Учебники / Физика конденсированных сред

442 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Если учесть, как уже указывалось, что ρ0(t + t1, 0) удовлетворяет равенству, аналогичному (7.4), то тождество (7.21) из последнего соотношения получается незамедлительно. Тождество (7.21) можно считать обобщением тождества Кубо на случай сильнонеравновесных систем.

Полученные результаты (7.16) и (7.19) позволяют построить выражение для изменения среднего значения базисного оператора M в результате включения внешнего поля F(ω)

Совершенно аналогично можно записать и выражение для изменения среднего значения некоторого другого оператора B , не принадлежащего к набору базисных операторов:

B t = Sp{B ρ(t, 0) − ρ0(t, 0) }.

Очевидно, что эту величину можно записать следующим образом:

Sp{B ρ(t, 0)−ρ0(t, 0) } = Sp{B ρ(t, 0)}+Sp{B ρ(t, 0)−ρ0(t, 0) }.

Учитывая, что величина ρ(t, 0) определяется соотношением (7.18), а величина ρ(t, 0) − ρ0(t, 0) – соотношением (7.11), используя определение корреляционной функции (7.20), получаем

Подставляя в последнюю формулу значение ϕ(ω) , найденное из выражения (7.19), получаем

а обобщенная восприимчивость χBA(t, ω) в этом случае имеет вид

При записи формулы (7.26) мы воспользовались соотноше-

нием

B, M˙ + ωt = B, M+ t − ( − iω) B, M+ ωt ,

которое легко проверяется интегрированием левой части по частям.

Интересно, что, несмотря на особую роль операторов M в излагаемой теории, выражение для динамической восприимчивости χMA(t, ω) легко получается из формулы (7.26), если в последней просто заменить оператор B на оператор M. Действительно, если положить B = M, то из приведенной выше последней формулы следует, что

M, M+ ωt = M, M+ t − M, M˙ + ωt + iω M, M+ ωt .

Если подставить полученный результат для M, M+ ωt в формулу (7.26), то сразу видно что, если оператор B совпадает с оператором M, то обобщенная восприимчивость χBA(t, ω) переходит в обобщенную восприимчивость χMA(t, ω) .

Завершая этот параграф, необходимо сравнить результаты (7.23), (7.26) с известными результатами, которые получаются для отклика равновесных систем.

Покажем, что скалярное произведение операторов, определенное нами соотношением (7.17), переходит в случае равновесного распределения в обычное скалярное произведение Мори (6.89). Чтобы в этом убедиться, достаточно преобразовать

444 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

(7.17), воспользовавшись тождеством Кубо, и затем произвести интегрирование по частям:

где β – обратная температура. Последнее соотношение справедливо, если операторы B и M удовлетворяют принципу ослабления корреляций:

0

lim dt1e t1 Sp{BeiLt1 M+} = B 0 M+ 0.

→∞

−∞

Это требование, по-видимому, не является слишком жестким ограничением на природу операторных величин B и M для систем с «перемешиванием», в которых только и возможны

релаксационные явления. Кроме того, мы полагаем, что B 0 = = M+ 0 = 0 .

Итак, мы показали, что скалярное произведение (7.17) переходит в обычное скалярное произведение операторов Мори, если неравновесное распределение ρ0(t, 0) заменить на равновесное ρ0 .

Для того чтобы доказать, что выражения (7.23), (7.26) имеют правильный предельный переход к случаю линейного отклика равновесных систем, необходимо вывести формулы линейного отклика заново, пользуясь стандартной методикой НСО, рассмотренной в главе 6. Поскольку это не представляет никаких проблем и является прекрасным упражнением, мы предлагаем читателям решить эту задачу самостоятельно, указав лишь на то, что получающийся результат для изотермического отклика равновесной системы имеет точно такую же структуру, как и формула (7.23), отличаясь лишь заменой скалярного произведения (7.17) на скалярное произведение (6.89).

§ 3. Оператор проектирования для неравновесных систем 445

§ 3. Оператор проектирования для неравновесных систем. Магнитная восприимчивость

Рассмотрим применение общих формул теории линейного отклика неравновесных систем (7.23), (7.26) для вычисления магнитной восприимчивости.

Пусть на систему магнитных моментов M действует пере-

менное магнитное поле B(t) . Для перехода к этому случаю в общих формулах предыдущего раздела следует произвести за-

мены:

A+F(t) → M +B(t); Mϕ(t) → M +b(t),

где M −операторный вектор-столбец с компонентами полного магнитного момента электронов, B− вектор-строка, составленная из компонент вектора магнитной индукции внешнего электромагнитного поля. Для простоты пренебрегаем пространственной неоднородностью электромагнитного поля.

Аналогично определено и произведение M +b(t) , где внутреннее неравновесное поле b(t) представляет собой индуцированное внешним полем термическое возмущение, связанное с намагниченностью системы m(t) = M t соотношением (7.16):

m(t) = −M, M + t b(t) или m(t, ω) = −M, M + t b(ω). (7.27)

Определим динамическую магнитную восприимчивость соотношением

m(t, ω) = χ(t, ω)B(ω).

