Учебники / Физика конденсированных сред

432 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

уравнения (7.3)

0

lim exp( t1)eiLt1 ln ρ0(t + t1, 0)dt1 =

→0 −∞

потребуем, чтобы ln ρ0(t, 0) удовлетворял уравнению Лиувилля в том смысле, что

Тогда получаем

Необходимо отметить, что равенство (7.4), как и аналогичное равенство нулю интеграла (6.51), является постулатом теории. Этот постулат приводит к тому, что НСО (7.1) удовлетворяет не уравнению Лиувилля, а уравнению с бесконечно малым источником в правой части, в идеализированной форме учитывающему контакт системы с термостатом после включения взаимодействия и отбирающему запаздывающие решения уравнения Лиувилля.

Обращает на себя внимание тот факт, что операция временного сглаживания (7.1), примененная к величине ln ρ0(t, 0) , оставляет ее без изменения, т.е. эта операция обладает свойствами оператора проектирования (в том смысле, что повторное проектирование не изменяет результата).

Сравнивая (7.3) и (7.5), находим явное выражение для НСО:

Таким образом, мы показали, как может быть построено НСО в альтернативной форме (7.1). Осталось получить уравнение движения, которому оно удовлетворяет.

Для этих целей продифференцируем по времени t левую и правую части уравнения (7.6). В результате получаем

В левой части этого уравнения можно заменить производную по t на производную по t1 и затем выполнить интегрирование по частям. Тогда с учетом результата (7.6) легко получаем уравнение движения для ln ρ0(t, 0) :

Заметим, что в этом варианте метода НСО уравнению (7.7) с источниками в правой части удовлетворяет не НСО ρ0(t, 0) , a его логарифм ln ρ0(t, 0) .

Полученный результат (7.7) согласуется с исходным предположением (7.4), и условие (7.4) выполняется автоматически, если принять во внимание уравнение движения (7.7) и граничные условия (7.3). Таким образом, уравнения (7.7) и (7.4) по существу являются тождественными.

В этой главе мы полагаем, что неравновесное распределение ρ0(t, 0) уже известно и не рассматриваем вопрос о нахождении величин F (t) и средних значений базисных операторов P + . Способ нахождения этих величин обсуждался в § 10 предыдущей главы.

Пусть на систему, неравновесное состояние которой задается распределением (7.1), действует дополнительное механическое возмущение HF(t) = −A+F(t) , где A+−некоторый оператор, F(t)−напряженность поля внешних сил, реакцию на воздействие которых нужно определить. Будем полагать, что это возмущение включается в момент времени t = −∞ (естественно, что бесконечность в данном контексте понимается как величина, которая много больше характерных релаксационных временных масштабов задачи).

434 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Под воздействием этого возмущения в системе возникает новое неравновесное состояние, которое уже не может быть в общем случае описано в терминах старого базисного набора операторов P + , и для его описания требуется расширить этот набор, добавив в него новые операторы M+ и новые термодинамические параметры ϕ(t) .

Сформулируем граничное условие, которому удовлетворяет статистический оператор ρ(t, 0) , описывающий новое неравновесное состояние системы при t → −∞.

Ясно, что нельзя просто перенести на этот случай граничное условие (7.2), сформулированное выше (см. также выражение (6.46) в предыдущей главе), поскольку в пределе при t → −∞ неравновесное распределение ρ(t, 0) должно перейти в другое неравновесное распределение ρ0(t, 0) , а не в квазиравновесное, как это было ранее.

Для формулировки подходящего условия рассмотрим свободную релаксацию распределения ρ(t, 0) при выключении внешнего воздействия F(t) в некоторый момент времени (без какихлибо ограничений можно считать, что t → −∞).

При выключении внешнего воздействия термические возмущения, которые описываются функциями ϕ(t) , не обращаются сразу в нуль, а медленно меняются с некоторым характерным временем релаксации τ . Рассматривая M+ϕ(t) как некоторое внутреннее поле, которое действует на систему, запишем урав-

Уравнение (7.8) записано по аналогии с уравнением (7.7), если принять, что внутреннее поле, которое, безусловно, есть, действует как поправка к гамильтониану. В действительности уравнение (7.8) является постулатом теории, и к его обоснованию мы вернемся несколько позже.

