Учебники / Физика конденсированных сред

Решение системы уравнений (6.157), (6.158) позволяет выразить поправки к температурам неравновесных подсистем через корреляционные функции Lij(m) и поглощенную мощность Qs . Мы не будем вычислять корреляционные функции Lij(m) , поскольку это потребовало бы более глубокого обсуждения механизмов рассеяния электронов в проводящих кристаллах, что выходит за рамки настоящего учебного пособия, и запишем решение системы (6.157), (6.158) в общем виде:

Из решения (6.162) видно, что эффект Оверхаузера проявляется в изменении температуры ядерных спинов при закачке Рч -энергии в подсистему S . Полный анализ полученного решения с обсуждением всех возможных режимов реализации эффекта Оверхаузера и оценка численных значений для отклонения эффективных температур от равновесных значений интересны для самостоятельного решения.

Система уравнений (6.162) позволяет найти значения температур неравновесных подсистем S , k , n . Неравновесный химический потенциал можно найти из условия постоянства числа электронов

Sp{N ρ} = Sp{N ρ0, },

где N −оператор числа частиц.

Таким образом, на примере эффекта Оверхаузера мы продемонстрировали возможность построения обобщенных кинетических уравнений и определение параметров, задающих квазиравновесное и неравновесное распределения.

временное поведение M α(r, t) , необходимо еще одно уравнение,

α

связывающее JM α и M (r, t) . Так как имеется тенденция к выравниванию магнитного момента, то такую связь можно попробовать найти, используя феноменологический закон Фика:

В выражении (6.164) средние вычисляются по неравновесному распределению.

Подставляя этот результат в уравнение неразрывности (6.163), получаем замкнутое выражение для компонент плотности магнитного момента системы

которое позволяет найти значение компонент плотности средней намагниченности в произвольный момент времени, если известна начальная плотность намагниченности.

Предполагая, что среда является неограниченной, произведем преобразование Фурье уравнения (6.165) по переменной r и преобразование Лапласа по времени t :

−M α(k, t) = dr M α(r, t) e ikr,

решение которого запишем следующим образом:

404 Глава 6. Метод НСО

α

В этом выражении M (k, 0) – фурье-образ плотности намагниченности в начальный момент времени t = 0 . Подставим по-

∞

α α −Dk2t izt

M (k, z) = dt M (k, 0) e e

0

и, выполняя интегрирование по временному аргументу, получаем

Найденный результат можно интерпретировать следующим образом: процесс диффузии приводит к появлению полюса функ-

z = −iDk2.

Возникновение этой особенности можно трактовать как следствие возникновения в системе коллективных возбуждений, которые принято называть гидродинамическими модами.

Г и д р о д и н а м и ч е с к о й м о д о й принято называть синусоидальную при k → 0 коллективную флуктуацию, затухающую с характерным временным масштабом:

1

τ = Dk2 .

В отличие от распространяющихся мод, имеющих действительную и мнимую части спектра коллективных возбуждений, гидродинамическая мода может иметь лишь мнимую составляющую спектра, однако время жизни возбуждения стремится к бесконечности при k → 0 .

Свяжем коэффициент спиновой диффузии D с корреляционной функцией спинов. Введем корреляционную функцию

Определим функцию S(k, ω) исходя из общих принципов гидродинамического описания системы в предположении, что уравнение диффузии (6.165), определенное для средних, остается справедливым и на операторном уровне:

Умножая справа это уравнение на оператор M β (0, 0) и усредняя по равновесному распределению, получаем уравнение для функции S(r, t) , которая, как отмечалось выше, диагональна по индексам α, β :

Сделанное предположение означает, что спонтанные равновесные флуктуации, описываемые функцией S(r, t) , релаксируют в соответствии с теми же самыми диффузионными уравнения-

ми, что и неравновесные флуктуации величины M (r, t) . Эту гипотезу выдвинул Онсагер еще в 1931 г., и до сих пор не найдено эмпирических фактов, ее опровергающих.

