1.4. Векторная постановка задачи оптимального проектирования цифровых фильтров

В наиболее общем случае задача проектирования ЦФ сводится к синтезу фильтра, отвечающего заданному комплексу требований. Поэтому постановка задачи проектирования заключается в формировании комплекса требований, которые представляют собой частное техническое задание (ЧТЗ) на проектирование. Составление ЧТЗ входит в процесс проектирования, и от правильности решения этой задачи во многом зависят результирующие свойства проектируемого объекта.

Рыночные отношения обусловливают необходимость разработки конкурентоспособных ЦФ, спрос на которые будет устойчивым в течение ряда лет. Поэтому роль процедуры составления ЧТЗ в настоящее время весьма велика. При разработке и согласовании разделов ЧТЗ выявляются проектные, конструктивные и технологические противоречия, успешное разрешение которых является предметом исследования. С одной стороны, ЧТЗ должно соответствовать современным требованиям, с учетом последних достижений в областях теории, технологии и производства, а с другой - ориентация только на перспективные достижения (технологии и технические решения) в условиях недостаточной изученности их особенностей и технологической освоенности может привести к срыву разработки и выпуска этих устройств. Поэтому на этапе формирования ЧТЗ важно не только правильно определить основные цели проектирования, но и указать основные условия и конструктивно-технологические ограничения, которым должны удовлетворять структура и параметры проектируемого устройства. Обычно ЧТЗ на проектирование ЦФ включает несколько разделов, основными из которых являются назначение устройства, совокупность критериев качества, ограничений и т. п.

Конкретные числовые требования целесообразно включать во все разделы ЧТЗ, кроме критериев качества (оптимальности). Это обеспечивает достаточно полную реализацию возможностей проектировщика (интеллектуальных, технологических, информационных и др.). Наличие ряда характеристик устройства в составе ненормированных критериев качества обуславливает многовариантность проектирования и обеспечивает обоснованность выбора одного или нескольких перспективных технических решений. Кроме того, ненормированные критерии качества и их оптимизация позволяют выявить противоречия при проектировании и привести к необходимости проектирования ЦФ на уровне изобретения.

ЧТЗ должно включать в себя группы технических требований, предъявляемые к основным характеристикам устройства; конкретные числовые данные, характеризующие условия сопряжения ЦФ с соседними каскадами; требования к экономическим и эксплутационным характеристикам объекта проектирования; конструктивно-технологические ограничения на внутренние варьируемые параметры; качественное описание требований, ограничений и условий, непосредственно не поддающихся количественной оценке.

Первые три группы требований могут быть представлены количественно. Последняя группа требований представляет собой качественную сторону объекта проектирования. Таким образом, все требования ЧТЗ делятся соответственно на количественные и качественные.

Требования количественного характера поддаются формализации и в окончательном виде представляют собой совокупность (вектор) TT=( ) технико-экономических требований , где число m может быть достаточно большим (например, больше десяти). Технико-экономические требования могут иметь один из следующих видов

, (1.40)

, (1.41)

, (1.42)

где - -ый выходной параметр (показатель качества) ЦФ;

- техническое требование или норма -го выходного параметра.

Совокупность требований, накладываемых на проектируемое устройство, наряду с другими условиями, обуславливают многокритериальный (векторный) характер задачи проектирования сложного технического устройства, в том числе и ЦФ. Требования ЧТЗ качественного характера порождают на этапе формирования формализованного ЧТЗ проблему нечеткости исходной проектной информации. Проблема формализации информации качественного (нечеткого) характера решается на основе понятия нечеткости. Таким образом, несмотря на наличие определенных трудностей, проблема формализации требований ЧТЗ количественного и качественного характера в общем случае является разрешимой задачей. Рассмотрим формализованную постановку задачи оптимального проектирования ЦФ.

Пусть проектируемый ЦФ определяют N варьируемых параметров Х₁, Х₂,…, Х_N, которые будем считать точкой в N - мерном пространстве E^N. Обычно в качестве вектора варьируемых параметров принимаются коэффициенты передаточной функции ЦФ.

Для того, чтобы спроектировать оптимальное устройство, необходимо в процессе его проектирования учесть три сорта ограничений - параметрические, функциональные и критериальные.