Пользуясь методикой, изложенной в главе 6 (см. вывод формулы (6.115) в § 7 предыдущей главы), уравнение (7.8) для логарифма НСО можно преобразовать в интегральное уравнение,

итерируя которое по малому параметру M+ϕ(t) , в линейном приближении получаем

При записи выражения (7.9) мы учли, что, по предположению, функции ϕ(t) являются медленно изменяющимися функциями времени t и поэтому пренебрегли зависимостью ее от t1 . Запишем теперь интересующее нас граничное условие, полагая, что в пределе при t → −∞ истинное распределение должно совпадать с тем результатом, который мы получили, решая уравнение (7.8)

где величина

ρ(t, 0) ≡ exp{−S(t, 0)}

в дальнейшей теории играет такую же роль, какую выполняло квазиравновесное распределение в предыдущей главе.

Поскольку нас интересуют лишь линейные по параметру M+ϕ(t) члены, то выражение для распределения ρ(t, 0) можно разложить в ряд по этому параметру, ограничившись линейным приближением. В итоге получается выражение, которое мы и будем использовать:

ρ(t, 0) = ρ0(t, 0) − i1 0 dt1 exp{( + iL)t1}[M+, ρ0(t + t1, 0)]ϕ(t).

−∞

(7.11) Следует обратить внимание на то, что распределение (7.11)

не является квазиравновесным и похожее обозначение ρ(t, 0) не должно вводить в заблуждение.

436 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Результат (7.11) можно получить значительно проще. Мы выбрали столь длинный путь лишь для того, чтобы иметь возможность познакомить читателя с альтернативным вариантом метода НСО.

Получим теперь результат (7.11) в рамках метода НСО, развитого в предыдущей главе. Естественно, при таком изложении неизбежны некоторые повторения, но надеемся, что и они будут полезны для читателя.

Рассмотрим неравновесную систему с распределением

0

ρ0(t, 0) = dt1 exp{( + iL)t1}ρq (t + t1),

−∞

где

Если на систему действует внешнее поле, задаваемое поправкой к гамильтониану HF(t) = −A+F(t) , то в системе сформируется новое неравновесное состояние, которое описывается расширенным набором базисных операторов. Пусть при этом в число базисных операторов добавляются операторы M+ , а к термодинамическим силам F (t) добавятся новые силы ϕ(t) . Будем считать, что новое распределение задается оператором ρ(t, 0) .

Встает вопрос, как найти вид НСО ρ(t, 0) . Метод, развитый в главе 6, как это уже отмечалось ранее, на этот случай непосредственно не обобщается, поскольку при выключении внешнего измерительного поля неравновесное распределение останется (хотя и несколько видоизменится), так как в системе есть другие возмущения, определяющие исходное неравновесное состояние.

Мы можем воспользоваться лишь общей методологией метода НСО для вывода распределения ρ(t, 0) . Для этого нам необходимо правильно записать аналог выражения (6.46), задающего граничное условие для НСО.

Для получения такого граничного условия рассмотрим эволюцию системы после выключения в момент времени t = −∞

внешнего поля, отклик на которое мы ищем. Обозначим статистическое распределение системы, возникающее после выключения поля, величиной ρ(t, 0) . Будем считать, что уравнение, которому удовлетворяет распределение ρ(t, 0) , имеет вид

Если произвести линеаризацию уравнения (7.12) по малому параметру M+ϕ(t) и записать формальное решение (более подробно эта процедура формального решения описана в § 2 главы 5), то получаем

ρ(t, 0) = ρ0(t, 0) − i1 0 dt1 exp{( + iL)t1}[M+, ρ0(t + t1, 0)]ϕ(t),

−∞

что полностью совпадает с выражением (7.11). Как и раньше, функция ϕ(t) считается медленно меняющейся по сравнению с операторным ядром [M+, ρ0(t + t1, 0)] , и поэтому мы пренебрегли зависимостью величины ϕ(t + t1) от t1

Рассмотрим, какие есть основания для записи уравнений (7.8), (7.12). Мы отыскиваем такое распределение ρ(t, 0) , из которого в результате эволюции с полным гамильтонианом H + HF(t) = H − A+F(t) возникает неравновесное распределение ρ(t, 0) , содержащее новые параметры M+ϕ(t) . По этой причине ρ(t, 0) удовлетворяет уравнению, в которое добавлено внутреннее поле M+ϕ(t) . Таким образом, получающееся решение для ρ(t, 0) будет функционалом полного набора неравновесных параметров.

