1.3. Цифровые ких-фильтры с дискретными, целочисленными и булевыми переменными

1.3.1. Однородные ких-фильтры

Активное использование в последнее время серийных программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) и цифровых процессоров обработки сигналов (ЦПОС) способствует широкому применению методов цифровой фильтрации сигналов. Возможности использования этих методов в системах, работающих в реальном масштабе времени, частот определяются быстродействием и простотой конструктивного выполнения цифровых фильтров (ЦФ).

В настоящее время большое число разработчиков выбирают в качестве средства реализации алгоритмов ЦПОС общего назначения. В этом есть определенный резон, связанный с тем, что ЦПОС достаточно распространены и доступны на рынке, имеют привлекательные цены. Главным преимуществом систем обработки сигналов на ЦПОС является гибкость системы, возможность реализации адаптивных и обучающихся алгоритмов. Кроме того, отладочные средства начального уровня недороги, достаточна информационная поддержка, выпущена литература на русском языке по их применению.

При выборе в качестве элементной базы для реализации цифровых фильтров серийных программируемых логических интегральных схем, особо важным при проектировании фильтров становится критерий реализационных затрат. Здесь необходимо отметить, что для реализации операций умножения на ПЛИС требуются наибольшие затраты времени и оборудования. Ведь реализация умножения для операндов небольшой разрядности требует использования не менее двенадцати вентилей. А при дальнейшем наращивании разрядности требуемое число вентилей значительно увеличивается, одновременно увеличивается критический путь распространения сигнала переноса, соответственно ограничивается быстродействие, и реализация умножителя становится нерациональной. Также следует отметить существенное увеличение площади кристалла, необходимой для выполнения требуемой операции умножения.

В связи с этим более рациональным и экономически обоснованным подходом к решению данной проблемы является полный или частичный отказ от операций умножения в цифровых фильтрах, замена их операциями сдвига. Известны и широко используются различные варианты цифровых КИХ-фильтров без умножителей. Рассмотрим более подробно некоторые из них.

Пусть требуется рассчитать фильтр с точно линейной ФЧХ. АЧХ фильтра должна удовлетворять требованию при условии минимума величины

. (1.16)

Требование означает, что фильтр пропускает без подавления постоянную составляющую (нулевую частоту) и, следовательно, с малым подавлением близкие к нулевой частоте низкие частоты. Условие (1.16) соответствует максимальному подавлению стационарного шума, поданного на вход фильтра.

Решим сформулированную задачу для КИХ-фильтра порядка N с передаточной функцией (1.5). С учётом нормировки частоты можно записать

(1.17)

. (1.18)

Из (1.5), (1.16), (1.17) и (1.18) следует, что требование (1.5) и условие (1.16) можно заменить следующей эквивалентной задачей: коэффициенты нужно рассчитать так, чтобы величина

(1.19)

была минимальна при условии, что

. (1.20)

Эта задача решается методом множителей Лагранжа, причем решение имеет в

. (1.21)

КИХ-фильтр с передаточной функцией (1.4) и коэффициентами (1.21) называется однородным фильтром. Существуют две формы реализации однородного фильтра: нерекурсивная форма (рис 1.5), которой соответствуют передаточная функция

(1.22)