1.2 Основные этапы проектирования ких - фильтров
На рис 1.3 показана схема, поясняющая основные этапы проектирования нерекурсивных цифровых фильтров.
Первый этап – формулировка задачи аппроксимации – включает в себя следующие шаги:
- выбор типа фильтра (с линейной ФЧХ определённого вида или другого);
- выбор аппроксимирующей
функции
,
значения которого определяют требуемую
характеристику фильтра, например АЧХ.
Здесь
-
нормированная частота;
-
вектор коэффициентов, совпадающий с
вектором коэффициентов фильтра b
или достаточно просто связанный с ним;
- определение
аппроксимируемой функции
,
задающей требования к заданной
характеристике;
- выбор критерия аппроксимации, то есть уточнение смысла приближённого равенства,
(1.6)
при заданных значениях ;
- определение
весовой функции аппроксимации
,
задающей требования к точности
приближённого равенства (1.6). Целью
первого этапа является математическая
формулировка задачи вычисления вектора
по заданным требованиям к характеристикам
фильтра.
Рис. 1.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных цифровых фильтров
Второй этап – решение задачи аппроксимации - включает в себя следующие шаги:
- оценку необходимого порядка фильтра N;
- расчёт вектора коэффициентов ;
- проверку критерия получения решения (выполнение заданных требований к характеристикам фильтра).
Если требования к характеристикам выполняются, то по вектору коэффициентов с определяется вектор b и второй этап заканчивается. Если требования не выполняются, необходимо вернуться ко второму шагу и рассчитать вектор с при большем значении N.
Целью второго этапа является определение вектора коэффициентов фильтра b.
Третий этап –
расчёт разрядности
коэффициентов (или разрядности регистров
ПЗУ) – зависит от выбранной элементной
базы. При реализации фильтра на ПЛИС
необходимо минимизировать значение
,
уменьшая его до тех пор, пока заданные
требования перестанут выполняться.
На четвёртом этапе рассчитываются разрядности регистров оперативной памяти таким образом, чтобы мощность собственных шумов фильтра была меньше, чем мощность шума на входе. На пятом этапе осуществляется схемная реализация фильтра на выбранной элементной базе.
Рассмотрим теперь различные постановки задач аппроксимации.
Целью решения
аппроксимационной задачи является
определение коэффициентов
передаточной функции фильтра.
Аппроксимирующая функция
должна удовлетворять следующим
требованиям:
- вектор должен быть связан простой зависимостью с вектором коэффициентов b;
- функция должна достаточно просто зависеть от вектора с;
- при заданных значениях должно выполняться (1.6).
Наиболее простой
и удобной для решения задачи аппроксимации
является линейная зависимость функции
от вектора с:
.
(1.7)
Существуют два основных критерия аппроксимации, уточняющие смысл (1.6):
среднеквадратический критерий
(1.8)
и наилучший равномерный (чебышевский) критерий
(1.9)
Критерии (1.8) и (1.9) могут применяться совместно – каждый для определённой области частот. Выбор критерия аппроксимации определяется физическим смыслом задачи.
Общий принцип
определения значений весовой функции
состоит в следующем: чем точнее должно
выполняться (1.6) при
,
тем больше должно быть значение
.
При использовании критерия (1.9) для
отдельных подынтервалов частот
задаются значения
такие, чтобы на этих подынтервалах
выполнялось неравенство
.
(1.10)
Тогда для j-го подынтервала
,
(1.11)
где R – произвольная константа (нормирующий множитель), общая для всех подынтервалов.
Для избирательных
фильтров с линейной ФЧХ аппроксимируемые
функции имеют вид: в полосах пропускания
;
в полосах задерживания
;
в промежуточных полосах значение
не задано и может быть принято любым в
пределах от 0 до 1.
Так, для ФНЧ
1
при
(полоса
пропускания);
0 при
(полоса задерживания).
Аппроксимирующие функции имеют вид:
При нечётном N
причём
;
при чётном N
причём
Рис. 1.4
Методы решения задач аппроксимации тесно связаны с принятыми критериями аппроксимации. В зависимости от использованного критерия их можно разбить на три группы. Первая группа соответствует среднеквадратическому критерию, вторая наилучшему равномерному (чебышевскому) критерию и третья – иным критериям аппроксимации. Первая группа включает методы разложения в ряд Фурье и наименьших квадратов, вторая – алгоритм Ремеза и некоторые другие сравнительно редко используемые алгоритмы. Методы последней группы основаны на интерполяции аппроксимируемой функции и относительно редко используются.
Рассмотрим метод
наименьших квадратов. Этот метод точно
соответствует критерию (1.8) – при
заданных величинах
и функциях
и
требуется определить вектор
,
минимизирующий целевую функцию
(1.12)
Необходимые и достаточные условия минимума (1.12) имеют вид
(1.13)
и с учётом (1.7)
сводятся к системе линейных алгебраических
уравнений относительно
:
,
(1.14)
где
;
;
.
При решении задачи
аппроксимации можно оценить её
погрешность. Как правило, погрешностью
аппроксимации АЧХ в j-й
полосе пропускания или задерживания
фильтра с граничными частотами
и
называют величину
(1.15)
при .
Для метода
наименьших квадратов значение
рассчитывается на ЭВМ методом перебора
значений функции
с шагом
на интервале
.
Максимально допустимое значение
,
при котором
ещё рассчитывается достаточно точно,
определяется выражением (1.9)
,
где N – порядок фильтра.