Учебники / Физика конденсированных сред

§ 4. Электропроводность сильнонеравновесной системы 461

найти, как это уже отмечалось, другим способом, совершенно не интересуясь тем, как возникло новое неравновесное распределение при включении дополнительного измерительного поля. По существу, это просто обобщение формальной теории линейного отклика Кубо на случай отклика неравновесных систем.

Пусть на неравновесную систему, которая описывается гамильтонианом H , действует дополнительное слабое внешнее поле HF (t) = −AF (t) . Запишем уравнение Лиувилля, которому удовлетворяет новое неравновесное распределение ρ(t, 0) :

∂ρ(t, 0) + [iL + iLF (t)]ρ(t, 0) = − (ρ(t, 0) − ρ0(t, 0)). ∂t

Здесь ρ0(t, 0) – исходное неравновесное распределение системы, iL, iLF (t) – операторы Лиувилля, соответствующие гамильтонианам H и HF (t) .

Естественным начальным условием для распределения ρ(t) можно считать его совпадение с исходным неравновесным распределением ρ0(t, 0) в момент времени t = −∞, когда было включено внешнее поле.

В этом случае формула для неравновесного адмиттанса в полном соответствии с теорией Кубо будет выражаться через коммутаторную функцию Грина. Например, в случае электропроводности, по аналогии с линейным случаем, получаем

Эту формулу легко преобразовать к результату (7.34), полученному нами ранее. Воспользуемся для этого операторным тождеством (7.21), которое является обобщением тождества Кубо на случай неравновесного распределения и принципом ослабления корреляций.

В результате простых вычислений получаем

462 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Если учесть связь функции Грина G(t, ω) с транспортной мат-

рицей T (t, ω) , определенной соотношением (7.31), то сразу видно, что приведенное выражение для неравновесной электропроводности совпадает с полученным ранее результатом (7.34).

Задача 7.1

Используя гамильтониан взаимодействия носителей с заряженными примесными центрами (4.81) и формулы (7.35), (7.37) для функции памяти, получить выражение для обратного времени релаксации импульса неравновесных электронов.

Решение

Используя определение (7.35) и тот факт, что P α, P β = −nm , для обратного времени релаксации получаем

(7.45) Поскольку в этом выражении уже набран второй порядок по константе взаимодействия с рассеивателями, неравновесное распределение ρ0 можно заменить квазиравновесным распределением ρq . Будем предполагать, что квазиравновесное распределение может быть

записано в виде

ρq = e−S0 , S0 = Φ + βk Hk + βsHs − βζN.

Таким образом, ρq описывает неравновесное распределение электронов с обратными температурами кинетических и спиновых степеней свободы βk и βs соответственно. Кроме того, в операторе эволюции iL можно опустить взаимодействие. Поэтому

§ 4. Электропроводность сильнонеравновесной системы 463

z = t1 + t2 + i β . Угловые скобки в этом выражении означают усреднение по состояниям примесей.

С учетом явного вида гамильтониана электрон-примесного вза-

имодействия (4.81) матричные элементы оператора ˙ α имеют

вид

P(ei) ν ν

нение по состояниям рассеивателей сводится к усреднению величин

ρq :

Выполняя интегрирование по τ , получаем

1

dτ (Sν0 − Sν0)e(Sν0 −Sν0)τ fν (1 − fν ) = (e(Sν0 −Sν0) − 1)fν (1 − fν ) =

0

= fν (1 − fν ) − fν (1 − fν ) = fν − fν .

464 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

представления, необходимо рассмотреть интеграл, содержащий произведение обычной функции F (x) и обобщенной функции δ (x) . Вычисление таких интегралов производится интегрированием по частям, полагая, что δ(x) = 0 , если x = 0 . Таким образом, обычно

принимается, что

F (x) δ (x) dx = − F (x) δ(x) dx.

Если теперь в этом выражении положить, что F (x) = xf (x) , то по-

лучаем

xf (x)δ (x) dx = − f (x)δ(x) dx − x f (x) δ(x) dx.

Поскольку последний интеграл всегда равен нулю, то отсюда следует определение производной для дельта-функции x δ (x) = −δ(x) .

Подставляя полученные выше результаты в последнее выражение для обратного времени релаксации (7.48), получаем

Этот результат с точностью до обозначений совпадает с ранее полученным с помощью кинетического уравнения выражением (4.204) для обратного времени релаксации горячих электронов.

Естественно, что для получения формулы (7.48) мы могли бы воспользоваться и представлением для функции памяти (7.38). Остановимся конспективно на этом способе вывода выражения для обратного времени релаксации неравновесных электронов. Используя в качестве исходного определения выражение (7.38), получаем

§ 4. Электропроводность сильнонеравновесной системы 465

Переходя к представлению вторичного квантования, вместо (7.46) получаем

произведя замену индексов суммирования в первом слагаемом ν ν ,q → −q и выполняя интегрирование по времени t1 , получаем

ν q

× Pνβ fν (1 − fν ) εν − εν + i − εν − εν − i .

Учитывая определение дельта-функции, а также тот факт, что из

(7.49) Выражение (7.49) диагонально по спиновым индексам. Поэтому, хотя функции fν , fν и являются неравновесными функциями, в действительности они отличаются только кинетической энергией электронов.

