5.1. Корневой метод синтеза

Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

sⁿ+A₁s^n-1+...+A_n = 0. (5.1)

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A₁. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(s^n-2+C₁s^n-3+...+C_n-3) (s²+B₁s+B₂) = 0. (5.2)

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

- B₂ определяется значением K и должен иметь возможно большее значение.

- B₁ определяется суммой 2-х низкочастотных постоянных времени и связан с затуханием , следовательно должен быть выбран исходя из 2-х противоречивых требований быстродействия и устойчивости.

Оптимальное соотношение между B₁ и B₂ может быть получено из условия затухания за один период , выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

 =   = 2  / ln(1/(1-1/ )),   где: = - B₁/2;   = (B₂-B₁²/4)^1/2.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(...) (s³+B₁s²+B₂s¹+B₃) = 0, (5.3)

которое нужно представить в виде:

(s+C₁₁) (s²+B₁₁s+B₂₂) = 0. (5.4)

Вещественные части корней будут равны ₁ =  _2,3 = - B₁/3. Требования к B₁₁ и B₂₂ уже сформулированы, а связи с (5.3) определены равенствами:

B₁=C₁₁+B₁₁,   B₂=B₂₂+B₁₁C₁₁,  B₃=C₁₁B₂₂. (5.5)

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.

5.2. Метод корневых годографов

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Если ПФ замкнутой САР:

, (5.6)  

где: m < n,

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K, ..., T_i, ..., ), то изменения в ПФ (s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: , , .

Наиболее эффективен метод при выборе K. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

, (5.7)

здесь s - не оператор Лапласа или дифференцирования, а любой из корней!!!

Если корни - полюсы и нули известны (q₁^o, q₂^o, ..., q_m^o; q₁^x, q₂^x, ..., q_n^x), то операторную часть ПФ - G₁(s) можно представить в виде:

, (5.8)

, (5.9)

  n>m.

Представим сомножители (s - q_i) векторами:

, (5.10)

Теперь вновь запишем ХУ:

, (5.11)

1. Если K=0, то корни ХУ совпадают с полюсами W(s), т.к. G(s) должна стремится к бесконечности.

2. Если K , то часть корней ХУ совпадают с нулями W(s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G(s) как при совпадении s с нулями, так и при s . Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

( +2i ) / (n-m),    (5.12)

где: i=1,2, ..., n-m.