1.6. Постановка задачи синтеза передаточных функций ких-фильтров с целочисленными коэффициентами

На практике часто бывает нелегко выбрать метод фильтрации дискретизованных сигналов, наиболее подходящий для конкретной ситуации. Обычно важным практическим критерием является объем вычислений, требуемый для выполнения фильтрации и зачастую определяющий принципиальную возможность обработки данных в реальном времени. Но независимо от того, выполняется ли фильтрация на вычислительной машине или с помощью специализированных средств, операции умножения требуют наибольших затрат времени и объема оборудования. Иными словами, сокращение вычислений обусловлено в первую очередь степенью минимизации общего числа умножений, требуемых для расчета очередного отфильтрованного отсчета. Кроме этого, для оптимального масштабирования желательно использовать умножения операндов на небольшие степени двойки (легко реализуемые сдвиговыми операциями двоичных чисел). Только при этом удается обеспечить и приемлемый динамический диапазон обрабатываемых данных, и наиболее высокую скорость фильтрации.

Известная альтернатива — использование рекурсивных структур для уменьшения требуемого числа умножений. Однако коэффициенты, на которые умножаются выборки при рекурсивной высококачественной фильтрации, приходится задавать с очень высокой точностью. Последнее обусловлено тем, что даже небольшая погрешность в значениях коэффициентов может привести к неустойчивости фильтра. Но, если и не рассматривать проблему устойчивости, то даже для того, чтобы получить заданную частотную характеристику нужно обеспечивать очень точную установку коэффициентов.

Считается, что фильтры, реализуемые без умножений, практически неосуществимы, поскольку именно умножителями обычно и формируют частотные характеристики. Известные реализации - однородные и триангулярные не обеспечивают высокую избирательность и малую неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Кроме того, рекурсивная структура по существу неустойчива, а нерекурсивная реализация однородных фильтров высокого порядка крайне избыточна по числу сумматоров.

Покажем сначала, что количество сумматоров в однородной структуре (рис 1.10) может быть минимизировано.

Рис. 1.10

Ее передаточную функцию можно представить в виде:

(1.65)

Если принять N = 2ⁿ , то при реализации однородного фильтра (N-1)- го порядка не потребуется выполнять единственную операцию умножения, так как умножение на 2^-n сводится в системах с фиксированной точкой к тривиальным сдвигам разрядов множимого. Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра (N-1)—го порядка легко рассчитывается:

.

Здесь - частотная переменная, нормированная по частоте Найквиста. Для примера на рис 1.11 приведём АЧХ однородных фильтров при N=3 и N=7.

Рис. 1.11

Уровень наибольшего бокового лепестка таких фильтров составляет примерно 20% от главного. Формулу (1.49) при N = 2ⁿ можно записать иначе:

В этом случае фильтр реализуется каскадной структурой (рис. 1.12) с минимальным числом сумматоров. Выбор параметров и структуры отдельных блоков очевиден и будет показан ниже.

Рис. 1.12

В частности, при N = 256, классический однородный нерекурсивный фильтр имеет s = 256 сумматоров, в то время как в новой структуре мы имеем всего s = N log₂ (N), то есть только 8 сумматоров. Ясно, что теперь скорость обработки данных будет гораздо выше. А поскольку триангулярный фильтр можно представить каскадным соединением двух идентичных однородных — указанная возможность минимизации числа сумматоров и здесь остается в силе. Еще более важным является возможность значительного уменьшения уровня боковых и ширины главного лепестка за счет рациональной интерференции АЧХ каскадно включаемых в общем случае неидентичных, но унифицированных звеньев (рис. 1.13).

Рис. 1.13

Рассмотрим вначале простой пример N=15. По предлагаемой ниже методике синтезирован фильтр, представленный на рис. 1.14, а амплитудно-частотные характеристики соответствующего однородного и синтезированного фильтров показаны на рис. 1.15.

Рис. 1.14

Рис. 1.15а

Рис. 1.15б

Таким образом, уровень максимального бокового лепестка снизился с 0.2222 до значения 0.0765.