Параметрические ограничения имеют вид

(1.43)

где - нижние и верхние предельные значения для -го варьируемого параметра. В более общем случае границы интервалов могут быть функциями от других варьируемых параметров

, . (1.44)

Такие ограничения тоже будем относить к классу параметрических. Ограничения (1.43), (1.44) часто бывают вызваны конструктивно-технологическими требованиями ЧТЗ на проектирование.

Функциональные и критериальные ограничения накладываются на выходные параметры устройства. Функциональные ограничения включают в себя условия работоспособности, имеющие принципиальное значение при оценке правильности функционирования устройства исходя из целей проектирования и выполнения устройством своего функционального назначения. Эти ограничения можно записать так:

, . (1.45)

Например, к функциональным ограничениям относятся следующие требования к импульсной характеристике фильтра :

, (1.46)

, при . (1.47)

Условие (1.46) представляет собой, по существу, условие устойчивости фильтра, а условие (1.47) является условием физической реализуемости фильтра.

Следующая группа ограничений накладывается на выходные параметры, имеющие смысл локальных (частных) критериев оптимальности (ЛКО) и характеризующие качество объекта проектирования. ЛКО , =1,…, являются такие показатели качества конкретного устройства, которые:

- связаны с качеством ЦФ монотонной зависимостью (чем меньше или больше критерий, тем лучше фильтр при прочих равных условиях);

- достаточно полно характеризуют исследуемый ЦФ;

- отражают интересы заказчика;

- дают возможность выбора оптимального или приемлемого варианта построения фильтра;

- являются обозримыми и удобными для вычисления;

- характеризуют ценность решений таким образом, чтобы у проектировщика имелось стремление получить по ним наиболее предпочтительные оценки.

ЛКО зависят от структуры ЦФ и от совокупности (множества) N параметров, составляющих вектор X=(Х₁, Х₂,…, Х_N), XE^N, N  1, 2,…. Для каждого ЛКО имеется такое оптимальное сочетание параметров (вектор X), которое обеспечивает минимальное (максимальное) значение данного критерия. Трудность заключается в том, что для некоторых локальных критериев может существовать свой оптимальный вектор параметров X. Вектор ЛКО бывает либо задан, либо формируется в процессе исследования. Для каждого ЛКО указывается шкала (подмножество) G_шi, из которого он принимает свои значения.

В практических задачах проектирования ЦФ формирование набора ЛКО является достаточно трудной проблемой и поэтому требует специального рассмотрения. Один из подходов образования векторного критерия заключается в том, чтобы прежде всего составить по возможности наиболее полный перечень локальных критериев и только затем (в процессе постановки, решения и анализа конкретной задачи проектирования) исключить из рассмотрения несущественные критерии.

Рассмотрим способы формирования наиболее важных ЛКО на примере проектирования цифровых фильтров. Основой для формирования ЛКО рассматриваемых устройств является ЧТЗ. Оно содержит требования к амплитудно–частотной характеристике, фазо-частотной характеристике (ФЧХ), характеристике группового времени задерживания (ГВЗ), переходной и импульсной характеристикам (ПХ, ИХ), стабильности частотных характеристик (ЧХ), объему алгебраических операций сложения и умножения при аппаратной реализации ЦФ, стоимости, конструктивно-технологические требования и ряд других.

В общем случае, в зависимости от конкретных требований ЧТЗ, оптимальность АЧХ проектируемого ЦФ можно оценивать следующими локальными критериями: неравномерностью АЧХ в полосе пропускания; подавлением боковых лепестков АЧХ в полосе задерживания; шириной переходной полосы АЧХ; шириной полосы пропускания АЧХ по уровню 3 дБ; шириной полосы пропускания АЧХ, например, по уровню 40 дБ; коэффициентом прямоугольности по заданным уровням; нестабильностью АЧХ в заданной частотной точке или заданном частотном диапазоне.

Неравномерность АЧХ в полосе пропускания вычисляется по формуле:

(1.47)

где E_n - множество частот в полосе пропускания.

Подавление боковых лепестков АЧХ в полосе задерживания вычисляется по формуле:

(1.49)

где E_з – множество частот в полосе задерживания.

Контроль ширины переходной полосы АЧХ удобно осуществлять, используя критерий оптимальности вида

(1.50)

где - частота среза; - граничная частота полосы задерживания.

