2.1. Логика предикатов

Предикатом Р в предметной области М называется функция, аргументы которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция – значения 0 (ложь) или 1 (истина):

Р : М{0,1}.

Множество М определяется обычно математическим контекстом. Как правило, предикаты обозначаются прописными буквами латинского алфавита (с нижним индексом или без него).

Предикат Р называется n-местным (или предикатом порядка n), если соответствующая функция есть функция от n аргументов. Р(x_1, x₂,…, x_n) – предикат n-ого порядка. Если некоторым k аргументам предиката присвоить конкретные значения, то получим предикат, зависящий от (n–k) аргументов. Если все аргументы предиката получают конкретные значения, то имеем 0-местный предикат или высказывание.

Пример. Зададим одноместный предикат R(x) неравенством 3, т. е. положим R(x)=( >3). Тогда при x=4.04 предикат обращается в истинное высказывание R(x)=1, при х=3 предикат обращается в ложное высказывание, при х=4 R(4) не определено.

Одноместный предикат называют свойством. Например, если m – переменная на множестве натуральных чисел, то S(m)=(для некоторого натурального числа k m=2k) – свойство четности натуральных чисел.

Заметим, что предикат Р(x_1, x₂,…, x_n) определяет n-арное отношение R на множестве М: если Р(x_1, x₂,…, x_n)=1, то (x_1, x₂,…, x_n) – находятся в отношении R (x_1, x₂,…, x_n)R), определяемом этим предикатом; если Р(x_1, x₂,…, x_n)=0, то (x_1, x₂,…, x_n)R.

Каждое уравнение или неравенство с n неизвестными, каждая система уравнений или неравенств с n неизвестными задает соответствующий n-местный предикат. Кроме того, если f(x_1, x₂,…, x_n) – произвольная функция, то ей можно сопоставить предикат Р(x_1, x₂,…, x_n, y), значение которого для любого набора (a₁,a₂,…, a_n, b) значений аргументов x_1, x₂,…, x_n, y соответственно определено и равно 1 тогда и только тогда, когда f(x_1, x₂,…, x_n) определено и f(а_1, а₂,…, а_n) =b. Этот предикат Р(x_1, x₂,…, x_n, y) называется предикатом, представляющим функцию f(x_1, x₂,…, x_n).

Пусть Р(x_1, x₂,…, x_n) – некоторый n-местный предикат, заданный на множестве М, тогда можно определить следующие типы предикатов.

Предикат Р(x_1, x₂,…, x_n) называется тождественно истинным, если на любом наборе значений аргументов он обращается в истинное высказывание.

Предикат Р(x_1, x₂,…, x_n) называется тождественно ложным, если на любом наборе значений аргументов он обращается в ложное высказывание.

Предикат Р(x_1, x₂,…, x_n) называется выполнимым, если существует хотя бы один набор значений аргументов, на котором он обращается в истинное высказывание.

Каждый рассматриваемый предикат является или тождественно истинным, или тождественно ложным, или выполнимым. Для выполнимого предиката множество значений аргументов, на котором он обращается в истинное высказывание, называется множеством истинности предиката и обозначается E_p.

Говорят, что набор (а_1, а₂,…, а_n)М удовлетворяет предикату Р(x_1, x₂,…, x_n), если при подстановке значений из этого набора вместо аргументов предиката он обращается в истинное высказывание.

Пусть Р₁(x_1, x₂,…, x_n) и Р₂(x_1, x₂,…, x_n) – два n-местных предиката, заданных на одном и том же множестве М. Предикат Р₂(x_1, x₂,…, x_n) называется следствием предиката Р₁(x_1, x₂,…, x_n), если любой набор, удовлетворяющий Р₁(x_1, x₂,…, x_n), удовлетворяет и Р₂(x_1, x₂,…, x_n).

