2.2.4. Предваренная нормальная форма

Для облегчения анализа сложных рассуждений формулы алгебры предикатов рекомендуется приводить к нормальной форме. Если в алгебре высказываний приняты две нормальные формы (ДНФ – дизъюнктивная и КНФ – конъюнктивная), то в алгебре предикатов – одна предваренная (пренексная) нормальная форма (ПНФ), суть которой сводится к разделению формулы на две части: кванторную и бескванторную. Для этого все кванторы формулы выносят влево, используя законы и правила алгебры предикатов.

В результате этих алгебраических преобразова­ний может быть получена формула вида: x₁ x₂ x_n(M), где {; }, а М – матрица формулы. Кванторную часть формулы x₁ x₂ x_n иногда называют префиксом ПНФ.

В последующем матрицу форму­лы преобразуют к виду КНФ, что облегчает механизм по методу резолюции.

Примеры.

1. F=xy((P²₁.(х, y) ) P₃ (y)) формула, приведенная к ПНФ; F=x(P²₁.(х, y)x(P₂ (х)) y(P₃ (y)) формула, неприведенная к ПНФ.

2. x(P₁.(х))x(P₂(x))=x(P₁.(х) P₂(x)) слева от знака равенства формула, неприведенная к ПНФ, а справа, равносильная ей формула, но приведенная к ПНФ.

2.2.4.1. Алгоритм приведения формулы к виду пнф

Шаг 1. Исключить всюду логические операции  и  по правилам:

F₁F₂ F₂;

(F₁F₂)=(F₁F₂) (F₂F₁)=( F₂)( F₁).

Шаг 2. Продвинуть отрицание до элементарной формулы по правилам:

x( ),  ,

x( ),  .

Шаг 3. Переименовать связанные переменные по правилу: «найти самое левое вхождение предметной переменной такое, что это вхождение связано некоторым квантором, но существует еще одно вхождение этой же переменной; затем сделать замену связанного вхождения на вхождение новой переменной», операцию повторять пока возможна замена связанных переменных;

Шаг 4. Вынести кванторы влево по законам алгебры логики.

Шаг 5. Преобразовать бескванторную матрицу к виду КНФ. Алгоритм приведения матрицы формулы к виду КНФ приведен в алгебре высказываний.

Пример. .

Привести формулу к виду ПНФ.

l) удалить логические связки :

;

2) применить закон де Моргана x( ):

3) применить закон де Моргана  :

4) переименовать связанную переменную x=w:

5) переименовать связанную переменную y=v:

6) вынести квантор v влево:

7) вынести квантор y влево:

.

Матрица ПНФ содержит три элементарных дизъюнкта:

S={ }.

Пример. .

Привести формулу к виду ПНФ.

1. применить закон x( ):

2. применить закон x( ):

7. вынести квантор x по закону дистрибутивности:

4) переименовать связанную переменную y=z:

5) вынести кванторы z и y влево:

Матрица ПНФ содержит два элементарных дизъюнкта:

S={ }.

Пример. Привести формулу к виду ПНФ

1. по закону дистрибутивности:

2. по закону дистрибутивности:

3. по закону дистрибутивности:

4. по закону исключенного третьего:

Матрица содержит три элементарных дизъюнкта:

Дизъюнкты матрицы содержат контрарные атомы P₁.(z) и , P₂.(x) и , свободные переменные которых могут быть одинаковыми или разными.