Вид критерия исключает возможность получения функции с минимумом в отрицательной области частот. При этом считается, что поведение АЧХ в переходной полосе ничем не ограничивается, - фиксировано, а должно быть таким, чтобы интервал был возможно меньшим. В данном случае параметр войдет в вектор внутренних варьируемых параметров . В ряде задач проектирования, наоборот, имеет фиксированное значение, а является варьируемой переменной. В наиболее общем случае обе частоты и могут быть варьируемыми переменными.

Важным критерием для оценки качества АЧХ, в особенности при проектировании узкополосных ЦФ, является локальный критерий , контролирующий выполнение требований ЧТЗ по обеспечению требуемой ширины полосы пропускания по заданному заказчиком уровню. Наиболее часто ширина полосы пропускания АЧХ контролируется по уровню 3 дБ. Аналогичным образом можно ввести локальные критерии для контроля выполнения требований ЧТЗ к ширине полосы пропускания АЧХ по любому другому уровню, например 6 дБ, 40 дБ или 60 дБ. Все эти критерии вычисляются численно после расчета АЧХ. В ряде случаев для оценки оптимальности АЧХ используют коэффициент прямоугольности по заданным уровням, например, 3 дБ и 40 дБ, вычисляемый по формуле:

(1.51)

где - ширина полосы пропускания АЧХ фильтра по уровню 40 дБ; - ширина полосы пропускания АЧХ фильтра по уровню 3 дБ.

Стабильность ЦФ связана с изменением их частотных или временных характеристик при воздействии различных дестабилизирующих факторов (температура, старение, радиация и тому подобное). Она зависит, в основном, от структуры устройства и значений его внутренних параметров. Меру стабильности АЧХ (ФЧХ, ГВЗ, ПХ, ИХ) ЦФ можно оценивать, например, функционалом вида:

(1.52)

где - относительная чувствительность АЧХ к параметру в точке ; P - число точек дискретизации по оси частот.

Кроме перечисленных ЛКО большое практическое применение находят также следующие критерии: - норма отклонения ФЧХ от линейной, - неравномерность ГВЗ, - норма отклонения характеристики ГВЗ от заданной.

Известные ЛКО жестко связывают относительную форму характеристик и их абсолютные значения. Поэтому в ряде случаев необходима иная, более гибкая структура ЛКО, в которых эти требования можно разделить и задавать их при оптимизации ЦФ с разной степенью приоритета. Структура такого ЛКО для АЧХ ЦФ имеет вид:

(1.53)

где и - весовые коэффициенты, а - «эталонная» АЧХ.

Очевидно, что в первом слагаемом функции сравниваются значения и лишь по относительной форме, в то время как во втором – по абсолютным значениям максимумов. Весовые коэффициенты задаются в пределах 0 1, в соответствии с выбранным приоритетом, при этом

Приведенный критерий имеет необходимую гибкость в формализации требований к АЧХ ЦФ. В тех случаях, когда важно получить лишь относительную форму АЧХ ЦФ, оптимизацию следует производить при весовых коэффициентах и . Если же форма АЧХ не важна, а желательно приблизить лишь абсолютные значения функции на какой-то частоте, необходимо положить

Структура ЛКО для ФЧХ имеет вид:

+

+ + , (1.54)

где , - весовые коэффициенты, причем , а ; - «физически» реализуемая ФЧХ; - «эталонная» ФЧХ; - фиксированная частота.

Изменением весовых коэффициентов в (1.54) можно получить любую комбинацию требований к ФЧХ. Так, в случае, когда важно получить лишь заданную относительную форму ФЧХ, независимо от ее наклона и абсолютного значения фазы на частоте , следует производить минимизацию при а и т. п.

Аналогичным способом строится структура ЛКО для других характеристик. В результате такого разделения функций внутри формального критерия для характеристик ЦФ удается получить необходимую гибкость в формализации требований к частотным и временным характеристикам ЦФ, что, в свою очередь, позволяет реализовать проблемно – адаптивный подход при их организации.

Важнейшими показателями качества ЦФ являются аппаратные затраты на реализацию и стоимость. Аппаратные затраты на реализацию и стоимость ЦФ определяются, в основном, объемом алгебраических операций умножения и сложения, которые можно приближенно оценивать порядком N ЦФ. Следовательно, в ряде случаев для сравнительной оценки аппаратных затрат на реализацию ЦФ можно использовать критерий:

. (1.55)

Перечисленный базовый набор ЛКО , k [1,M], может расширяться и модифицироваться путем введения новых критериев, реализующих специфические требования ЧТЗ. Следовательно, в зависимости от конкретных требований ЧТЗ число ЛКО можно либо существенно расширить, либо, наоборот, уменьшить. Для общности и простоты изложения в дальнейшем полагаем, что имеется M (M  2,3,…) ЛКО, в число которых входят и выше рассмотренные. Заметим, что приведенная нумерация ЛКО имеет условный характер и в дальнейшем не соблюдается.

