2.4. Моделирование факторного пространства рисков и оценка воздействия

Следующий этап – определение влияния рисков на реализацию проекта строительства высотного здания. Иными словами, необходимо определить, какова величина наиболее вероятного ущерба, который будет иметь инвестор при строительстве объектов повышенной этажности, в случае наступления неблагоприятных ситуаций. Это могут быть и техногенные катастрофы, и неблагоприятные климатические условия, и инфляция, и политические протесты общества и множество других факторов, которые в конечном итоге могут существенно повлиять на доходность проекта.

Кластеры сформированы таким образом, что в кластер попадают риски независимо от природы возникновения, но приблизительно одинаковые по количественным характеристикам. Таким образом, выделены три основных кластера, которым даны новые групповые определения.

Необходимо оценить влияние каждой кластера на результат реализации проекта. Использован метод определения кластерного расстояния [98].

Для определения близости пары точек в многомерном пространстве используется евклидово расстояние

I,j = 1, …, n. (2.10)

где d_ij - евклидово расстояние между i-м и j-м объектами; x_it, - значение i-то показателя для i-го объекта.

На основании полученных значений цены риска вычислим расстояние между каждой парой объектов по формуле (2.9), получим квадратную матрицу D, имеющую размеры nxn (по числу объектов); эта матрица симметрична, т.е. d_ij = d_ij (i,j=1,…,n).

_(2.11)

Матрица расстояний D служит основой при реализации методов кластерного анализа, в том числе и агломеративно-иерархического метода, который часто используется для многомерной классификации объектов в социально-экономических исследованиях. Основная идея этого метода заключается в последовательном объединении группируемых объектов - сначала самых близких, затем более удаленных друг от друга. Процедура построения классификации состоит из последовательности шагов, на каждом из которых производится объединение двух ближайших групп объектов (кластеров).

В результате формализуется кластер рисков, наиболее активно влияющих на прогноз доходности проекта. Все виды возможных рисков сгруппированы в кластеры по отдельным характерным признакам. Характер распределения объектов внутри каждой группы предполагает построение многомерной классификации на основе методов кластерного анализа. Такой подход позволяет идентифицировать группу рисков, наиболее существенно влияющих на прогноз развития проекта, и позволяет своевременно проработать механизм нейтрализации рисков и мер по снижению его воздействия.

Существуют различные способы определения расстояния между группами объектов (различающие методы кластерного анализа). Обычно близость двух кластеров определяется как средний квадрат расстояния между всеми такими парами объектов, где один объект пары принадлежит к одному кластеру, а другой - к другому:

(2.12)

где D_pq - мера близости между р-м и q-м кластерами; R_p - р-й кластер; R_q - q-й кластер; n_q- число объектов в p-м кластере; n_q- число объектов в q -м кластере.

На первом шаге процедуры агломеративно-иерархического метода кластерного анализа рассматривается начальная матрица расстояний между объектами и по ней определяется минимальное число d_i1j1; далее, наиболее близкие объекты с номерами i₁ и j₁ объединяются в один кластер, в матрице вычеркиваются строки и столбец с номером j₁ , а расстояния от нового кластера (он получает номер i₁ ) до всех остальных кластеров (на первом шаге - объектов) вычисляются по формуле (2.11); в данном случае квадраты таких расстояний равны полусуммам квадратов расстояний от i₁-го и j₁-го объектов до каждого из остальных. Эти вновь вычисленные значения расстояний заносятся в i₁-ю строку и i₁-й столбец матрицы D.

На втором шаге процедуры по матрице D, содержащей уже n-1 строк и столбцов, определяют минимальное число d_i2j2 и формируют новый кластер с номером i₂. Этот кластер может быть построен в результате объединения либо двух объектов, либо одного объекта с i₁ -м кластером, построенным на первом шаге. Далее, в матрице D вычеркиваются строка столбец с номером j₂, а строка и столбец с номером i₂ перечитываются, и т.д.