466 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Поэтому, если кинетические энергии равны, то равны и функции распределения fν и fν . Следовательно,

fν (1 − fν ) = −βk−1fν ,

и мы снова получаем результат (7.48).

Задача 7.2

Получить выражение для поперечных компонент парамагнитной спиновой восприимчивости неравновесных электронов в проводящих кристаллах.

Решение

Будем предполагать, что неравновесное состояние электронной системы является стационарным и описывается исходным неравновесным распределением

Φ = ln Sp exp{−βk Hk − βsHs − βlHl − βdHd + βζN }, (7.50)

где Hl и Hd – гамильтонианы фононной подсистемы и подсистемы d -электронов (наличие d -подсистемы актуально для магнитных по-

ωs – частота зеемановской прецессии спина во внешнем постоянном магнитном поле H Z . Учет d -подсистемы локальных магнитных моментов, если не анализировать детали, связанные с формой образца, и вопросы критической динамики, приводит лишь к некоторой перенормировке внешнего магнитного поля и поэтому мы исключим d -электроны из дальнейшего рассмотрения. Hl представляет собой гамильтониан фононной подсистемы. Поскольку в дальнейшем мы не будем анализировать процессы переноса энергии из электронной системы в фононную подсистему и далее в термостат, то и это слагаемое в операторе энтропии S0 можно без всякого ущерба опустить.

§ 4. Электропроводность сильнонеравновесной системы 467

Как известно [51], для нахождения отклика системы на внешнее статическое магнитное поле достаточно найти отклик на отдельную фурье-компоненту этого поля. Поэтому гамильтониан взаимодействия электронов со слабым внешним поляризованным перпендикулярно оси Z магнитным полем можно записать в форме

Si± = Six ± iSiy , h±(q ) = hx(q ) ± ihy (q ) , hx(q ) , hy (q ) – фурьекомпоненты неоднородного внешнего магнитного поля в декартовой

системе координат. Вводя обозначение

Sq± = Si± eiq ri ,

i

будем изучать реакцию системы только на одну из двух циркулярных составляющих плоскополяризованного внешнего поля. Тогда, с учетом введенных обозначений, гамильтониан взаимодействия с внешним полем (7.51) можно упростить, оставив только составляющую внешнего поля с одной круговой поляризацией

В соответствии с общей теорией отклика неравновесной системы, развитой в § 2 настоящей главы, реакция системы на возмущение (7.52) определяется поперечными компонентами тензора статической восприимчивости неравновесной системы (7.24). Поэтому, определяя статическую парамагнитную восприимчивость χ+q − в расчете на один узел решетки, получаем

Статическая парамагнитная восприимчивость отлична от нуля в нулевом порядке по взаимодействию с рассеивателями. Поэтому, если не учитывать малые поправки, связанные с взаимодействием, в определении неравновесной корреляционной функции (7.17) можно заменить

iL → iL0, ρ0(t, 0) → ρq .

§ 4. Электропроводность сильнонеравновесной системы 469

но разделить неравновесную статическую восприимчивость на действительную и мнимую части:

k

При получении этих результатов мы учли, что отличный от нуля

матричный элемент

Sσ+ σ 2 = S↑+↓ 2 = 1,

где стрелки ↑ ↓ обозначают состояния с проекцией z -компоненты спинового момента, ориентированные вдоль и против направления внешнего магнитного поля H . Пользуясь формулами (7.56)– (7.58), легко доказать, что

Как следует из формулы (7.57), действительная составляющая поперечной статической восприимчивости неравновесных электронов имеет точно такой же вид, как и аналогичная величина в равновесном случае (см., например, монографию [51]). Различие состоит только в замене равновесных функций распределения на неравновесные, так как в нашем случае

f + ↑ = exp{βk ε + − βs ωs/2 − βζ} + 1 −1.

k q k q

Поскольку процедура дальнейших вычислений действительной части Re χ+q − достаточно хорошо известна, мы не будем на ней останавливаться.

Значительно больший интерес представляет мнимая составляющая χ+q − (7.58). В неравновесном случае мнимая составляющая статической восприимчивости становится отличной от нуля, поскольку

функции в выражении (7.57), еще не означает равенство функций

дит диссипация энергии (обмен энергии между k - и s - подсистемами

470 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

кристалла), который обусловлен статическим неоднородным магнитным полем. Легко заметить, что

lim Im χ+q − = 0,

q→0

поскольку при q = 0 кинетические энергии в начальном и конечном состоянии равны, а это означает, что переходов с переворотом спина быть не может.

Для проведения дальнейших вычислений в формуле (7.58) перей-

Пользуясь дельта-функциями, заменим аргументы функций распределения так, чтобы избавиться в них от зависимости от компонент импульса. Тогда интегрирование по p придется только на дельтафункции и мы будем иметь дело с интегралом

методику вычисления которого мы обсуждали в главе 4 (см. формулы (4.162) – (4.166)). Поэтому приведем сразу результат:

Если величина q не удовлетворяет этим неравенствам, то I = 0 . Подставляя значение интеграла I в определение (7.58), для Im χ+q −

получаем