Наличие нескольких локальных критериев, по существу, отражает ту неопределенность целей, которая присутствует при проектировании любого сколь - нибудь сложного технического объекта, в том числе и ЦФ. Каждый из локальных критериев желательно минимизировать или максимизировать

(1.56)

Однако при составлении формализованного ЧТЗ, а также в процессе проектирования требования (1.56) могут быть изменены или дополнены с помощью следующих соотношений, называемых критериальными ограничениями:

(1.57)

(1.58)

Соотношения (1.57), (1.58) и (1.56) не исключают друг друга. Напротив, как правило, оптимизационные задачи (1.56) решаются с учетом ограничений (1.57) или (1.58), отражающих требования к выходным параметрам, подлежащим безоговорочному выполнению.

Критериальные ограничения принципиально отличаются от функциональных. Выполнение критериальных ограничений отражает стремление получить оптимальный или близкий к оптимальному вариант устройства среди множества альтернативных вариантов устройства, заведомо удовлетворяющих функциональным ограничениям, то есть функционирующих правильно. В этом случае можно сказать, что критериальные ограничения по своей сути являются менее жесткими, чем функциональные. Однако, грань между функциональными и критериальными ограничениями может быть весьма условной и зависит от конкретной задачи проектирования.

Список параметрических, функциональных и критериальных ограничений составляет основную часть ЧТЗ на проектирование устройства. Эти ограничения выделяют допустимое множество D, которое содержит решения, удовлетворяющие требованиям ЧТЗ. В множестве D имеется подмножество П неулучшимых или так называемых парето-оптимальных вариантов структур ЦФ, которые нельзя одновременно улучшить по всем оптимизируемым критериям, не ухудшив при этом значения хотя бы одного из этих критериев.

Очевидно, что вариант оптимального устройства, которое запускается в серийное производство, обязательно должен быть парето-оптимальным. Действительно, предприятие, выпускающее допустимые ЦФ, но не паретовские, наносят себе экономический ущерб. Ведь это означает, что такие устройства могут быть улучшены одновременно по всем критериям, то есть устройство заведомо неконкурентоспособно и заведомо плохо используются его внутренние ресурсы. Однако далеко не всякое паретовское решение устраивает проектировщика. Именно поэтому принципиально важно уметь строить содержательное (представительное) паретовское множество решений, из которого проектировщик в дальнейшем определяет оптимальное. Следовательно, все разрабатываемые ЦФ должны быть парето-оптимальными. Особенно важно соблюдение этого условия, когда речь идет о массовом и серийном производстве. В этом плане надо помнить, что разница в себестоимости между просто хорошими (допустимыми) устройствами и оптимальными весьма существенна.

Таким образом, в наиболее общем случае математически задача оптимального проектирования ЦФ может быть сформулирована в следующем виде: требуется найти из множества возможных вариантов структуру S{S₁, ..., S_K} и вектор параметров Х=(X₁,X₂, ,X_N), которые обеспечивают наилучшее значение векторной функции цели:

, (1.58)

где множество D образовано ограничениями (1.43) – (1.45), (1.57) и (1.58).

Ценность приведенной векторной постановки задачи оптимального проектирования ЦФ заключается прежде всего в том, что она ориентирована на решение некоторой обобщенной задачи максимальной сложности. Эта постановка включает в себя все известные в литературе задачи оптимального проектирования ЦФ. Универсальность векторной задачи оптимального проектирования обеспечивается некоторой избыточностью ЛКО и ограничений, а специализация - ее настройкой, осуществляемой, например, путем отбора состава локальных критериев , k[1,M] и ограничений (1.43) - (1.44), (1.45) и (1.58). В частном случае при M=1 задача (1.58) представляет собой задачу нелинейного программирования (НЛП) со скалярным критерием . Следовательно, ЗВО обобщает обычную задачу скалярной оптимизации на случай M>1, что в общем случае обеспечивает более адекватное представление реальной задачи оптимального проектирования. Настройка на конкретную задачу выполняется как на основе исходных данных, заложенных в требованиях ЧТЗ, так и в процессе решения задачи.

