2.2.3. Законы алгебры предикатов

Формулы называют равносильными, если при любых подстановках предметных постоянных они принимают одинаковое значение. Если две формулы F₁ и F₂ равносильны, т. е. F₁=F₂, то они эквивалентны.

Если формула алгебры предикатов F имеет вхождением подфор­мулу F_i, т. е. F( t₁, t₂,, F_i,  ), для которой существует эквивалентная ей подформула F_j т.е. F_i = F_j, то возможна подстановка всюду в формулу F вместо формулы F_i подформулу F_j без нарушения истинности формулы, т.е.

F( t₁, t₂,, F_i,  )F( t₁, t₂,, F_j,  ).

Если в законах логики высказываний вместо имеющихся пропозициональных переменных всюду подставить предикаты так, чтобы вместо одной и той же пропозициональной переменной стоял один и тот же предикат, то получится закон логики предикатов.

Основные законы эквивалентных преобразований алгебры предикатов представлены в табл. 1.

Таблица 1

Наименование закона и правила	Равносильные формулы FiFj
коммутативности	xy(F2(x, y)) yx(F2(x, y))*); xy(F2(x, y)) yx(F2(x, y))*). *) только для одноименным кванторов.
дистрибутивности	x(F1(x))x(F2(x)) x(F1(x)F2(x))*); x(F1(x))x(F2(x)) x(F1(x)F2(x))**); *)для логической связки  формул только с кванторами  по одной переменной x. **)для логической связки  формул только с кванторами  по одной переменной x.
идемпотентности {;}	x(F(x)) x(F(x))  x(F(x)); x(F(x))x(F(x))  x(F(x))
исключенного третьего	x(F(x)) 1, где {;}
противоречия	x(F(x)) 0, где {;}
де Моргана	x( )  ; x( ) 
двойного отрицания	x(F(x)), где {;}
свойства констант	x(F(x))0x(F(x)); x(F(x))11; x(F(x))00; x(F(x))1x(F(x)), где {;}.

Пример. Упростить формулу

1. Выполнить операцию отрицания формулы:

2. выполнить операцию отрицания формулы:

3) удалить логическую связку :

4) выполнить операцию отрицания формулы:

5) выполнить операцию отрицания формулы:

6) выполнить операцию отрицания формулы:

7. перенести квантор x₃ влево:

Пример. Упростить формулу

1. Удалить логическую связку :

2. выполнить операцию отрицания формулы:

3. выполнить операцию отрицания формулы:

4) применить закон дистрибутивности по квантору x:

5) применить закон дистрибутивности к формуле:

6) применить закон исключенного третьего и свойство констант для логической связки :

7) применить закон де Моргана:

8) применить закон дистрибутивности по квантору x:

9) применить закон исключенного третьего:

3. применить свойство констант для логической связки : F=1, т. е. формула

является тождественно истиной.