Таким образом, метод кластерного анализа включает п-1 аналогичных шагов. При этом после выполнения k-го шага (k n-1) число кластеров равно n-k (некоторые из них могут быть отдельными объектами), а матрица D имеет размеры (n-k)^x (n-k).В конце этой процедуры, на (n-1)-м шагe, получится кластер, объединяющий все n объектов.

Результаты классификации, построенной изложенным методом, можно изобразить в виде дерева иерархической структуры (дендрограммы), содержащего n уровней, каждый из которых соответствует одному из шагов описанного процесса последовательного укрупнения кластеров.

В кластерном анализе существенным является выбор необходимого числа кластеров. В некоторых случаях число кластеров может быть выбрано из априорных соображений, однако чаще это число определяется в процессе формирования кластеров на основе значений некоторых показателей их однородности и степени удаленности друг от друга (например, показателей внутригрупповой дисперсии или вариации).

Таким образом, алгоритм решения предполагает несколько этапов. Первый этап – идентификация рисков по качественным и количественным признакам на основе кластерного анализа, что позволит группировать риски не только по источникам их возникновения, но и по вероятности возникновения и величине ущерба.

Необходимо выделить риски по степени значимости, которая предполагает максимально возможный ущерб при реализации инвестиционного проекта. Риски характеризуются вероятностью наступления и ценой риска.

Вторым этапом оценки кластеров риска предлагается измерение весового фактора или влияния их на результат реализации проекта. При анализе рисков и величине возможного ущерба от его наступления невозможно оперировать детерминированными величинами. Для более точных оценок воспользуемся задачей в стохастической постановке.

Так как случайные величины могут определяться как реализациями, так и их количественными характеристиками и законами их распределения, то на этапе планирования, как правило, неизвестны, и поэтому пользуются только характеристиками случайных величин и законами их распределения. Кроме того, говоря о рисках, необходимо учесть возможность различных временных интервалов их наступления.

Задача стохастического программирования может быть сформулирована в M- или P-постановках.

При M-постановке целевая функция, означающая максимизацию (минимизацию) математического ожидания, записывается в виде:

. (2.13)

Если от математического ожидания целевой функции перейти к математическим ожиданиям случайных величин , то получим:

. (2.14)

Таким образом, при M-постановке задачи стохастического программирования для ее решения требуется найти такие значения искомых переменных , при которых математическое ожидание целевой функции имеет оптимальное (минимальное, максимальное) значение.

При P-постановке задача стохастического программирования формулируется несколько иначе. Прежде всего, должно быть задано предельно допустимое наихудшее значение целевой функции. При максимизации задается минимально допустимое значение и требуется выполнение условия . При минимизации задается максимально допустимое значение и требуется выполнение условия .

Суть P-постановки заключается в том, что необходимо найти такие значения , при которых максимизируется вероятность того, целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Целевая функция при P-постановке задачи стохастического программирования имеет вид:

а) при максимизации

; (2.15)

б) при минимизации

. (2.16)

Следует отметить, что в обоих случаях, как при минимизации, так и при максимизации, целевой функции следует стремиться к максимизации вероятности.

Пусть задана некоторая конкретная область возможных значений вариации величины возможных потерь V_i, значения которых есть случайные величины, принадлежащие интервалу [0; V_max], где значение V_max определяется для каждого вида риска. Заданную область обозначим через . При этом необходимо выполнение условия:

, (2.17)

где - значение i-той величины возможных потерь.

Возникает вопрос: какова вероятность наступления события A с числовым значением ? В данном случае воспользуемся понятием геометрической вероятности и вычислим ее с помощью меры Лебега [2]. Условно разобьем  на n частей одинаковой меры Лебега. Пусть событие A таково, что оно целиком состоит из множества k таких частей. Тогда эксперимент случайного выбора точки из множества  может быть описан с помощью классической схемы. Всего n равновозможных исходов. При этом вероятность события A равна отношению числа частей, составляющих A, к общему числу частей. Символом mes обозначим меру Лебега [2]:

P(A) = (2.18)

По формуле (2.17) вычислим вероятность приближения к максимальному значению всех видов ущерба. Применяя М-постановку, найдем значения математических ожиданий:

(2.19)

Цена риска определена как математическое ожидание события. Этот вариант оценки является наиболее точным. При этом рассмотренная модель позволит оценить интервальную вероятность. В этом случае все остальные параметры также будут иметь некоторый интервал значений. Следовательно, разработанная модель оценки рисков позволяет использовать различные методы вычисления.

