19.Стійкість споруд

Добавил:

Punk0tta bettaalpha553@gmail.com Discord @punk0tta#0252 TG punk0tta Inst v_is_vsevolod Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет строительства и архитектуры

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

BUDMECH.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2021

Размер:

26.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

О П А

			.	тійкіст		споруд

			Зміст глави
. . Основні положенн
. .	етоди ви наченн критични				сил
. .	Основні співвідношенн		дл	стиснено- і нуто о стержн
19.4.	ор ула Ейлера
. .	тійкіст ра
. .	о ра унок ра	на стійкіст		а	етодо	сил
. .	о ра унок ра	на стійкіст		етодо пере і ен
. . Використанн си етрі
19.9. Приклад ро ра унку ра			и на стійкіст			а етодо пере і ен
19.10. Приклад ро ра унку на стійкіст си						етрично ра и

19.1.сновні положення

сі удівел ні споруди та

еле енти повинні відповідати не тіл ки у ова

іцності, а й

у ова стійкості. Під стійкістю розуміють властивість споруди або її елементів зберігати

відповідне зовнішньому навантаженню положення і форму деформованого стану, чинити опір стороннім діям і самостійно відновлювати своє первісне положення або форму рівноваги, якщо сторонні дії щезають.


Під дією овнішні навантажен			ео етрично не			інювані систе		и повинні пере увати у стані
стійкої рівнова и.		е о начає, о виведена		ки	ис	причина и		початково о стану рівнова и
систе	а повертаєт с	до н о о післ	усуненн	ци	причин.		івнова а вважаєт с нестійкою, к о
при	уд - кій сторонній ді споруда пере одит				до ново		фор и рівнова и. Формою рівноваги

називають деформований стан пружної системи, якому відповідають внутрішні сили, що

задовольняють умови рівноваги. алежно від величини сторонні

урюючи дій ро рі н ют

19. тій і т

пор

стійкіст

ало

у , коли ці ді

ав одно

алі, і стійкіст

у велико

у , коли

уренн

алі, але

скінченні.

тійкіст

стану рівнова и споруди а о

еле

ентів дл

дано с е

и навантаженн

алежит

від

величини діючи

сил.

кожно

у конкретно у випадку

ожна ви начити навантаженн ,

ко о

початкова фор

а рівнова и ви вл єт с

нестійкою і стає

ожливи

інший стан рівнова и. Пере ід

систе и і

стійко рівнова и у нестійку на иваєт с

втратою стійкості,

раниц

пере оду

критичним станом систе и, а відповідні навантаженн

- критичними.

о рі н ют

стійкіст

положенн

і стійкіст

фор

рівнова и дефор овано о стану.

Втрата

стійкості положення

арактери уєт с

не

ожливістю споруди в ціло

ері ати своє початкове

положенн

внаслідок порушенн

рівнова и

іж

овнішні

и сила и. При ц о у споруда

ушена

інити своє початкове положенн .

рис. .

о ражено перері

підпірно

стіни

споруди,

ка

перешкоджає

о валенню

л но о укосу.

а стіну діют

оковий тиск

рунту E і власна ва а стіни G. Боковий тиск на-

а аєт с

перекинути стіну стосовно точки .

ент перекиданн

пер

ила власно

ва и

апо і ає перекиданню,

утворюючи утри

уючий

о ент

утр=G b.

стійкості стіни від пере-

киданн

нео

ідно,

о и дотри

увалас

ова

утр

пер.

противно у ра і стіна повернет с

відносно точки

і ай е нове положенн ,

ке,

оча і

оже

ути положенн

рівнова и,

уде ти

не

енш рівно начно

руйнуванню.

			ис.19.1
івніст утр		пер вл є со ою у	ову нестійко	рівнова и. Буд -	ке від иленн	навантаженн
а о ро	ірів стіни від проектни величин оже при вести до то о,				о рівніст уде порушено, і
стіна перекинет с , то то від удет с втрата стійкості положенн .
л	ілюстраці	стійкості положенн	рівнова и	ожна ро л нути ро ташуванн		кул ки на дні
у нуто сфери, на вершині опукло сфери та на ори онтал ній пло ині рис. . .

19. тій і т пор

ис. .

першо

у випадку

рис.

