некоторый баланс в обмене количеством движения.

Вычислим количество движения, поступающее в выделенный объем через грань AB . Через элементарную полоску этой грани с основанием dy и высотой, равной единице, протекает

за время t масса жидкости, равная vxdy t , через всю грань

AB поступает масса vx dy t . Элементарная масса vxdy t

0

несет количество движения, проекция которого на ось x равнаvx2dy t . Интегрируя это выражение по y от y 0 до y , получаем

261

mvx AB t vx2dy .

0

Приращение количества движения от грани AB до грани CD составит

Вычислим далее количество движения, поступающее в выбранный объем через верхнюю грань BC . Пусть скорость потока на верхней границе слоя равна U . Масса m жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне равна разности масс: поступившей внутрь объема ABCD через грань AB и вытекшей через грань CD , т.е.

262

Рассмотрим теперь силы, действующие на выделенный объем. Внешние объемные силы (например, силы тяжести) в пограничном слое намного слабее силы трения, поэтому будем ими пренебрегать. Чтобы определить проекцию действующих сил на ось x, нужно учесть: силу давления на грань AB , равную

p ; силу давления на грань CD , равную p p , гдеp – приращение давления от грани AB до грани CD , а – приращение толщены пограничного слоя от грани AB до грани CD ; силу давления на грань BC , равную p и силу трения,

равную x , где – сила трения на единицу площади обтекаемой поверхности. Суммирую эти силы, получим

fx p p p p x p x .

Подставляя полученные величины в уравнение импульсов (8.8), разделив на x и переходя к пределу при x 0 , имеем

Уравнение (8.9) называется уравнением импульсов или интегральным соотношением Кармана (1921) для плоского установившегося течения в пограничным слое.

Если выразить с помощью уравнения Бернулли продоль-

ный градиент давления dp через распределение скоростей U dx

во внешнем невозмущенном потоке, т.е.

dpdx U dUdx ,

то уравнение Кармана перепишется в виде

263

При выводе уравнения импульсов (8.9) мы не делали никаких предположений относительно природы касательного напряжения , поэтому оно в одинаковой степени применимо как к ламинарному, так и к турбулентному пограничному слою.

В уравнении импульсов предполагается известным распре-

деление скоростей во внешнем потоке, т.е. величины U и dUdx .

Они могут быть определены методами гидродинамики идеальной жидкости или опытным путем в результате измерения распределения давления на поверхности обтекаемого тела. Для определения наиболее важных для практики характеристик пограничного слоя – его толщины и касательного напряжения на стенке приходится задаваться распределением скоростей в слое. То обстоятельство, что скорость vx внутри слоя входит в

уравнение импульсов под знаком интеграла, уменьшает погрешность расчета и позволяет пользоваться приближенными законами распределения скорости.

8.2.2. Условные толщины пограничного слоя

Приведем еще одну форму записи уравнения импульсов, получаемую путем тождественных преобразований. Так как

то уравнение (8.9) может быть представлено в виде

Объединяя в последнем выражении члены, содержащие производные от интегралов, получим

264

Интеграл во втором слагаемом левой части уравнения (8.11) представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое, если бы скорость во всем его сечении не уменьшалась вследствие вязкости, а оставалась равной U , и действительным расходом (рис. 8.4). Таким образом, этот интеграл представляет собой уменьшение расхода в пограничном слое вследствие вязкости. Графически он изображен площадью с перекрестной штриховкой на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Интеграл уравнения (8.11)

Разделив этот интеграл на величину скорости U , получим

некоторый размер * , равный толщине слоя, через который протекал бы недостающий расход

На расстояние * оттесняются от поверхности тела линии тока невозмущенного течения вследствие торможения в погра-

ничном слое. Поэтому * носит название толщины вытеснения. Аналогично интеграл в первом слагаемом левой части уравнения (8.11) можно рассматривать как уменьшение количества движения жидкости, протекающей через пограничный

265

слой, или потерю импульса. Разделив этот интеграл на U 2 , по-

лучим линейную величину ** , называемую толщиной потери импульса

В этой форме записи уравнения импульсов неизвестными являются * , ** и .

8.2.3. Ламинарный пограничный слой на плоской пластинке

При продольном обтекании тонкой плоской пластинки ско-

рость внешнего потока не меняется по длине x члены U dUdx в

уравнениях Прандтля (8.2) и U dUdx в уравнении Кармана

(8.10) равны нулю. Поэтому основные параметры пограничного слоя на плоской пластинке определяются наиболее просто. Результаты этого расчета часто используются для приблизительного определения параметров пограничного слоя различных удобообтекаемых тел – тонких крыльев и др.

266

т.е.

В данном случае имеем

v .

Для определения толщины пограничного слоя подставим полученные величины в уравнение импульсов (8.13). Для этого вычислим входящие в него интегралы

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, запишем его в виде

d 6 dx . v

Интегрируя это уравнение, получаем

268

2 12 x C . v

Постоянную интегрирования находим из условия на передней кромке пластинки. Полагая, что при x 0 пограничный

слой только начинает развиваться, т.е. x 0 0 , имеем C 0 ,

Полученные формулы для и τ отличаются от точных формул, являющихся результатом более сложного решения уравнений Прандтля (8.1), только числовыми коэффициентами. Точные решения имеют вид

(в точном решении за толщину пограничного слоя принималось такое расстояние, от стенки, где скорость отличается всего на 1 % от скорости невозмущенного потока). Величины и могут быть вычислены гораздо точнее, если не ограничиваться двумя слагаемыми в разложении vx по степеням y , а взять три или

четыре слагаемых; результаты решения в этом случае быстро сходятся к точным формулам (8.16) и (8.17).

269

Решение для пластинки показывает, что в ламинарном пограничном слое его толщина нарастает по длине пластинки по параболическому закону, а напряжения трения обратно про-

порционально x (рис. 8.5). Этот закон при x 0 дает ; в действительности напряжение трения у входной кромки не может возрастать безгранично, так как у реальной пластинки (а не бесконечно тонкой) происходит торможение у входной

кромки из-за ее конечной толщины vx x 0 0 . Следовательно, в передней критической точке и x x 0 0 . Поэтому действитель-

ное распределение касательных напряжений на поверхности пластинки будет таким, как показано на рис. 8.5 пунктирной линией. Величина участка, к которому не применима формула (8.17), зависит от степени заостренности входной кромки пластинки.

Рис. 8.5. Распределение касательных напряжений на поверхности пластинки

Определим полную силу трения на поверхности пластинки длиной l и шириной b при ламинарном обтекании. Используя выражение (8.17), получим, что сила трения на одной из сторон пластинки равна