Приведённая выше векторная постановка задачи оптимального проектирования ЦФ является наиболее общей и может включать в себя частные случаи постановок задач оптимального проектирования. Так, в работе /13/ приведена математическая постановка задачи оптимального проектирования, являющаяся частным случаем вышеописанной задачи. В этой работе оптимальное проектирование связано с оптимизацией некоторой целевой функции при одновременном выполнении нескольких граничных условий. Таким образом, в данной постановке задачи фактически используется метод главного критерия, применяемый для сведения многокритериальной задачи (1.58) к её однокритериальной версии. Рассмотрим более подробно эту постановку задачи.

Исходную линейную цифровую цепь представим как совокупность элементарных цифровых звеньев, соединённых друг с другом определённым образом. К числу элементарных цифровых звеньев в нашем случае отнесём сумматор, умножитель на константу и элемент задержки на один период дискретизации T (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Графические изображения элементарных цифровых звеньев: а – сумматор; б – умножитель; в – элемент задержки на один период дискретизации

Правило, по которому эта цепь отображает воздействие в реакцию , обозначим F и назовём оператором цифровой цепи (или, по-другому, цифрового фильтра).

Под проектированием линейного цифрового фильтра в самом общем случае будем понимать синтез некоторого оператора F, выполняющего линейное преобразование пространства сигналов с целью воспроизведения заданной функции передачи , где - приведённая круговая частота, измеряемая в радианах и принимающая непрерывные значения в диапазоне ; n=0; 1; 2 – последовательность целых чисел; - мнимая единица. В зависимости от принятой структуры линейного цифрового фильтра, которая, в свою очередь, зависит от используемого метода проектирования, оператор F имеет различное математическое содержание. Поэтому будем полагать, что различным структурным реализациям оператора F соответствуют различные подклассы класса операторов , обеспечивающих воспроизведение с наперёд заданной точностью желаемой функции передачи цифрового фильтра , представляющей в данном случае комплексную частотную характеристику фильтра.

Пространство функций передачи цифрового фильтра, строго воспроизводимых в классе операторов , обозначим . При этом желаемая функция передачи может в общем случае и не принадлежать пространству . Однако для произвольной должна существовать такая последовательность воспроизводимых в каждом из подклассов функций передачи при которой для любого сколь угодно малого можно было найти такое , при котором для всех имело бы место неравенство , где - метрика пространства функций . Иначе говоря, в пространстве строго воспроизводимых функций передачи должна существовать сходящаяся последовательность, пределом которой является желаемая функция передачи.

Если цель проектирования связана не только с воспроизведением заданной функции передачи, но и с оптимизацией некоторого критерия качества (целевой функции) при одновременном выполнении граничных условий , то задача оптимального проектирования формулируется в виде: найти подкласс класса операторов и оператор , для которых

где - допустимое отклонение в метрике пространства функции передачи , воспроизводимой в подклассе операторов от желаемой функции передачи . Запись и символически отображает зависимость целевой функции и вектора граничных условий от подкласса операторов и оператора . Под оптимальным проектированием цифрового фильтра будем понимать, как видно из описания (1.59), такое проектирование, которое предполагает не просто поиск оператора, обеспечивающего воспроизведение желаемой функции передачи с заданной точностью, но прежде всего поиск наилучшей в смысле принятого критерия качества структуры фильтра, включая оптимизацию всех её параметров.

Представление желаемой частотной характеристики в пространстве строго воспроизводимых в классе функций передачи является по существу задачей аппроксимации и предполагает заданной метрику пространства . В теории цепей общепринятой является минимаксная аппроксимация, решающая задачу чебышевского приближения с метрикой вида

, (1.60)

где - весовая функция, принимающая значения

, если ;

1, если ; (1.61)

0, если .

Параметр в (1.61) выбирается из условия

.

Небезынтересно отметить следующий установленный экспериментальным путём факт. Решение задачи чебышевского приближения даёт примерно ту же среднеквадратическую погрешность, что и решение задачи наилучшего среднеквадратического приближения, являющегося наиболее популярным в теории фильтрации. Обратное же утверждение неверно: наилучшее среднеквадратическое приближение, как правило, даёт максимальную абсолютную погрешность, значительно превышающую погрешность чебышевского приближения.