Поскольку конечный физический результат не должен быть чувствительным к виду конкретной функциональной зависимости ρ(t, 0) от параметров P + и M+, мы выбрали ρ(t, 0) так, чтобы выполнялся естественным образом переход к результатам теории линейного отклика для равновесной системы, с одной стороны, а с другой стороны – распределение ρ(t, 0) обладало нужными для построения нового НСО свойствами.

438 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Развиваемый ниже подход линейного отклика исходно неравновесной системы на слабое измерительное поле можно построить другим способом, более формально, вообще не решая проблемы построения НСО ρ(t, 0) (этот подход будет продемонстрирован позднее).

После того как мы обсудили граничное условие для НСО (7.10), запишем уравнение Лиувилля, которому будет удовлетворять это распределение:

Вывод уравнения (7.13) совершенно аналогичен выводу уравнения (6.54).

Учитывая, что

1

iL(t)B = (iL + iLF)B = i [B, H + HF(t)],

воспользуемся интегральным уравнением для НСО (6.115) и ограничимся при его решении линейными членами по малой поправке HF(t) , описывающей взаимодействие системы с внешним полем. В результате получаем простое выражение

0

ρ(t, 0) = ρ1(t, 0) − dt1 exp{( + iL)t1}iLFρ1(t + t1, 0),

−∞

−∞

В следующем параграфе мы, используя выражение (7.14), построим выражение для линейного отклика неравновесной системы и выразим обобщенную восприимчивость системы через неравновесные корреляционные функции, вычисление которых производится с помощью статистического оператора, описывающего исходное неравновесное распределение.

§ 2. Обобщенная восприимчивость неравновесной системы

Определим отклик неравновесной системы как изменение среднего значения базисного оператора M

где ρ0(t, 0)−статистическое распределение, описывающее исходный неравновесный процесс.

Если подставить в формулу (7.15) выражение (7.11) для ρ(t, 0) , то отклик можно записать в виде

При записи этого выражения мы ввели новое «скалярное» произведение операторов по неравновесному состоянию системы, которое является обобщением скалярного произведения Мори и переходит в него для случая равновесного распределения

B, M+ t = i1 0 dt1e t1 Sp{BeiLt1 [M+, ρ0(t + t1, 0)]}. (7.17)

−∞

где B и M−некоторые операторы.

Формула (7.16) определяет отклик системы на внутреннее поле ϕ(t) , а нас интересует отклик на внешнее приложенное поле F(t) . Для того чтобы найти интересующий нас отклик, необходимо выразить ϕ(t) через F(t) .

Связь этих функций легко можно получить из условия

Sp{M ρ(t, 0) − ρ(t, 0) } = 0,

которому, в соответствии с общими идеями метода НСО, удовлетворяет набор базисных операторов M.

Найдем выражение для разности ρ(t, 0) = ρ(t, 0) − ρ(t, 0) . Для этого проинтегрируем выражение ρ1(t, 0) в формуле (7.14)

440 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

Подставим в последний интеграл выражение для ρ(t + t1, 0) (7.11) и учтем, что для НСО ρ0(t + t1, 0) выполняется условие, аналогичное условию (7.4) для ln ρ0(t + t1, 0) . Тогда, производя элементарные выкладки, получаем

×{[M˙ +, ρ0(t + t1 + t2, 0)]ϕ(t + t1) + +[M+, ρ0(t + t1 + t2, 0)]ϕ˙ (t + t1)}.

Для продолжения исследования удобно перейти от временного к частотному представлению. Будем считать, что функция F(t) изменяется по гармоническому закону. Поскольку нас интересует линейное приближение, то можно принять, что и ϕ(t) будут изменяться также по гармоническому закону. Вводя обозначения

F(t) = F(ω)e−iωt, ϕ(t) = ϕ(ω)e−iωt