На основании метода кластерного анализа определим кластерные расстояния по признаку «цена риска». Кластерные расстояния рассчитываются как евклидово расстояние (2.10). Прежде всего, определяются квадраты расстояний (табл. 2.7).

Таблица 2.7

Матрица квадратов расстояний

код		101	102	103	211	212	213	221	222	231	232	233	301	302	303	304	401	402	403	501	502	503	601	602
	Цена риска	9,0	9,0	8,0	1,5	1,5	2,0	10,0	12,0	3,0	2,0	0,5	10,0	7,5	9,0	16,0	17,5	12,5	6,0	18,0	18,0	15,0	22,5	4,0
101	9,0	0	0	1	56,3	56,3	49	1	9	36	49	72,3	1	2,25	0	49	72,3	12,3	9	81	81	36	182	25
102	9,0	0	0	1	56,3	56,3	49	1	9	36	49	72,3	1	2,25	0	49	72,3	12,3	9	81	81	36	182	25
103	8,0	1	1	0	42,3	42,3	36	4	16	25	36	56,3	4	0,25	1	64	90,3	20,3	4	100	100	49	210	16
211	1,5	56,3	56,3	42,3	0	0	0,25	72,3	110	2,25	0,25	1	72,3	36	56,3	210	256	121	20,3	272	272	182	441	6,25
212	1,5	56,3	56,3	42,3	0	0	0,25	72,3	110	2,25	0,25	1	72,3	36	56,3	210	256	121	20,3	272	272	182	441	6,25
213	2,0	49	49	36	0,25	0,25	0	64	100	1	0	2,25	64	30,3	49	196	240	110	16	256	256	169	420	4
221	10,0	1	1	4	72,3	72,3	64	0	4	49	64	90,3	0	6,25	1	36	56,3	6,25	16	64	64	25	156	36
222	12,0	9	9	16	110	110	100	4	0	81	100	132	4	20,3	9	16	30,3	0,25	36	36	36	9	110	64
231	3,0	36	36	25	2,25	2,25	1	49	81	0	1	6,25	49	20,3	36	169	210	90,3	9	225	225	144	380	1
2 32	2,0	49	49	36	0,25	0,25	0	64	100	1	0	2,25	64	30,3	49	196	240	110	16	256	256	169	420	4
233	0,5	72,3	72,3	56,3	1	1	2,25	90,3	132	6,25	2,25	0	90,3	49	72,3	240	289	144	30,3	306	306	210	484	12,3
301	10,0	1	1	4	72,3	72,3	64	0	4	49	64	90,3	0	6,25	1	36	56,3	6,25	16	64	64	25	156	36
302	7,5	2,25	2,25	0,25	36	36	30,3	6,25	20,3	20,3	30,3	49	6,25	0	2,25	72,3	100	25	2,25	110	110	56,3	225	12,3
303	9,0	0	0	1	56,3	56,3	49	1	9	36	49	72,3	1	2,25	0	49	72,3	12,3	9	81	81	36	182	25
304	16,0	49	49	64	210	210	196	36	16	169	196	240	36	72,3	49	0	2,25	12,3	100	4	4	1	42,3	144
401	17,5	72,3	72,3	90,3	256	256	240	56,3	30,3	210	240	289	56,3	100	72,3	2,25	0	25	132	0,25	0,25	6,25	25	182
402	12,5	12,3	12,3	20,3	121	121	110	6,25	0,25	90,3	110	144	6,25	25	12,3	12,3	25	0	42,3	30,3	30,3	6,25	100	72,3
403	6,0	9	9	4	20,3	20,3	16	16	36	9	16	30,3	16	2,25	9	100	132	42,3	0	144	144	81	272	4
501	18,0	81	81	100	272	272	256	64	36	225	256	306	64	110	81	4	0,25	30,3	144	0	0	9	20,3	196
502	18,0	81	81	100	272	272	256	64	36	225	256	306	64	110	81	4	0,25	30,3	144	0	0	9	20,3	196
503	15,0	36	36	49	182	182	169	25	9	144	169	210	25	56,3	36	1	6,25	6,25	81	9	9	0	56,3	121
601	22,5	182	182	210	441	441	420	156	110	380	420	484	156	225	182	42,3	25	100	272	20,3	20,3	56,3	0	342
602	4,0	25	25	16	6,25	6,25	4	36	64	1	4	12,3	36	12,3	25	144	182	72,3	4	196	196	121	342	0

