Учебники / Физика конденсированных сред

ωs−частота зеемановской прецессии электронного спина. Очевидно, что соотношение (6.143) можно записать в виде

(6.144) Точно так же, как и в случае электропроводности, введем обозначение −iω = z и сделаем замену переменных под знаком интеграла t1 → −t1 . В этих обозначениях выражение (6.144)

можно представить в виде

Функция Θ(t1) , появившаяся в этом выражении, определена в соответствии с формулой (6.94) и для нашего случая имеет вид

Θ(t1) = (S+(t1), S−) +1 − .

(S , S )

Теперь, используя обобщенное уравнение Ланжевена для корреляционной функции Θ(t1) (6.101), имеем

Выполняя преобразования Лапласа в уравнении (6.146) с учетом определений (6.105), получаем

Выражение (6.147) для поперечных компонент тензора магнитной восприимчивости полностью совпадает с результатом, полученным с помощью уравнений Блоха (5.100) , если учесть, что для нашего случая iΩ = −iωs , а функция памяти определяет обратное время релаксации поперечных компонент электронного спина.

§10. Определение неравновесных параметров

вметоде НСО

Наше рассмотрение метода НСО является неполным, поскольку мы не обсудили до сих пор главный вопрос о том, как можно определить неравновесные параметры Fn(t) , которые задают квазиравновесное и неравновесное распределение.

Естественно, проблему отыскания неравновесных параметров можно рассматривать в общем виде, не конкретизируя вид системы. Однако, учитывая ограниченный объем книги, рассмотрим сразу такой физический эффект, который, с одной стороны, является достаточно типичным, а с другой − достаточно простым, чтобы анализ можно было довести до конца.

Остановим свой выбор на эффекте Оверхаузера, который состоит в том, что при насыщении магнитного резонанса на свободных электронах в металлах или полупроводниках происходит усиление сигнала ядерного магнитного резонанса.

Эффект Оверхаузера является типичным эффектом и находит достаточно простое объяснение при использовании в качестве параметров Fn(t) эффективных температур зеемановских подсистем электронов проводимости и ядер.

С физической точки зрения, природа эффекта Оверхаузера весьма проста. Поскольку магнитные подсистемы электронов проводимости и ядер взаимодействуют преимущественно между собой, то их суммарный магнитный момент сохраняется. При насыщении парамагнитного резонанса на электронах

очень велик и составляет в лучшем случае (для ферромагнитных полупроводников) величину порядка 30 %, он позволяет детектировать резонанс по изменению электрического сопротивления.

Следует особо подчеркнуть, что в этом случае речь идет о повышении температуры не всего образца, а лишь кинетических степеней свободы электронов проводимости.

После этого краткого качественного обсуждения перейдем к подробному описанию эффекта Оверхаузера.

Рассмотрим простейший случай, когда неоднородностью электромагнитного СВЧ-поля в объеме образца можно пренебречь. Далее, будем считать, что реализуется достаточно простой случай, когда подсистема длинноволновых фононов, взаимодействующих с электронами, остается в состоянии термодинамического равновесия.

Для описания неравновесной системы методом НСО необходимо задать гамильтониан системы и выбрать набор неравновесных параметров, ее характеризующих. Представим гамильтониан системы в виде

ωn – зеемановская частота прецессии ядерных спинов в ста-

ядерной системы, суммирование ведется по всем ядрам со спи-

396 Глава 6. Метод НСО

взаимодействия, который в представлении вторичного квантования по электронным переменным можно записать в виде

Jq – фурье-образ контактного взаимодействия электронов проводимости с магнитным ядром, xj – координата ядра со спином Ijα .

Наконец, гамильтониан Hep представляет собой гамильтониан электрон-фононного взаимодействия, явный вид которого приведен в главе 4.

Переменное электромагнитное поле с частотой ω и амплитудой h(t) будем считать поляризованным в плоскости, перпен-

дикулярной направлению статического поля H. В этом случае гамильтониан взаимодействия зеемановских степеней свободы электронов проводимости с внешним полем будет совпадать с гамильтонианом HF (t), использованным в предыдущем параграфе. Вводя циркулярные компоненты, запишем гамильтониан HF (t) в виде

Здесь ωs−частота зеемановской прецессии электронного спина в переменном магнитном поле.

Рассмотрим поведение системы электронов проводимости, фононов и ядерных спинов на временах, больших времени установления равновесия внутри каждой из подсистем. В этом случае справедливо описание подсистем в терминах эффективных неравновесных температур.

Запишем оператор энтропии (6.11) для рассматриваемой системы в виде

S(t, 0) = φ(t) + βk(t)(He − ζ(t)N ) + βs(t)(Hs + HF (t)) +

В формуле (6.152) βk(t), βs(t), βn(t) – обратные температуры кинетических, спиновых степеней свободы электронов проводимости и ядерных спинов соответственно; β – обратная равновесная температура; ζ(t) – неравновесный химический потенциал. Рассматриваемая нами схема взаимодействия подсистем кристалла представлена на рис. 33.

Здесь прямоугольниками обозначены выделенные в кристалле подсистемы: S и k – подсистемы спиновых и кинетических степеней свободы электронов проводимости, n – подсистема ядерных спинов, а Т (термостат) – все остальные равновесные степени свободы кристалла. Стрелки обозначают каналы передачи энергии между подсистемами, а фигурная стрелка изображает накачку радиочастотной (Рч) энергии в подсистему S .

Рис. 33. Схема взаимодействия подсистем кристалла в эффекте Оверхаузера

Из приведенной схемы видно, что в принципе может существовать прямой канал передачи энергии из подсистемы n в термостат, но этот процесс мы не будем учитывать. Точно так же и подсистема S может передавать свою энергию в термостат (фононную систему, которая предполагается равновесной) напрямую и в результате электрон-фононного взаимодействия с переворотом спина и участием кинетических степеней свободы кристалла. Хотя прямой канал передачи энергии возможен и соответствующая стрелка изображена на рис. 33, не будем его учитывать из-за чрезвычайной неэффективности. В этом смысле стрелка, соединяющая подсистемы S и T , лишь напоминает

о том, что система электронных спинов может сбрасывать свою энергию в термостат и без участия подсистемы k .

Для построения системы уравнений баланса энергий подсистем S , k , n , которые в нашем случае будут играть роль обобщенных кинетических уравнений (6.8), необходимо записать выражение для НСО.

Воспользуемся интегральным уравнением для НСО (6.115), полученным нами в § 7. Естественно считать амплитуду радиочастотного поля h малой и ограничиться в уравнениях баланса энергии подсистем членами не выше второго порядка по этому параметру. В этом случае интегральное уравнение для НСО можно записать в виде

0

ρ(t, 0) = ρ0(t, 0) − i dt1 exp{ t1} exp{iLt1}LF (t + t1)ρ0,

−∞

ρ(t, 0) = exp{−S(t, 0)}.

Причина, по которой в правой части первого уравнения формулы (6.153) неравновесное распределение заменено равновесным, состоит в том, что отклонение неравновесных параметров от их равновесных значений будет второго порядка малости по взаимодействию с внешним электромагнитным полем. Поскольку сам этот член уже содержит первый порядок малости по полю, то отклонением термодинамических параметров от равновесия в этом члене можно пренебречь.

Второе уравнение в выражении (6.153) преобразуем, используя результат (6.62). Как следует из выражения для энтропии (6.152), термодинамические координаты Pn и термодинамические силы Fn мы выбрали следующим образом: