Учебники / Физика конденсированных сред

является негамильтоновой и определяется лишь частью оператора Гамильтона, из которой исключены с помощью оператора проектирования Q члены, определяющие медленную эволюцию динамических переменных.

Отметим, что произведенное выделение быстро изменяющегося ядра интегральных уравнений (6.101), (6.102) произведено точно. До сих пор не делалось никаких предположений о слабости взаимодействия в системе.

Наконец, обсудим смысл использования «тождественных» преобразований, которые мы выполнили при получении уравнений (6.101), (6.102). Это представляется необходимым сделать уже сейчас, поскольку у читателей наверняка давно созрел простой вопрос: какой смысл заниматься тождественными преобразованиями динамических уравнений, вводя операторы проектирования, поскольку при этом ничего нового получиться не может?

На самом деле это достаточно сложный вопрос, и для ответа на него вновь придется обратиться к проблеме описания систем, демонстрирующих необратимое поведение, которая уже обсуждалась в главе 1 и в настоящей главе.

Представляется разумным несколько упростить задачу, рассмотрев ситуацию марковского предела, которая возникает, если считать, что коррелятор случайных сил (6.103) имеет δ -образную временную зависимость. В случае рассмотрения, например, электропроводности такая ситуация возникает, если характерное время взаимодействия частиц при столкновении много меньше времени между столкновениями (напомним читателю, что кинетическое уравнение Больцмана для случая газа малой плотности также является марковским уравнением).

Подставляя в выражение (6.102) значение Σ(s) = Γδ(s) , получаем уравнение движения оператора в марковском пределе

При записи этого выражения мы выделили действительную и мнимую части

ω = Re Ω + Im Γ; γ = Re Γ + Im Ω.

Смысл уравнения (6.102a) очевиден. Если Γ = 0 , то динамическая величина P (t) осциллирует с характерной частотой ω . Если величина Γ = 0 , то на прецессию накладывается затухание и величина γ имеет смысл обратного времени затухания.

Именно в этом разделении динамического уравнения на слагаемое, описывающее прецессию, и слагаемое, описывающее затухание, и состоит основной смысл использования операторов проектирования. При этом следует заметить, что временная эволюция случайных сил, входящих в функцию памяти, не является гамильтоновой, поскольку она определяется только частью функции Гамильтона ортогональной в некотором смысле набору базисных операторов.

Поскольку в качестве базисных операторов выбираются, как правило, гидродинамические квазиинтегралы движения, то проводимое с помощью операторов проектирования разделение динамического уравнения движения для физической величины P (t) на регулярную и диссипативную составляющие, по существу, реализует все ту же идею выделения двух разных временных масштабов эволюции, которая позволила Н. Н. Боголюбову вывести кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения.

Возникновение затухания в уравнении движения для динамической переменной на квантовом языке можно интерпретировать несколько иначе. Если спектр элементарных возбуждений характеризуется действительным значением энергии или частоты, то элементарное возбуждение хорошо определено и существует в неизменном виде сколь угодно долго. Такая система не является диссипативной. Если же элементарное возбуждение хорошо определить не удается и в спектре элементарных возбуждений есть мнимая часть, то возникает некий аналог соотношения неопределенностей, только теперь это соотношение неопределенностей связано с тем, что выделить подсистему из окружения не удалось, система находится в смешанном состоянии и является частью некоторой другой системы. По этой причине фазовая поверхность постоянной энергии размывается в некий слой толщиной E , и мы не можем точно указать значение энергии системы, а это означает, как указывалось ранее, потерю информации о системе, а следовательно, её необратимое поведение.

Вернемся вновь к дальнейшему анализу уравнений движения, полученных методом проекционных операторов Мори.

Наиболее просто уравнения (6.101), (6.102) выглядят, если, выполнив преобразования Лапласа, записать их для лапласовских образов функций Θ(t) и P (t) . Отсылая читателей за подробностями к специальной литературе (см. [48]), приведем лишь основные соотношения, которые необходимы для выполнения преобразований Лапласа уравнений (6.101), (6.102).

Прямое и обратное преобразования Лапласа функции f (x) определяются выражениями

∞

f (s) = f (x)e−sxdx,

0

C+i∞

f (x) = 1 f (s)esxds. (6.104) 2πi C−i∞

Во второй формуле (6.104) интегрирование ведется вдоль линии на комплексной плоскости s , для которой Re s = C .

