Задачи и упражнения

1. Укажите местность следующих предикатов. Для каждого приведите пример значений переменных, для которого соответствующее высказывание истинно, другой – для которого ложно.

а) плоскости и параллельны;

б) прямая х перпендикулярна у;

в) .

2. Укажите множества, которые являются областями истинности данных предикатов:

а) множество корней уравнения ;

б) множество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству ;

в) множество натуральных чисел, кратных трем;

г) множество действительных корней уравнения .

3. Приведите по три примера предикатов разной местности на множестве действительных чисел на каждый их трех типов, причем выполнимый предикат не должен быть тождественно истинным.

4. Привести примеры предикатов на множестве целых чисел:

а) , что – тождественно истинный;

б) , что – выполнимый;

в) , что – тождественно ложный;

г) – выполнимый, – тождественно ложный.

5. Приведите примеры предикатов и на множестве натуральных чисел, что является следствием .

6. Приведите примеры двух равносильных n-местных предикатов на множестве целых чисел.

7. Построить на множестве целых чисел предикаты:

а) , что – выполнимый, но не тождественно истинный;

б) и , что – выполнимый, но не тождественно истинный;

в) и , каждый из которых не тождественно истинный, а – тождественно истинный;

г) и , что – тождественно ложный;

д) , что ;

е) , что ;

ж) , что ;

з) , что .

8. Запишите символически следующие рассуждения:

a) все судьи – юристы, но не все юристы – судьи;

б) лица, проходившие ранее подготовку в аспирантуре, использовавшие отпуск для завершения диссертации как соискатели или бывшие в творческом отпуске для завершения диссертации, правом поступления в аспирантуру не пользуются.

в) Судья, являющийся родственником потерпевшего, не может участвовать в рассмотрении дела. Судья X – родственник потерпевшего. Следовательно, судья X не может участвовать в рассмотрении дела.

9. Привести к предваренной нормальной форме:

a) (xy(P²₁.(x; y))(xy(P²₂.(x; y)));

б) (xy(P²₁.(x; y))(xy(P²₂.(x; y)));

в) (xy(P²₁.(x; y))(xy(P²₂.(x; y)));

г) xyzu(P(x, y, u, z).

10. Привести к сколемовской стандартной форме:

a) (xy(P²₁.(x; y))  (xy(P²₂.(x; y)));

б) (xyzw(P⁴.(x; y; z; w));

в) (xy(P²₁.(x; y))(xy(P²₂.(x; y)))).

11. Какие из нижеприведенных формул являются тождестивенно истинными:

1. x(P₁(x)) x(P₂.(x))x(P₁(x) P₂.(x));

б) y(P₁.(x)) y (P₂.(x))y(P₁.(x)  (P₂.(x));

в) x(P₁(x)P₂.(x))x(P₁(x))x(P₂.(x));

г) y(P₁.(x)(P₂.(x))y(P₁.(x))y (P₂.(x))

12. Докажите выводимость заключения методом дедукции:

a) x(P₁.(x) P₂.(x)); x(P₃.(x)P₁.(x))

 x(P₃.(x) P₂.(x));

б) x(y(P²₁.(x; y) P₂.(y) y(P₃.(y) P²₄.(x; y)))

 x(P₃.(x)xy(P²₁.(x; y) P₂.(y)));

в) x(P₁.(x)P₂.(x)  P₃.(x)); x(P₁.(x)  P₄.(x))

 x(P₄.(x) P₃.(x)).

13. Докажите выводимость заключения по принципу резолюции:

a) x(P₁.(x)y(P₂.(y) P²₃.(x; y)));

x(P₁.(x)y(P₄.(y)  P²₃.(x; y)))

y(P₂.(y)P₄.(y)).

б ) y(P₁ (y)P₂.(y))

x(y(P₁.(y)  P²₃.(x; y)) y(P₂.(y)  P²₃.(x; y))).

в) x((P₁.(x) P₂.(x))y(P₃.(y) P²₄.(x;y)));

x(P₅.(y)  P₁.(x)  y(P²₄.(x;y)P₅.(y)));

 x(P₃.(x)  P₅.(x)).