Учебники / Физика конденсированных сред

случае при интегрировании по времени t1 в левой и правой частях (6.188) возникают дельта-функции и равенство (6.188) становится очевидным. Поскольку значение шпура произвольной совокупности операторов не зависит от того, какая полная система собственных функций используется для вычисления матричных элементов, можно считать соотношение доказанным.

Подставляя результат (6.188) в определение функций fαβ (ω) и gαβ (ω) , получаем

Объединяя эти два результата, получаем искомую взаимосвязь функций fαβ (ω) и gαβ (ω) :

i 1 − e−β ω

1 + e−β ω

(6.191)

Вспоминая взаимосвязь функции fαβ (ω) с мнимой частью магнитной восприимчивости (6.186), можно выразить спектральную интенсивность симметризованной корреляционной функции gαβ (ω) через мнимую часть тензора магнитной восприим-

которое имеет смысл мнимой части симметричной составляющей тензора магнитной восприимчивости, то выражение (6.192) можно представить в компактной форме

412 Глава 6. Метод НСО

Выражение (6.193) и является формулировкой ФДТ Каллена – Велтона. Результаты (6.193) и (6.186) остаются в силе и в пространственно неоднородном случае, когда функции

и χαβ (k, ω) . Для простоты рассмотрим вначале пространственно однородный случай. Тогда, используя определения

(6.171) и (6.170) и полагая k = 0 , получаем

При записи последнего равенства в этой формуле сделана замена переменных t1 → −t1 . С учетом этого результата выражения (6.189), (6.190) перепишем следующим образом:

Поскольку соотношения (6.194), (6.195) непосредственно обобщаются на пространственно неоднородный случай, учитывая (6.193), получаем

Отсюда в пределе малых частот β ω 1 следует простое равенство

Наконец, подставляя в это выражение значение функции

Sαβ (k, ω) (6.179), справедливое в пределе малых k , получаем представление для мнимой части магнитной восприимчивости

→

справедливое в длинноволновом приближении k 0 . В связи с полученным результатом важно пояснить, что структура мнимой части магнитной восприимчивости (6.197) «навязана» законами сохранения и свойствами симметрии рассматриваемой системы и не зависит от конкретного вида гамильтониана системы.

Задача 6.1

Доказать, что

· lim S(k, t = 0) = 1/β χ,

→0 k

где χ – статическая восприимчивость в пространственно однородном случае.

Решение

Будем исходить из определения

k→0

где Mп – полный магнитный момент образца.

Магнитная восприимчивость образца в феноменологической термодинамике определяется соотношением

χ = lim ∂ )M *h. h→0 ∂h

Если считать, что гамильтониан системы H во внешнем поле h можно представить в виде H = H0 − hMп , то среднюю намагниченность можно вычислить, используя усреднение по равновесному ансамблю

)M *h = Sp{Mп exp[−β(H0 − hMп]}. Sp{exp[−β(H0 − hMп)]}

Вычислим производную по h . В данном случае это можно сделать без особого труда, поскольку полный магнитный момент сохраняется и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом H0 . В итоге получаем

Последнее равенство в этом выражении следует из того факта, что в

k→0

§13. Дальние корреляции и медленные моды

В§ 11 этой главы на примере явления спиновой диффузии рассмотрены условия возникновения гидродинамических мод,

т.е. слабозатухающих в пределе k → 0 коллективных возбуждений. Показано, в частности, что если динамическая переменная удовлетворяет некоторому закону сохранения и является квазиинтегралом движения, то соответствующая автокорреляционная функция в комплексной плоскости z будет иметь гидродинамический полюс. Обобщим эти результаты, используя метод операторов проектирования Мори, развитый в § 6 – 9 главы 6.

416 Глава 6. Метод НСО

Кроме того, для простоты мы положили, что

˙ + + −1

iΩ = A(k), A (k) A(k), A (k) = 0.

Если величина A(k, t) была бы сохраняющейся величиной,

S

то функция A(k, z) , как это показано в § 11, была бы пропорциональна k2 и мы имели бы гидродинамический полюс.

В этом легко убедиться, если считать, что A(k) является единственным базисным оператором, удовлетворяющим уравнению

→

и остается конечной величиной при k 0 , то это будет означать, что корреляционная функция CAA(0, t) будет удовлетворять уравнению

демонстрируя обычное релаксационное поведение. Действительно, если выполнить трансформу Лапласа уравнения (6.202) с использованием соотношения (6.105), получаем

1

−CAA(0, 0) + z CAA(0, z) = τA CAA(0, z),

или

CAA(0, 0)

CAA(0, z) = z + τA−1 .

Предположим теперь, что несохраняющаяся величина имеет статические корреляции бесконечно большого радиуса и

где M0 и RA – некоторые константы. Очевидно, что в этом случае

S · −1 2

A(k, z) [χAA(k)] k

и мы вновь будем иметь гидродинамический полюс. Представляет интерес выяснить, в каких системах возмож-

но возникновение 1/k2 сингулярностей статической восприимчивости. В первую очередь рассмотрим изотропный ферромагнитный материал. Хорошо известно, что в ферромагнетике возникает спонтанное упорядочение магнитных моментов образца, в результате которого они в простейшем случае выстраиваются вдоль некоторого направления, которое можно выбрать за ось Z. В действительности это направление в образце ничем не выделено. Возможна лишь очень слабая анизотропия образца, приводящая к тому, что спонтанная намагниченность ориентирована именно вдоль этого направления.

Если теперь вдоль оси X приложить внешнее поле hx(r) , то под действием этого поля возникнет отличная от нуля намагниченность Mx(r) . Производя фурье-преобразование материального уравнения, получаем

) * Mx(k) = χxx(k)hx(k).

Рассмотрим в этом уравнении переход k → 0 . Очевидно, что в этом предельном случае

где M0 – равновесный магнитный момент образца. Поскольку поворот вектора спонтанной намагниченности не связан с

т. е. из всех возможных состояний с данной энергией отбираются состояния, для которых суммарный спиновый момент ориентирован вдоль оси Z . В частности, можно считать, что операция проектирования, выделяющая Z -направление, состоит в

том, что

ρ0 → Z1 exp −β(H − Siz h)!,

i

где h – бесконечно малый параметр. В этом случае z -компонента полного спина коммутирует с ρ0 , а x - и y -компоненты не коммутируют. Внешнее поле h , каким бы малым оно ни было, придает несколько больший статистический вес состояниям, в которых суммарный спин вдоль оси Z отличен от нуля. В ферромагнитном состоянии этого вполне достаточно, чтобы выстроить все спины параллельно оси Z .

Сингулярность χxx(k) связана именно с нарушенной симметрией (магнитные моменты выстроены вдоль оси Z , хотя гамильтониан системы инвариантен относительно вращений). Именно поэтому поворот результирующего магнитного момента происходит в бесконечно слабом поле h , приложенном вдоль

оси X , что и приводит к сингулярности χxx(k) . При этом, по-

скольку χxx(k) является четной функцией k ( χxx(r) зависит только от | r |), эта особенность имеет вид 1/k2 .

Интересно отметить, что χzz (k) не имеет какой-либо особенности в своем поведении, поскольку увеличение магнитного момента вдоль оси Z при приложении бесконечно малого поля вдоль этой оси также будет бесконечно малым.

Обсуждаемый здесь результат квадратичной сингулярности статической восприимчивости в системах со спонтанно нарушенной симметрией носит название теоремы об 1/k2 – расходимости Боголюбова. В следующем параграфе на качественном