,а при

уд - ко

ало у від иленню кул ки від ви ідно о

положенн

вона повернет с

до

н о о,

тіл ки

причина

від иленн

уде усунута. Отже,

положенн

кул ки на дні у нуто

сфери є стійки

. При ц о у очевидно,

о потенціал на енер і

ви ідно о стану рівнова и

уде

еншою,

ніж потенціал на енер і

уд -

ко о від илено о стану.

аки

чино

, стійкій рівнова і відповідає

іні

потенціал но енер і

систе и (

min ).

дру о

випадку

рис.

. ,

уд - ко о

ало о

від иленн

кул ки

від

ви ідно о

положенн

вона са остійно не повернет с

до

н о о післ

усуненн

причини від иленн , а

продовжит

ру

до ново о стану стійкості.

Отже,

ро ташуванн

кул ки

на вершині сфери є

нестійки .

Очевидно,

о нестійко

у станові систе

и відповідає

акси

потенціал но енер і

(

max ).

ретій випадок рис. .

,в

ілюструє, так вану,

айдужу рівнова у,

коли

кул ка

на

пло

ині

післ

енн

не від илит с

далі і не повернет с

до ви ідно о положенн ,

алишит с

на

ісці. Потенціал на енер і

при ц о

у не

інюєт с

(

const ).

Порушенн

рівнова и по іж

овнішні

и і внутрішні и сила и

арактери ує втрату стійкості

фор и рівнова и в дефор овано у стані. При ц о у становл т с

ожливи и нові фор и

рівнова и,

кі досі

ули відсутні, і рівнова а відновлюєт с ,

але вже в новій фор

і.

Виникає

ро алуженн

іфуркаці

теоретично

ожливи

фор

рівнова и,

одна

ки

стає нестійкою.

аку втрату стійкості на ивают втратою стійкості першого роду а о втратою стійкості

Ейлеро .

ожна ска ати,

о втрата

стійкості

першо о роду пол

ає

по ві

кісно нови

дефор ацій при кіл кісно

іл шенні навантаженн .

о втрати стійкості першо о роду належит

втрата стійкості централ но о стисненн .

ак,

стержен , шарнірно

акріплений

о о

сторін і навантажений силою P,

о спр

ована в довж

йо о осі рис.

. ,а , до настанн

втрати стійкості

а нає тіл ки по довжні дефор

аці .

ана фор а

дефор овано о стану є стійкою доти,

поки величина сили P не дос

не певно о критично о

наченн . Післ

ц о о стают

ожливи

и дві фор

и рівнова и

пр

олінійна і і нута

рис. .

, .

аніше існуюча пр

олінійна фор

а рівнова и стає нестійкою і

уд - ко

овнішн о випад-

ково

ді

інюєт с

і нутою фор

ою

рис.

. ,в

рівнова и, то то ра о

по довжні

и дефор-

аці

и,

кі

існували до втрати стійкості, виникают

нові дефор

аці

ину. Причина и,

кі

19. тій і т		пор									4
у овили	іну фор		дефор	аці при дос ненні силою P критично о				наченн , ожут			ути к
овнішні фактори,			о пов	ані і	додаткови	и силови	и ді и, так і внутрішні			порушенн
ео етрі	стержн ,		неоднорідніст		атеріалу	то о,	кі авжди	ают	ісце	в	реал ни
конструкці	).

			ис. .
Анало ічна картина			ожлива також при втраті стійкості стержневи			систе	ра	, фер .	а
рис. .	о ражено втрату стійкості першо о роду в ра			і, ку авантажено ос ови и стискуючи					и
сила и.	ут також	до	настанн втрати стійкості у	стержн	ают	ісце	лише	по довжні
дефор аці , до ки		при дос ненні сила и критични		начен додают с		дефор	аці	ину.

			ис. .
Втрату стійкості си етрично		фор и дефор		аці	о ражено на рис. . .				вошарнірна арка під
дією рівно ірно ро поділено о навантаженн				q дефор		уєт с	си	етрично	рис. . ,а . Однак,
коли інтенсивніст	навантаженн	q дос	ає де ко		критично		величини, си		етрична фор а де-
фор аці стає нестійкою і а		уд - ки	додаткови			впливів		інюєт с	кососи етричною
дефор ацією рис.	. , .

19. тій і т пор

ис. .

а рис. . о ражено втрату стійкості плоско фор и ину.