Таким образом, получена симметричная матрица. Подсчитав значения коэффициентов d_ij или S_ij для всех пар объектов, получили квадратную матрицу размером nxn аналогичную матрице расстояний D (и также симметричную), которую далее можно анализировать с помощью какого-либо метода автоматической классификации.

Минимизация среднего расстояния между кластерами, которая производится на каждом шаге, эквивалентна минимизации некоторого критерия качества классификации, оценивающего степень однородности формируемых кластеров.

Для удобства проведения дальнейших процедур переформатируем табл. 2.7 таким образом, чтобы группировка кластеров просматривалась наиболее явно (табл.2.8).

Таблица 2.8

Кластеры рисков

код			233	211	212	213	232	231	602	403	302	103	101	102	303	221	301	222	402	503	304	401	501	502	601
		№ кластера	1									2									3
	№ кластера	Цена риска	0,5	1,5	1,5	2,0	2,0	3,0	4,0	6,0	7,5	8,0	9,0	9,0	9,0	10,0	10,0	12,0	12,5	15,0	16,0	17,5	18,0	18,0	22,5
233	1	0,5	0	1	1	2,25	2,25	6,25	12,3	30,3	49	56,3	72,3	72,3	72,3	90,3	90,3	132	144	210	240	289	306	306	484
211		1,5	1	0	0	0,25	0,25	2,25	6,25	20,3	36	42,3	56,3	56,3	56,3	72,3	72,3	110	121	182	210	256	272	272	441
212		1,5	1	0	0	0,25	0,25	2,25	6,25	20,3	36	42,3	56,3	56,3	56,3	72,3	72,3	110	121	182	210	256	272	272	441
213		2,0	2,25	0,25	0,25	0	0	1	4	16	30,3	36	49	49	49	64	64	100	110	169	196	240	256	256	420
232		2,0	2,25	0,25	0,25	0	0	1	4	16	30,3	36	49	49	49	64	64	100	110	169	196	240	256	256	420
231		3,0	6,25	2,25	2,25	1	1	0	1	9	20,3	25	36	36	36	49	49	81	90,3	144	169	210	225	225	380
602		4,0	12,3	6,25	6,25	4	4	1	0	4	12,3	16	25	25	25	36	36	64	72,3	121	144	182	196	196	342
403		6,0	30,3	20,3	20,3	16	16	9	4	0	2,25	4	9	9	9	16	16	36	42,3	81	100	132	144	144	272
3 02		7,5	49	36	36	30,3	30,3	20,3	12,3	2,25	0	0,25	2,25	2,25	2,25	6,25	6,25	20,3	25	56,3	72,3	100	110	110	225
103	2	8,0	56,3	42,3	42,3	36	36	25	16	4	0,25	0	1	1	1	4	4	16	20,3	49	64	90,3	100	100	210
101		9,0	72,3	56,3	56,3	49	49	36	25	9	2,25	1	0	0	0	1	1	9	12,3	36	49	72,3	81	81	182
102		9,0	72,3	56,3	56,3	49	49	36	25	9	2,25	1	0	0	0	1	1	9	12,3	36	49	72,3	81	81	182
303		9,0	72,3	56,3	56,3	49	49	36	25	9	2,25	1	0	0	0	1	1	9	12,3	36	49	72,3	81	81	182
221		10,0	90,3	72,3	72,3	64	64	49	36	16	6,25	4	1	1	1	0	0	4	6,25	25	36	56,3	64	64	156
301		10,0	90,3	72,3	72,3	64	64	49	36	16	6,25	4	1	1	1	0	0	4	6,25	25	36	56,3	64	64	156
222		12,0	132	110	110	100	100	81	64	36	20,3	16	9	9	9	4	4	0	0,25	9	16	30,3	36	36	110
402		12,5	144	121	121	110	110	90,3	72,3	42,3	25	20,3	12,3	12,3	12,3	6,25	6,25	0,25	0	6,25	12,3	25	30,3	30,3	100
503		15,0	210	182	182	169	169	144	121	81	56,3	49	36	36	36	25	25	9	6,25	0	1	6,25	9	9	56,3
304	3	16,0	240	210	210	196	196	169	144	100	72,3	64	49	49	49	36	36	16	12,3	1	0	2,25	4	4	42,3
401		17,5	289	256	256	240	240	210	182	132	100	90,3	72,3	72,3	72,3	56,3	56,3	30,3	25	6,25	2,25	0	0,25	0,25	25
501		18,0	306	272	272	256	256	225	196	144	110	100	81	81	81	64	64	36	30,3	9	4	0,25	0	0	20,3
502		18,0	306	272	272	256	256	225	196	144	110	100	81	81	81	64	64	36	30,3	9	4	0,25	0	0	20,3
601		22,5	484	441	441	420	420	380	342	272	225	210	182	182	182	156	156	110	100	56,3	42,3	25	20,3	20,3	0

