1 . Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой

1.1. Передаточные функции цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой

Под цифровым фильтром понимают дискретную систему, описываемую следующим уравнением:

(1.1)

,где N, M – постоянные вещественные числа,

b_k – вещественные или комплексные коэффициенты, не зависящие от входного и выходного сигналов, и реализованную программным путём на цифровой ЭВМ (такая ЭВМ может быть специализированной, учитывающей особенности алгоритма цифрового фильтра) или аппаратным путём в виде специализированного цифрового вычислительного устройства; последнее представляет собой совокупность ряда операционных устройств – регистров, сумматоров, умножителей, устройств управления.

Фильтры описываемые уравнением (1.1) называются рекурсивными.

В частном случае, при из (1.1) получаем:

, (1.2)

то есть в этом случае значения выходной последовательности в любой момент nT определяется лишь значениями входной последовательности в этот же момент и N-1 «прошлыми» значениями входной последовательности. Фильтры, описываемые уравнением (1.2) называются нерекурсивными.

Передаточной функцией линейной дискретной системы фильтра называют отношение

, (1.3)

где X(z) – Z-изображение входной последовательности x(nT) системы, Y(z) – Z-изображение выходной последовательности y(nT) системы при начальных нулевых условиях.

Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h(nT) на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ) – КИХ-фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал (N-точечный дискретный сигнал), то есть может принимать отличный от нуля значения лишь при

При проектировании цифровых фильтров используются реализационные критерии, определяющие реализационные характеристики, и критерии качества цифровой обработки сигналов, определяющие характеристики фильтра, влияющие на качество обработки.

Реализационные критерии определяют требования к элементам аппаратной или программной реализации фильтра: число операций сложения и (или) умножения, число ячеек оперативной или постоянной памяти и т.д.

Критерии качества обработки определяют требования к основным характеристикам фильтра, влияющим на качество обработки.

При задании требований к характеристикам фильтра, определяющим качество обработки, часто ограничиваются заданием требований к АЧХ и ФЧХ фильтра: низкий уровень боковых лепестков и малую неравномерность в полосе пропускания, линейность фазовой характеристики, отсутствие её искажений.

В большинстве приложений используются нерекурсивные фильтры с точно линейной фчх.Для такого фильтра передаточная функция имеет вид:

(1.4)

с учётом принятой нормировки частоты

Если выполняется условие

, (1.5)

то аргумент (ФЧХ) характеристики будет

.

Таким образом, ФЧХ нерекурсивного фильтра с симметричными коэффициентами будет строго линейной, и, следовательно, ГВЗ такого фильтра постоянно.

Существует четыре вида фильтров с точно линейной фазо-частотной характеристикой и передаточной функцией (1.4):

а) фильтр вида 1: N – нечётное, (симметричные коэффициенты);

б) фильтр вида 2: N – чётное, (симметричные коэффициенты);

в) фильтр вида 3: N – нечётное, (антисимметричные коэффициенты);

г) фильтр вида 3: N – чётное, (антисимметричные коэффициенты).

Для фильтра вида 1 справедливы соотношения:

где

Для фильтра вида 2 справедливы соотношения:

где

Для фильтра вида 3 справедливы соотношения:

где

Для фильтра вида 4 справедливы соотношения:

где

Фильтры всех четырёх видов реализуют с учётом симметричности или антисимметричности коэффициентов. При этом нерекурсивные фильтры могут быть реализованы в различных формах. Прямая форма (рис 1.1) соответствует непосредственной реализации фильтра согласно (1.4). Прямая форма содержит N-1 элементов задержки, N умножителей и сумматор на N входов. Эту форму называют также трансверсальным фильтром, или фильтром с многоотводной линией задержки.

Рис. 1.1. Прямая форма реализации нерекурсивного фильтра

Каскадная (последовательная) форма структурной схемы нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточной функции (1.4) в виде произведения

,

где , или .

На рис. 1.2 показана каскадная форма структурной схемы нерекурсивного фильтра.

Рис. 1.2. Каскадная форма реализации нерекурсивного фильтра

Для реализации фильтров необходимы устройства, выполняющие три операции: задержку (запоминание) отсчётов сигналов, сложение и умножение – и соединяющие эти устройства линии передачи сигналов.

При этом следующие характеристики фильтров определяют сложность аппаратурной реализации и моделирования фильтра в реальном масштабе времени:

L₀ – число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимое для реализации фильтра;

L_п – число ячеек постоянной памяти, необходимое для реализации фильтра;

V_y – число операций умножения, которые должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчёта выходного сигнала;

V_c – число операций алгебраического сложения двух слагаемых, которые должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчёта выходного сигнала.

Указанные величины могут быть определены по структурной схеме фильтра:

L₀ равно числу элементов задержки; L_п – числу различных постоянных множителей, выписанных около обозначений множительных устройств; V_y – числу множительных устройств; V_c – суммарному числу входов сумматоров.

Так, для нерекурсивного фильтра вида 1 реализационные характеристики имеют значения: