1.5. Постановка задачи синтеза передаточных функций ких-фильтров с дискретными коэффициентами

Допустим, имеется ЦФ с передаточной функцией , модуль которой в дальнейшем будем рассматривать как функцию , где - угловая частота, - значение i-го коэффициента, а n – число коэффициентов в ЦФ, считая что . Известно, что для данного ЦФ выполняются следующие условия:

, при ,

, при , (1.62)

где - допуски изменения модуля передаточной функции в полосе пропускания и полосе задерживания . Необходимо найти такие значения коэффициентов , при которых для ЦФ с функцией выполнялись бы условия (1.62) при минимуме общего числа ненулевых элементов в коэффициентах ЦФ, представленных в знакоразрядном коде. Так как коэффициенты ЦФ заданы на конечном множестве значений, то данная задача относится к нелинейному целочисленному программированию и её оптимальное решение можно найти полным перебором всех возможных вариантов, число которых определяется как , где p и q – число целых и дробных разрядов коэффициента k соответственно.

Рассмотрим эвристический алгоритм решения указанной задачи, позволяющий существенно сократить число вариантов перебора.

Идея алгоритма заключается в следующем. Сначала для исходной функции находится общее число ненулевых элементов в двоичном разложении коэффициентов. Затем определяется максимальное изменение для каждого коэффициента . Далее производится изменение каждого коэффициента ЦФ в пределах относительно исходного значения с шагом, равным единице младшего разряда, то есть . Число таких шагов определяется как . Тогда число вариантов перебора по каждому коэффициенту равно , а общее число вариантов . Для каждого из вариантов находится число ненулевых элементов и если (на первом этапе ), то для данного варианта проверяются условия (1.62), в случае их выполнения . В противном случае переходим к рассмотрению следующего варианта и так далее до тех пор, пока не будут рассмотрены все возможные варианты перебора. В указанном алгоритме используется метод «ветвей и границ», так как в процессе его выполнения значение будет уменьшаться и, следовательно, для многих вариантов условие (1.62) проверяться не будет. Следует отметить, что для нерекурсивных ЦФ коэффициенты ЦФ изменяются попарно, чтобы сохранить линейность фазовой характеристики фильтра.

Определим максимальное изменение каждого коэффициента , при котором целесообразна проверка условия (1.62). Для этого рассмотрим функцию на ряде равностоящих значений частоты . Обозначим через , где для :

,

,

а для : и , то есть величина показывает, на сколько можно изменять значение коэффициента , чтобы для данной функции на частоте не нарушалось бы условие (1.62) при неизменных остальных коэффициентах.

Обозначим через , что соответствует максимальному изменению коэффициента , при котором не нарушаются условия (1.62) для любой частоты , когда остальные коэффициенты неизменны. Однако в процессе оптимизации все коэффициенты ЦФ могут изменяться. В частности, максимальное отклонение передаточной функции на частоте за счёт изменения всех коэффициентов, кроме , будет равно:

(1.63)

, где - производная от модуля функции по коэффициенту на частоте . Максимальное изменение коэффициента на частоте определим, исходя из компенсации отклонения (1.63) изменением коэффициента Тогда с учётом допусков в полосе пропускания и задерживания

, (1.64)

где при и при , а определим как .