Определим расстояние между кластерами и построим соответствующую матрицу (табл.2.9).

Таблица 2.9

Матрица кластерных расстояний

Наименование кластеров	Консервативный	Умеренный	Агрессивный
Консервативный (1)	0	23,2	34,5
Умеренный (2)	23,2	0	24,6
Агрессивный (3)	34,5	24,6	0

Получен «треугольник рисков», который графически представлен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. «Треугольник рисков».

Геометрическая интерпретация ситуации рисков, представленная на рис. 2.9, трактуется следующим образом. Объект находится в центре тяжести треугольника. Как известно, центр тяжести или центр масс – это точка пересечения медиан треугольника. Степень влияния каждого кластера рисков (вершины треугольника) определена геометрически как 2/3 медианы.

Кластеры рисков сформированы по признаку цены рисков, то есть величины ожидаемых потерь от наступления риска с учетом вероятности и максимального ущерба. Расстояние между кластерами, соответственно, также выражено в единицах цены риска.

Если расстояние между вершинами треугольника будет увеличиваться, следовательно, цена риска будет расти. Для определения степени влияния кластеров рисков на объект необходимо определить длины медиан треуголика (рис 2.5).

Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация рисков.

Определим длины медиан треугольника.

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Для кластера рисков:

Центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан, причем медианы в этой точке имеют отношение 2:1. Следовательно, степень влияния кластера рисков R_ki на объект можно определить как 2/3 длины медианы соответствующей кластерной вершины:

R_k1 = 226,7/3 = 17,8; R_k2 = 216,6/3 = 11,04; R_k3 = 227,6/3 = 18,4.

Таким образом, определена цена кластерных рисков и выявлены степени их влияния на реализацию объекта. Несмотря на то, что кластеры представляю три группы рисков (консервативные, умеренные и агрессивные) согласно разработанной классификации, степени влияния различаются незначительно. Это происходит в силу того, что вероятность возникновения риска с высоким уровнем ущерба, как правило, намного ниже, чем вероятность возникновения консервативных рисков с незначительным возможным ущербом. Следовательно, происходит «нивелирование» цены риска, и в результате кластерные группы рисков оказывают на объект практически равное воздействие.

Оценка рисков позволяет не только оценить величину возможного ущерба с наибольшей вероятностью, но и принять меры по нейтрализации рисков. Например, в сейсмоактивных зонах, где вероятность землетрясений высока, здания и сооружения строятся с использованием более прочных конструкций.

Таким образом, на основании предложенной модели проведена идентификация рисков, группировка их в кластеры с целью выделить наиболее значимые, а также проведена оценка их влияния на условия реализации проекта.