1.1. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в исчислении высказываний

1. Алгоритм Квайна. Напомним, что формула F от пропозициональных переменных А₁, А₂, …, А_n является тождественно истинной или (что то же самой) доказуемой, если булева функция , соответствующая формуле F, тождественно равна 1. Для проверки значений функции f используется так называемое семантическое дерево, т.е. бинарное дерево, которое удовлетворяется следующим условиям:

1. каждое ребро соответствует переменной (с отрицанием или без);

2. ребра, выходящие из одной вершины, соответствуют контрарным переменным: , ;

3. ребра соответствуют одной и той же переменной тогда и только тогда, когда они находятся на одинаковом расстоянии от корня (рис. 1.1).

Семантическое дерево имеет висячих вершин и для проверки общезначимости необходимо пройти маршрутов от корня до этих вершин.

Алгоритм Квайна позволяет проходить не все семантическое дерево, а только его часть. Он состоит в том, что пропозициональным переменным , упорядоченным в набор (А₁, А₂, …, А_n), последовательно придают значения 0 и 1 и анализируют таблицы истинности формул, содержащих меньшее число переменных.

Пример. Проверить общезначимость формулы

.

Упорядочим пропозициональные переменные (А, В, С). Придадим первой переменной А значение 1, т.е. А=1. Тогда формула F преобразуется следующим образом:

.

В полученной формуле переменной В придадим значение 1, т.е. В=1. Тогда преобразованная формула имеет вид , т.е. будет общезначимой. В случае В=0 имеем , что также общезначимо. Рассмотрим теперь случай А=0. Имеем

.

Таким образом, все возможные случаи приводят к тождественно истинным формулам. Следовательно, формула F также истинна. На рис. 1.2а изображено семантическое дерево, соответствующее формуле F, а на рис. 1.2б показана часть семантического дерева, которая фактически использовалась для проверки общезначимости.

2. Алгоритм редукции решает ту же задачу проверки общезначимости формулы, но используется в том случае, когда в формуле содержится достаточно много импликаций. Идея алгоритма состоит в попытке нахождения значений пропозициональных переменных формулы F, при которых значение функции f равно 0, на основе того, что импликация является ложной в том и только в том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно.

Пример. Проверить тождественную истинность формулы

Предположим, что формула ложна при некотором наборе значений переменных А, В, С. Тогда истинностная функция f по этим значениям переменных дает следующие значения формул: , . Тогда из второго равенства получает А=1, , откуда имеем B=1, C=0. Однако при этих значениях справедливо . Получили противоречие. Таким образом, формула F тождественно истинна.

1.2. Метод резолюций в исчислении высказываний

Пусть и – дизъюнкты. Дизъюнкт называется резольвентой дизъюнктов D₁ и D₂ по переменной А и обозначается через res_A(D₁,D₂). Резольвентой дизъюнктов D₁ и D₂ называется резольвента по некоторой переменной и обозначается через res(D₁,D₂), res(A, )=0. Если дизъюнкты D₁ и D₂ не содержат контрарных переменных, то резольвент у них не существует.

Пример. Если , , то , , не существует.

Утверждение. Если существует, то ├─ .

Пусть – множество дизъюнктов. Последовательность формул называется резолютивным выводом из S, если для каждой формулы (i=1,…,n) выполняется одно из условий:

1) ;

2) существуют такие, что .

Теорема (о полноте метода резолюций). Множество дизъюнктов S противоречиво в том и только в том случае, когда существует резолютивный вывод из S, заканчивающийся 0.

Существует эффективный метод логического вывода – метод резолюции. Он основан на том, что выводимость формулы В из множества посылок F₁, F₂, F₃, …, F_n равносильна доказательству теоремы

├─ (F₁F₂F₃. . . F_nB),

формулу которой можно преобразовать так:

├─ (F₁F₂F₃. . . F_nB)

├─ ( B)

├─ .

Следовательно, заключение В истинно тогда и только тогда, когда формула F₁F₂F₃. . . F_n  0. Это возможно при значении 0 хотя бы одной из подформул F_i или .

