1.3. Метод резолюций для хорновских дизъюнктов

В общем случае метод резолюций неэффективен, так как количество переборов, которые необходимо сделать для получения ответа, экспоненциально зависит от количества информации (числа дизъюнктов и переменных), содержащейся в множестве дизъюнктов. Однако для некоторых классов дизъюнктов, к которым относится класс хорновских дизъюнктов, метод резолюций эффективен.

Дизъюнкт D называется хорновским, если он содержит не более одной переменной без отрицания (позитивной переменной).

Пример. Хорновскими дизъюнктами являются следующие дизъюнкты: , , , В.

В общем случае хорновские дизъюнкты имеют вид (что равносильно формуле ) или . Хорновский дизъюнкт вида называется точным. При этом переменные А₁, …, А_n называются фактами, а переменная В – целью. Хорновский дизъюнкт вида называется негативным. Дизъюнкт D=B называется унитарным позитивным дизъюнктом.

Если S – множество хорновских дизъюнктов, то невыполнение множества S проверяется следующим образом. Выбирается в S унитарный позитивный дизъюнкт Р и дизъюнкт D из S, содержащий . После этого заменяем S на (S \ {D}){res(D,P)} и продолжаем процесс до тех пор, пока S не будет содержать 0. Если на заключительном шаге множество дизъюнктов будет содержать 0, то исходное множество S противоречиво, в противном случае S непротиворечиво.

Пример. Проверить на противоречивость множество дизъюнктов

.

Для доказательства противоречивости запишем дизъюнкты из S в таблицу и применим описанные алгоритм, записывая результат каждого следующего шага в таблицу. Переменные, использующиеся на данном шаге, будем подчеркивать.

Номер шага			R
1		Q	R		T
2		Q	R		T
3	P	Q	R		T
4						0

На шаге 4 получаем 0, являющийся резолютивным выводом из S. Следовательно, множество S невыполнимо.

Задачи и упражнения

1. Выполнить подстановку:

1. ;

2. ;

3. _.

2. Доказать выводимость в исчислении высказываний:

а) ├─ ;

б) ├─

в) ├─

г) ├─

д) ├─

е) ├─ .

2. Выводимы ли в исчислении высказываний следующие формулы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. С помощью алгоритма Квайна и алгоритма редукции доказать тождественную истинности аксиом исчисления высказываний.

5. Проверить на противоречивость множество хорновских дизъюнктов

S={ }.

6. Выводимость заключения по методу резолюции:

а)

б)

в)

2. Логика и исчисление предикатов

В логике высказываний в качестве исходных элементов рассматриваются некоторые элементарные высказывания, из которых строятся более сложные высказывания, называемые формулами. При этом не анализируется структура и состав высказываний, а учитываются лишь значения истины или лжи, которые они могут принимать. Однако есть много рассуждений, которые не могут быть рассмотрены таким простым способом. Например, приведем следующее умозаключение:

Каждый человек смертен.

Сократ – человек, следовательно, он смертен.

Очевидно, рассмотренное рассуждение интуитивно корректно. Однако, введя следующие обозначения:

A=«Каждый человек смертен»,

B= «Сократ – человек»,

C=«Сократ смертен»,

получаем формулу , которая не доказуема в исчислении высказываний. Указанное несоответствие между утверждениями имеет место потому, что в логике высказываний не используется структура высказываний A, B и С. В этом разделе введем логику предикатов (логику первого порядка) и исчисление предикатов, которые позволяют преодолеть подобные трудности и дают возможность проверить формализацию большей части повседневного и математического языка.