Пример. Определим на множестве натуральных чисел одноместные предикаты R(n)=«n делится на 6» и Q(n)=«n делится на 3». Тогда Q(n) является следствием R(n), но не наоборот, так как Q(9)=1, R(9)=0.

Из этого определения следует, что любой предикат на данном множестве есть следствие тождественно ложного предиката на этом множестве; тождественно истинный предикат на данном множестве есть следствие любого предиката на этом множестве.

Пусть Р₁(x_1, x₂,…, x_n) и Р₁(x_1, x₂,…, x_n) – два n-местных предиката, заданных на одном и том же множестве М. Эти предикаты называются равносильными, если их значения для любого набора значений переменных совпадают. Этот факт обозначается Р₁(x_1, x₂,…, x_n)Р₂(x_1, x₂,…, x_n) и читается «Р₁(x_1, x₂,…, x_n) равносильно Р₂(x_1, x₂,…, x_n)».

Пример. Равносильные уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств равносильные предикаты.

При выявлении равносильности двух предикатов, заданных на одном и том же множестве, используется следующая теорема (доказательство в [3]):

Предикаты Р₁(x_1, x₂,…, x_n) и Р₂(x_1, x₂,…, x_n) на некотором множестве M равносильны тогда и только тогда, когда каждый из ни есть следствие другого.

Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получают новые предикаты, при этом приоритет операций остается тем же. Кроме операций логики высказываний для предикатов существуют специальные операции – операции навешивания кванторов. Предикаты, содержащие кванторы, называются кванторными предикатами.

Пусть Р(х) – предикат, заданный на множестве М.

Под выражением хР(х) будем понимать высказывание, принимающее значение 1, если для каждого элемента хМ Р(х) обращается в истинное высказывание, и 0 – иначе.

Под выражением хР(х) будем понимать высказывание, принимающее значение 1, если существует элемент хМ, такой что Р(х) является истинным высказыванием, и 0 – в противном случае.

Символы  и  называются соответственно квантором всеобщности и квантором существования. В выражениях хР(х) и хР(х) Р(х) называется областью действия квантора.

Заметим, что квантор всеобщности можно рассматривать как обобщение конъюнкции:

Если М={x_1, x₂,…, x_n}, то хР(х) Р(x₁)Р(х₂)…Р(х_n),

а квантор существования – как обобщение дизъюнкции: если

М={x_1, x₂,…, x_n}, то хР(х) Р(x₁)Р(х₂)…Р(х_n).

Для бесконечных предметных областей кванторы играют роль бесконечных конъюнкций и дизъюнкций.

Квантор существования является двойственным по отношению к квантору всеобщности и наоборот.

Навешивание квантора на n-местный предикат приводит к уменьшению местности на 1. Таким образом, если Р(x_1, x₂,…, x_n) – n-местный предикат, то x_i Р(x_1, x₂,…, x_n) и x_i Р(x_1, x₂,…, x_n) – (n–1)-местные предикаты. Переменная, следующая за квантором, называется связанной (от нее кванторный предикат не зависит), иначе переменная называется свободной. Таким образом, существует два способа образования высказываний на основе предикатов: замещение в предикате всех переменных значениями из предметных областей и навешивание на предикаты кванторов.

Рассмотрим некоторые свойства операций навешивания кванторов.

1. Одноименные кванторы можно менять местами:

x y P(x,y)y x P(x,y); x y P(x,y)y x P(x,y).

2. При отрицании кванторного предиката знак отрицания относится к внутреннему предикату, а квантор меняется на двойственный: существование на всеобщность и наоборот:

;

.

Это свойство распространяется и на предикаты с несколькими кванторами.

Пример. Ответим на вопрос: «Какой четырехугольник не является параллелограммом?» (дадим определение «не параллелограмма»).

Запишем одно из определений параллелограмма (x,y –стороны четырехугольника)

x y ((xy)(x=y)).

