2 . Векторный синтез ких-фильтров

2.1. Синтез ких-фильтров с единичными коэффициентами

Синтез любого фильтра, в частности НЦФ, можно рассматривать как совокупность двух задач: выбора структуры и определения значений параметров в рамках этой структуры. В качестве структуры НЦФ без умножителей выбрана модульная структура, в основе которой лежит субструктура, предложенная в /4, 5/ (рис. 2.1). Каскадным соединением данных субструктур можно строить эффективные цифровые фильтры без умножителей, обладающие улучшенными амплитудно-частотными характеристиками, в частности с большим подавлению в полосе задерживания, лучшим коэффициентом прямоугольности и т.д. При этом общий порядок синтезируемого фильтра должен быть кратен 2^N.

Рис. 2.1. Универсальное звено

Для определения параметров выбранной структуры НЦФ требуется найти такое разбиение порядка фильтра N, при котором обеспечиваются заданные АЧХ. Оптимальность АЧХ синтезируемого фильтра будем оценивать следующими тремя локальными критериями: максимальным значением относительного уровня боковых лепестков АЧХ, найденным в полосе задерживания фильтра , значениями, найденными соответственно на частоте среза полосы пропускания и на граничной частоте полосы задерживания основного лепестка АЧХ.

Таким образом, критериальными условиями будут:

,

,

.

АЧХ НЦФ с основными критериальными показателями приведена на рис. 2.2.

Данная задача является многокритериальной. С использованием метода главного критерия сведем задачу многокритериальной оптимизации к задаче по­иска условного экстремума.

Рис. 2.2. АЧХ НЦФ с основными критериальными показателями

В качестве целевой функ­ции (главного критерия) выбирается относительное значение максимума бокового лепестка АЧХ . В качестве варьируемых параметров в рассматриваемом случае возьмем вектор коэффициентов , компоненты которого принимают значения таким образом, что сумма всех компонент этого вектора равна исходному порядку фильтра. Тогда задача синтеза оптимальных пара­метров может быть сформулирована в следующем виде: вариацией параметров принадлежащих вектору , найти такой вектор , обеспечивающий

,

при

,

,

.

Таким образом, задача аппроксимационного синтеза НЦФ сводится к задаче условной оптимизации с целью нахождения такого разбиения числа N (заданного порядка фильтра) на сумму слагаемых, которое приводит к оптимальной или допустимой (по выбранным критериям) АЧХ.

Так как конечное количество разбиений фильтра порядка N=2^P конечно, то данная задача относится к целочисленной задаче нелинейного программирования, в которой каждая из переменных принимает целое значение, а вектор , состоящий из этих переменных, представляет собой разбиение исходного порядка фильтра на M наборов. Оптимальное решение этой задачи можно найти полным перебором всех возможных вариантов разбиения исходного порядка фильтра, что не представляется возможным при величине данного порядка более 128 из-за экспоненциально возрастающих временных затрат, необходимых на поиск решения.

Для решения данной задачи условной оптимизации был разработан эвристический алгоритм, основанный на модификации метода ветвей и границ. Применение данного метода обуславливается необходимостью сокращения временных затрат на поиск оптимального решения. О необходимости применения данного метода говорит характер зависимости целевой функции от вектора .

Сущность применяемого здесь метода состоит в том, что первоначально происходит разбиение исходного порядка фильтра N на все возможные наборы (с возможностью повторения элементов), то есть все последовательности чисел, сумма которых равна N. Полученная последовательность и является искомым вектором параметров фильтра. Но в заданном алгоритме производится учёт не всех возможных комбинаций вектора параметров, а только тех, которые отвечают определённым требованиям. Остальные же варианты оцениваются как неперспективные и отбрасываются. В качестве таких требований берутся, например, следующие: число единиц в искомом векторе не должно превышать заранее заданное, максимальный по значению параметр вектора должен быть не больше или не меньше заранее заданного значения, количество параметров, значения которых кратны двум или друг другу должно быть не меньше заранее заданного количества. В данном отборе исследуются только те наборы компонент, при которых выдерживается требуемая ширина полосы пропускания по заранее заданным уровням с допустимой погрешностью. Это в свою очередь тоже позволяет сократить число исследуемых вариантов.

Для решения поставленной задачи вышеописанным алгоритмом была составлена программа, осуществляющая отбор фильтров, определяемых разбиениями числа N (порядок фильтра). При этом фиксировались наборы фильтра, обеспечивающие наилучшие передаточные характеристики (АЧХ) по вышеописанным критериям. Для генерации всех разбиений числа N равного исходному порядку фильтра использовался простой комбинаторный алгоритм. Для рассмотрения по вышеописанному алгоритму брались только те разбиения, число членов в которых лежало в определённом заранее заданном интервале, с целью исключения рассмотрения заведомо плохих вариантов.

Таким образом, рассмотренная структурная каскадная реализация НЦФ является наиболее приемлемой, и имеет существенно лучшие частотные характеристики по сравнению с известными фильтрами этого класса. Синтезированные фильтры имеют строго линейные фазочастотные характеристики, что гарантируется соответствующей симметрией их импульсных характеристик.