Уравнение (6.176) решается точно так же, как и уравнение

где χ – статическая магнитная восприимчивость системы. По-

этому в пределе малых k справедливо следующее представление:

Этот результат является достаточно важным и может быть

легко проверен экспериментально, поскольку величина S(k, ω) тесно связана со структурным фактором, определяющим рассеяние частиц на флуктуациях магнитного момента. Используя последний результат, можно также определить коэффициент спиновой диффузии D , выражая его через корреляционную функцию операторов магнитного момента в равновесном состоянии. Действительно, используя выражение (6.179), нетрудно заметить, что, выполняя в правильном порядке предельные переходы k → 0 , а затем ω → 0 , получаем

Таким образом, нам удалось выразить коэффициент спиновой диффузии через корреляционную функцию спиновых флуктуаций в равновесном состоянии. Полученный результат можно рассматривать как еще одно подтверждение флуктуа- ционно-диссипационной теоремы в формулировке Кубо.

§ 12. Флуктуационно-диссипационная теорема

Флуктуационно-диссипационная теорема (ФДТ) устанавливает связь корреляционных функций операторов физических величин или соответствующих спектральных функций с мнимой частью обобщенной восприимчивости, которая, как известно, описывает реакцию системы на внешнее возмущение, т. е. является характеристикой диссипативных процессов в системе. Иначе говоря, ФДТ устанавливает, что механизмы релаксации флуктуации динамических переменных в равновесном состоянии и механизмы, определяющие релаксационное поведение систем при наличии внешних воздействий, управляются одними и теми же физическими законами.

Существует несколько вариантов формулировки ФДТ. Наиболее известны формулировки ФДТ Кубо и Каллена – Велтона. Формулировка Кубо по сути сводится к тому, что кинетические характеристики, такие как электропроводность, магнитная восприимчивость и др., могут быть выражены через корреляционные функции операторов динамических величин в равновесном состоянии. С примерами реализации ФДТ в этой форме мы уже неоднократно встречались ранее (см. формулы (2.11), (5.43), (5.84), (6.180)).

Более общим является вариант ФДТ в форме Каллена – Велтона, который был сформулирован ими в 1951 г. как обобщение теоремы Найквиста о шумах в электрических цепях.

Для конкретности будем формулировать ФДТ Каллена – Велтона на примере тензора магнитной восприимчивости χαβ , определяемого соотношением

mα(ω) = χαβ (ω)hβ (ω),

явный вид которого легко может быть получен из формулы (5.80):

)*

Вэтой формуле A B 0 = Sp{A B ρ0}, M α = gμБSα .

Наряду с фурье-образом тензора магнитной восприимчивости определим спектральную интенсивность fαβ (ω) и ее классический аналог gαβ (ω) , сохраняющий свой смысл при переходе к классическому случаю

где

{AB} = 12 (AB + BA),

и найдем взаимосвязь функций χαβ (ω) , fαβ (ω) и gαβ (ω) . Для этого рассмотрим вначале выражение

Учитывая эрмитовость операторов физических величин (см. формулу (5.179)), легко показать, что

) * ) *

[ M β , M α (t1) ] 0 = [ M α , M β (−t1) ] 0.

Подставляя этот результат в выражение (6.184) и производя замену переменных t1 → −t1 , получаем

χβα(ω) = −i ∞ dt1 e−( +iω)t1 ) [ M α , M β (t1) ] *0. (6.185)

0

Сравнивая теперь результаты (6.181),(6.182) и (6.185), получаем взаимосвязь функции спектральной интенсивности fαβ (ω) с компонентами тензора магнитной восприимчивости χαβ (ω)

Полюса подынтегральной функции в выражении (6.187) лежат на действительной оси, поэтому можно сдвинуть контур интегрирования вниз на величину i β . Тогда вместо (6.187) имеем

(6.188) Проверить равенство (6.188) и тем самым возможность сдвига контура интегрирования проще всего, полагая, что нам из-

вестны собственные функции полного гамильтониана H . В этом