Тогда параллелограммом называется четырехугольник, у которого

,

то есть четырехугольник не является параллелограммом, если каждые две его стороны или не параллельны, или не равны.

Таким образом, данное правило удобно для построения отрицательных математических предложений.

3. Пусть Р(x_1, x₂,…, x_n) – n-местный предикат, тогда x_iР(x_1, x₂,…, x_n) – (n–1)-местный предикат, который на наборе (a₁, a₂,…, a_i-1,a_i+1,..., a_n) принимает значение 1 тогда и только тогда, когда одноместный предикат

Р(a₁, a₂,…, a_i-1,х_i,a_i+1,..., a_n) является тождественно истинным.

Замечание. Если Р(х) – одноместный предикат, то выражение хР(х) называется универсальным высказыванием, соответствующим одноместному предикату Р(х). Универсальное высказывание хР(х) истинно, если одноместный предикат Р(х) тождественно истинный, и ложно в противном случае.

4. Пусть Р(x_1, x₂,…, x_n) – n-местный предикат, тогда x_iР(x_1, x₂,…, x_n) – (n–1)-местный предикат, который на наборе (a₁, a₂,…, a_i-1, a_i+1,..., a_n) принимает значение 1 тогда и только тогда, когда одноместный предикат Р(a₁, a₂,…, a_i-1, х_i, a_i+1, ..., a_n) является выполнимым.

Замечание. Если Р(х) – одноместный предикат, то выражение хР(х) называется экзистенциональным высказыванием, соответствующим одноместному предикату Р(х). Экзистенциональное высказывание хР(х) истинно, если одноместный предикат Р(х) выполнимый, и ложно, если он тождественно ложный.

Пример. Определить значение высказывания yх (х нацело делится на y) на множестве целых чисел.

Заметим, что х (х нацело делится на y) = S(y) – одноместный предикат. S(1)=1, так как предикат (х нацело делится на 1) является тождественно истинным. S(4)=0, так как предикат (х нацело делится на 4) выполнимый. Следовательно, существует набор (х=1), на котором предикат S(y) обращается в истинное высказывание, и набор (х=4), на котором предикат обращается в ложное высказывание, поэтому предикат S(y) является выполнимым, а yх (х нацело делится на y) истинным высказыванием, так как квантор существования навешивается на выполнимый предикат.

5. (n–1)-Местный предикат x_iР(x_1, x₂,…, x_n) на некотором множестве является тождественно-истинным тогда и только тогда, когда n-местный предикат Р(x_1, x₂,…, x_n) на этом множестве тождественно истинный.

6. (n–1)-Местный предикат x_iР(x_1, x₂,…, x_n) на некотором множестве является тождественно-ложным тогда и только тогда, когда n-местный предикат Р(x_1, x₂,…, x_n) на этом множестве тождественно ложный (доказательство этого свойства в [3]).

Пример. Пусть на множестве натуральных чисел заданы предикаты

( ) и (x+y<0),

первый из которых тождественно-истинный, а второй – тождественно ложный. По свойствам 5 и 6 можно заключить, что

х( ), y( ) – тождественно истинные одноместные предикаты;

x (x+y<0);  (x+y<0) – тождественно ложные одноместные предикаты.

Кванторные предикаты используются для записи различных высказываний.

Пример. Запишем на языке предикатов высказывание «Любые два действительных числа либо равны, либо одно из них меньше другого». Введем в рассмотрение следующие предикаты:

D(x)= «х есть действительное число»;

R(x,y)= «x=y»; P₁(x,y)= «x>y»; P₂(x,y)= «x<y».

Наше высказывание запишется в виде:

x y (D(x)D(y)R(x) P₁(x,y) P₂(x,y))

или

x y (D(x)D(y) (x=y)(x>y)(x<y).

Замечание. Для записи на языке предикатов данных высказываний не существует особых правил. В каждом конкретном случае нужно пытаться передать смысл высказывания с помощью символов языка предикатов.