Для преобразования уравнения (6.101), (6.102) нам потребуются еще формулы преобразований Лапласа для производной функции f (x) и для свертки двух функций:

x

g(x) = dtf1(t)f2(x − t).

0

Приведем эти формулы без доказательства [48]:

∞

dxe−sxf (x) = sf (s) − f (0),

0

Теперь можно записать и результат, который получается, если применить соотношения (6.104), (6.105) и произвести пре-

в простейших случаях для вычисления электропроводности и магнитной восприимчивости системы свободных электронов в проводящих кристаллах.

Совершенно аналогично можно в принципе найти и полюса функций Грина (6.78) и (6.79), определяющие спектр гидродинамических возбуждений в системе, хотя здесь, как уже отмечалось, предварительно необходимо перейти к нормальным координатам, в которых матричная функция Грина становится диагональной.

§ 7. Использование проекционных операторов Мори для вычисления электропроводности

Формальное выражение для электропроводности, известное как формула Кубо [36], можно получить двумя способами. Вопервых, электропроводность может быть определена как отклик системы на внешнее высокочастотное электрическое поле. При другом способе определения электропроводность связывает между собой флуктуации дрейфового импульса электронной системы и флуктуации внутреннего электрического поля. В нашем случае оба этих подхода приводят к одинаковым результатам, и мы легко можем это продемонстрировать, используя результаты настоящей главы.

Получим вначале выражение для электропроводности в виде отклика системы на внешнее электрическое поле. Интересующую нас формулу можно было бы получить совсем просто, не привлекая метод НСО, а ограничиваясь теорией линейной реакции Кубо на внешнее механическое возмущение (см. § 3). Однако, имея в виду в дальнейшем рассмотрение более сложного случая – линейной реакции неравновесной системы на слабое измерительное поле, мы используем и для этой простой задачи метод НСО.

Рассмотрим неравновесную систему, описываемую гамильтонианом H, на которую действует возмущение, задаваемое гамильтонианом Hv . Явный вид этого гамильтониана будет определен позднее. В частности, нас будет интересовать случай, когда возмущение связано со взаимодействием с внешним электрическим или магнитным полем.

§ 7. Вычисление электропроводности методом Мори 379

Этот результат получается простым интегрированием по ча-

запишем интегральное уравнение для НСО в окончательном виде

0

ρ(t, 0) = ρ0(t, 0) − dt1 exp( t1) exp(iLt1)iLv ρ(t + t1). (6.115)

−∞

Распределение ρ0(t, 0) получается из квазиравновесного распределения ρ(t, 0) в результате эволюции с гамильтонианом H свободной от возмущения системы, в то время как распределение ρ(t) – в результате эволюции с полным гамильтонианом H + Hv . Следует отметить, что распределения не являются на самом деле независимыми, поскольку ρ0(t, 0) зависит от точных значений функций Fn(t) , которые должны определяться из обобщенных кинетических уравнений (6.8).

Теперь можно вернуться к задаче вычисления электропроводности. Будем считать, что до включения электрического поля система находилась в равновесии и ρ0(t, 0) равно ρ0 – рав-

новесному распределению Гиббса. Кроме того, ограничимся линейным приближением по электрическому полю при вычислении отклика системы и заменим в интеграле (6.115) ρ(t, 0) на ρ0 . Далее в качестве оператора Hv возьмем оператор взаимодействия электронов с однородным внешним электрическим полем E(t) :

HF (t) = −e XjαEα(t). (6.116)

j

Суммирование по j ведется по координатам Xj всех электронов, индекс α означает проекцию на оси декартовой системы

координат. Найдем среднее значение электрического тока Jα(t) в системе, вычислив среднее:

где pj − импульс j -го электрона. Выполняя преобразование Фурье уравнения (6.117) и учитывая феноменологическое определение тензора электропроводности

Jα(ω) = σαβ (ω)Eβ (ω),

получаем хорошо известное выражение для электропроводности:

Прямое вычисление электропроводности в конечном порядке теории возмущения не представляется возможным, поскольку в этом случае получается физически неразумный результат. Действительно, проводимость системы на нулевой частоте должна быть обратно пропорциональна эффективной константе взаимодействия электронов с рассеивателями, что получается только в том случае, если отсуммировать бесконечный ряд (например бесконечно убывающую геометрическую прогрессию). По этой причине для вычисления электропроводности по формуле (6.118) обычно используют метод массового оператора.

Покажем, что точно такой же результат получается и при использовании метода операторов проектирования Мори. Преобразуем вначале выражение (6.118), используя формулу Кубо (5.60):