Для анализа этой формулы все подформулы F_i и должны быть приведены в конъюнктивную нормальную форму и сформировано множество дизъюнктов, на которые распадаются все подформулы. Два дизъюнкта этого множества, содержащие пропозициональные переменные с противоположными знаками (контрарные атомы) формируют третий дизъюнкт – резольвенту, в которой будут исключены контрарные пропозициональные переменные. Неоднократно применяя это правило к множеству дизъюнктов и резольвент, стремятся получить пустую резольвенту. Наличие пустого дизъюнкта свидетельствует о выполнении условия

F₁F₂F₃. . . F_n  0.

Опишем пошагово алгоритм вывод по методу резолюций.

Шаг 1. Придать отрицание заключению, т.е. .

Шаг 2. Привести все формулы посылок и отрицания заключения к конъюнктивной нормальной форме.

Шаг 3. Выписать множество дизъюнктов всех посылок и отрицания заключения S = {D₁, D₂, …, D_k }.

Шаг 4. Выполнить анализ пар множества S по правилу:

«если существуют дизъюнкты D_i и D_j, один из которых (D_i) содержит переменную А, а другой (D_j) – контрарную переменную , то соединить эту пару логи­ческой связкой дизъюнкции (D_iD_j) и сформировать новый дизъюнкт – резольвенту, исключив контрарные литеры А и ».

Шаг 5. Если в результате соединения дизъюнктов, содержащих контрарные переменные, будет получена пустая резольвента – 0, то конец, в противном случае включить резольвенту в множество дизъюнктов S и перейти к шагу 4.

Примеры.

1. Работа автоматического устройства, имеющего три клапана А, В и С, удовлетворяет следующим условиям: если не срабатывают клапаны А или В или оба вместе, то срабатывает клапан С; если срабатывают клапаны А или В или оба вместе, то не срабатывает клапан С. Следовательно, если срабатывает клапан С, то не срабатывает клапан А.

1) – посылка;

2) – посылка;

3) – отрицание заключения;

4) множество дизъюнктов: S={(АC), (BC), , , C, А}.

Построим резолютивный вывод, заканчивающийся 0.

1. .

2. .

Так доказано, что если срабатывает клапан С, то не срабатывает клапан А.

2. Доказать истинность заключения

1) A – посылка;

2) B – посылка;

3) – посылка;

4) – отрицание заключения;

5) множество дизъюнктов: S={A, B, ( ), C};

6) ;

7) S₁={A, B, ( ), C, ( )};

8) ;

9) S₂={A, B, ( ), C, ( ), };

10) – пустая резольвента.

Так доказана истинность заключения по принципу резолюции.

Для иллюстрации вывода удобно исполь­зовать граф типа дерево, корнем которого является один из дизъюнктов отрицания заключения, а концевыми вершинами ветвей – оставшиеся дизъюнкты отрицания заключения и всех посылок. Узлами графа типа дерево являются резольвенты. Ниже дан пример, сопровождаемый графом.

Пример. Доказать истинность заключения

1. – посылка;

2) – посылка;

3) – посылка;

4) – отрицание заключения;

5) S ={A, C, , , , }

6) ;

7) ;

8) ;

9 ) ;

10) – пустая резольвента.

Так доказана истинность заключения , граф доказательства изображен на рис.1.3.

Замечание. Метод резолюций достаточен для обнаружения возможной выполнимости данного множества – дизъюнктов S. Для этого включим в S все дизъюнкты, получающиеся при резолютивном выводе из S. Из теоремы о полноте метода резолюций вытекает

Следствие. Если множество дизъюнктов S содержит резольвенты всех своих элементов, то S выполнимо тогда и только тогда, когда 0S.

Двойственным к правилу резолюций является правило согласия. Пусть , – конъюнкты. Положим , .

Пусть – множество конъюнктов. Последовательность формул называется выводом из S по правилу согласия, если для каждой формулы (i=1,…,n) выполняется одно из условий:

1) ;

2) существуют такие, что .

Теорема. Множество конъюнктов общезначимо (т. е. выполняется) тогда и только тогда, когда существует вывод из S по правилу согласия, заканчивающийся символом 1.