Для нахождения параметров табулированных ниже фильтров была составлена программа в среде MatLab, осуществляющая отбор фильтров, определяемых целыми элементами перебираемого множества {k₁ k₂ ... k_M} с постоянной суммой, соответствующей параметру N. Фиксировались наборы (паспорт фильтра), обеспечивающие наилучшие передаточные характеристиками (АЧХ) по двум критериям: минимум максимума передаточной функции в полосе задерживания (для максимального подавления помех) и минимум контрольной частоты (для обеспечения максимальной узкополосности фильтра). С целью уменьшения времени поиска паспорта использовался специальный эвристический алгоритм, так как полный перебор всевозможных комбинаций его элементов требует чрезмерных временных затрат. Использована следующая процедура: фильтру порядка N сопоставляется ряд (1 2 ... [N/2]), далее осуществляются всевозможные выборки из этого ряда, подсчитывается сумма выборки и, в случае, если она меньше N выборка дополняется до N и рассчитывается фильтр. Последовательность не рассматривается когда сумма больше либо равна N. В этом случае осуществляется переход к следующей последовательности. Перебор завершается после рассмотрения всех возможных сочетаний из указанного ряда. Если фильтр имеет более качественные показатели по указанным выше критериям - его паспорт и параметры записываются на место наилучшего из фиксированных ранее. Такая процедура накладывает некоторое ограничение на паспорт: количество одинаковых блоков в фильтре заданного порядка не может быть больше двух. Например, для фильтра семнадцатого порядка изучается, в частности, паспорт: 1 1 2 3 4 6, но не рассматриваются комбинации: 1 1 2 2 5 6 и 1 1 1 3 5 6.

Результатом исследования явилась таблица параметров найденных фильтров /4/, состоящая из 1000 вариантов и содержащая фильтры порядков от 15 до 128, краткая выборка из которых приведена ниже, где нормированная полоса пропускания (w) определяется на уровне 2^(-0.5),а коэффициент прямоугольности (Ks) определяется, как отношение ширины нормированной полосы на уровне максимальной неравномерности к нормированной полосе пропускания. В качестве примера приведем характеристики фильтра 64-го порядка (рис 1.16) с паспортом Р = [1 1 1 2 3 4 6 8 9 13 16] (таблица).

Порядок фильтра (N)	Паспорт фильтра	Максимальный уровень бокового лепестка	Нормированная полоса пропускания	Коэффициент прямоуголь-ности
64	1 1 1 2 3 4 6 8 9 13 16	0.010077	0.020664	2.8716
65	1 1 2 2 3 5 6 7 10 12 16	0.00911214	0.020664	2.8758
66	1 2 2 3 4 6 8 10 13 17	0.0103458	0.019835	2.8348

Рис. 1.16. АЧХ фильтра 64-го порядка (дополнительно показан увеличенный фрагмент, отображающий боковые лепестки в полосе задерживания)

Для еще более высоких порядков процедура поиска наилучших фильтров требует экспоненциально нарастающих временных затрат. Это связано еще и с тем, что анализ каждой из все более "изрезанных" частотных характеристик требуется выполнять в большем числе точек. Но процедуры поиска можно вообще избежать, используя каскадное соединение фильтров, представленных в таблице. Практика показывает, что получаемые реализации мало в чем уступают наилучшим. Рассмотрим, например, фильтр порядка N=48. Фильтр данного порядка можно получить путем каскадного соединения нескольких фильтров. Рассмотрим для примера соединение фильтров 21 и 27 порядков с паспортами 1 2 3 4 5 6 и 1 1 2 3 4 6 10 соответственно. Уровень максимальных пульсаций в полосе задерживания комбинированного фильтра при этом составляет 0.0109, а нормированная граничная частота полосы задерживания — 0.0905. Аналогично, при соединении фильтров 15 и 33 порядков с паспортами 1 2 3 4 5 и 1 1 2 3 4 5 7 10 соответствующие параметры: 0.0092 и 0.0945. При каскадном соединении трех фильтров 15, 16 и 17 порядков с паспортами 1 2 3 4 5, 1 1 2 3 4 5 и 1 1 2 3 4 6 соответствующие параметры: 0.00014085 и 0.1667. Из приведенных данных видно, что характеристики комбинированных фильтров мало уступают характеристикам фильтров, представленных в таблице.