Для этого воспользуемся формулами (7.19) и (7.27). Подставляя в формулу (7.19) M = M, ϕ(ω) = b(ω) и выражая b(ω) с помощью формулы (7.27) b(ω) = −M, M + −t 1 m(t, ω) , получаем

− ˙ + ω − + ω + −1 ·

[ M, M t iω M, M t ] M, M t m(t, ω) =

Последняя формула позволяет легко определить выражение для компонент тензора магнитной восприимчивости

446 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

где мы снова, как и в случае отклика равновесных систем (см. формулу (6.72)), ввели в рассмотрение транспортную матрицу

и статическую магнитную восприимчивость системы

Зависимость магнитной восприимчивости от времени t связана с временной зависимостью исходного неравновесного распределения.

Введенная формулой (7.29) транспортная матрица играет в неравновесном случае точно такую же роль, как и в случае отклика равновесной системы. В частности, в режиме свободной релаксации, когда амплитуда внешнего магнитного поля равна нулю, транспортная матрица определяет спектр нормальных мод системы (6.75). В полной аналогии с равновесным случаем (6.76) – (6.79) можно ввести и неравновесную функцию Грина соотношением

Таким образом, дальнейшая проблема вычисления магнитной восприимчивости сводится к нахождению транспортной матрицы T (t, ω) или функции Грина G(t, ω) , что, в свою очередь, требует применения техники операторов проектирования, пригодной для использования в случае неравновесных систем.

Такой оператор проектирования можно построить по аналогии с оператором проектирования Мори (6.88), (6.91), просто заменив скалярное произведение операторов Мори скалярным произведением, определенным соотношением (7.17). В итоге получаем

§3. Оператор проектирования для неравновесных систем 447

Вопределении (7.32) индекс t у оператора проектирования указывает на то, что такой оператор в общем случае будет зависеть от времени, поскольку от времени зависит исходное неравновесное распределение. В дальнейшем будем считать, что исходное неравновесное распределение является стационарным, и опустим нижний индекс t как у оператора проектирования, так

иу корреляционных функций.

Поскольку введенное скалярное произведение (7.17) при переходе к равновесию превращается в скалярное произведение Мори, то и проекционные операторы (7.32) в равновесном случае переходят в проекционные операторы (6.88). Поэтому наша задача существенно упрощается и фактически сводится к повторению выкладок, которые мы проделали в § 8 предыдущей главы. В них просто следует заменить оператор P + на M + и равновесное скалярное произведение операторов его неравновесным аналогом. В результате снова получаем

− P ˙

где f = (1 )M .

Заканчивая рассмотрение проблемы вычисления магнитной восприимчивости неравновесной системы, можно подвести некоторые итоги.

Структура компонент тензора магнитной восприимчивости в неравновесном случае осталась, по существу, без изменений. Изменилось лишь определение скалярного произведения двух операторов. Так, для поперечной парамагнитной восприимчивости электронного газа из приведенных формул снова получаются выражения, имеющие точно такую же структуру, как равновесная восприимчивость, определяемая соотношениями (6.147), (6.148), отличаясь от них лишь видом скалярного произведения операторов и некоторыми обозначениями.

Вычисление неравновесных корреляционных функций представляет определенный интерес, и мы займемся их анализом на примере неравновесной электропроводности, которая будет

§ 4. Электропроводность сильнонеравновесной системы 449

Тогда, если оператор P определен так, что его неравновесное среднее равно нулю, получаем, что

lim P, X+ ω = 0.

→0

Подставляя эти результаты в формулу для электропроводности, получаем

При записи выражения (7.34) считаем, что величины P, P + представляют собой вектор-строку и вектор-столбец, составленные из декартовых компонент оператора полного импульса электронов.

Используя методику проекционных операторов (см. § 8 предыдущей главы и формулу (6.137)), транспортную матрицу T (ω) можно записать в виде суммы частотной матрицы и функции памяти: T (ω) = iΩ + Σ(ω) , причем

Формулы, приведенные выше, являются достаточно общими и справедливы для любого стационарного неравновесного распределения.

Для дальнейшего изложения конкретизируем выбор исходного неравновесного распределения. Будем считать, что это распределение характеризуется обратными температурами βk, βs , βp подсистем кристалла k, S, P (смысл обозначений подсистем k, S см. в § 10 предыдущей главы; P означает подсистему

450 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

длинноволновых фононов) и задается квазиравновесным распределением следующего вида:

q,λ

Здесь a+pσ, apσ−операторы рождения и уничтожения электронов в состоянии с импульсом p и проекцией спина σ = ±12 на ось Z . b+q,λ, bq,λ−операторы рождения и уничтожения фононов с волновым вектором q и поляризацией λ . Ωq,λ−энергия фо-

нона, g−фактор спектроскопического расщепления, μБ−магнетон Бора, H−напряженность классического магнитного поля.

Перейдем к анализу матрицы частот и функции памяти, определяемых выражениями (7.35)). Легко показать, что чис-

риваемом случае базисными операторами являются компоненты оператора полного импульса системы электронов P α , получаем

Хотя в этой формуле мы оставили тензорные индексы α и β , следует иметь в виду, что, в силу изотропии пространства, отличными от нуля могут быть только диагональные компоненты тензора электропроводности. Теперь легко доказать, что числитель в последней формуле равен нулю. Достаточно

α ˙ β

вспомнить определение корреляционной функции P , P