						ис. .
онсол на		алка, один ро	ір	ко	тов	ина на а ато	енше дво	інши	ро	ірів,	пере уває
під	дією	осереджено	сили P,		ка	ро ташована в	пло ині	си етрі	перері у.		Первісна
дефор	аці	ин у пло ині		навантаженн . При дос			ненні навантаженн			P критично о

наченн

дана фор

а дефор аці стає нестійкою і до

ину в пло

ині си етрі

перері у додаєт с

кісно нова дефор

аці

крученн

ино

по а пло

иною навантаженн .

лід

вернути ува у на те,

о втрата стійкості фор и рівнова и в дефор овано

у стані є

арактерною дл

єктів, у

ки

оча

один і

тр о

ви

ірів є на а ато

енши

порівн но

дво

а інши

и.

Втрата стійкості дру о о роду

арактери уєт с

чи

али

ро витко

попередні

дефор

ацій

виникненн

дефор

ацій

ново о

типу.

а тако

втрати стійкості

опір

систе

ростанню

дефор ацій

післ

дос

ненн

акси у

при

подал шо

ростанні дефор ацій

починає

еншуватис . Втрата стійкості дру о о роду пов

ана а о

велики

и пружни и дефор аці

и,

кі не ожливі дл

атеріалів,

о використовуют с

на практиці,

а о

ро отою споруди частково

чи повністю

ежа и пружності.

19. тій і т	пор					6
19.2. Методи визначення критичних сил
етою ро ра унку		споруд на стійкіст	першо о роду є	ви наченн критични		величин
навантаженн , а	ки	систе а втрачає стійкіст , то то пере одит			до ново о, кісно від інно о
від первісно о, дефор		овано о стану. Оскіл ки цей стан повинен			ути рівноважни	, до н о о
ожут ути астосовані рівн нн статики і			етоди удівел но	е аніки. Проте в ц о		у випадку

нео ідно досліджувати рівнова у систе

и вже післ втрати нею стійкості і вести ро ра унок а

дефор ованою с е ою.

ана о ставина начно ускладнює ро ра унки і то

у дл

ро в

анн

адачі стійкості а о спро

уют

с е

у споруди, а о

астосовуют

на лижені

етоди аналі у.

про

енн

ро ра унково с е

и провадит с ,

к правило, а ра унок

еншенн

числа ступнів

віл ності

споруди,

ке

ви начає

кіл кіст

ожливи

фор

дефор

аці

при втраті систе

ою

стійкості.

л реал ни

споруд,

кі

вл ют

со ою пружні систе

и,

кіл кіст

ступнів віл ності

становит

нескінченніст .

кінчену кіл кіст

ступнів віл ності

ожут

ати

систе

и,

кі

складают с

а солютно жорстки

еле

ентів,

о поєднуют с по

іж со ою скінчени

число

пружні в

ей. ак, систе а,

о складаєт с

чотир о

а солютно жорстки

еле

ентів AC, CD,

DE та EB

рис.

,а , кі поєднуют с

а допо

о ою пружні

шарнірів C, D, E,

ає три ступн

віл ності.

ис. 9.7

исте у

ожна ро

л дати

к спро

ену с е у пружно

алки

рис.

.7, ).

а від іну від

ви ідно с е

и ц

спро

ена

одел оже

ати лише три фор

и втрати стійкості і відповідно три

критични

наченн

овнішн о

сили.

о ро ра унок пружно

систе

нескінченно велики

число

ступнів

віл ності

потре ує

ро в

анн

диференціал ни

рівн н ,

то

ро ра унок

спро

ено с е и

ро в

анн

ал е ра чни рівн н .

практични

цілей достатн о о числити лише одну –

іні

ал ну величину критично о

навантаженн , оскіл ки втрата стійкості,

ка йо

у відповідає,

при веде до руйнуванн

споруди і,

отже, всі інші критичні величини навантаженн

ают

суто теоретичне

наченн .

снуют

три

основни класични

етоди

ви наченн критични

навантажен

статичний,

енер етичний і дина

ічний.

статичному методі пружна систе

а ро

л даєт с к така,

на одит с в стані рівнова и,

кий відрі н єт с

від ви ідно о стану на вністю нескінченно

али

пере і

ен ,

кі

у овлюют

19. тій і т

пор

новий,

від інний від первісно о стан рівнова и. При ц о

у ви ідній систе

і надаєт с

від илена

фор

рівнова и,

ка

очікуєт с

під

час

втрати стійкості.

адалі

о числюют с

наченн

овнішні

навантажен ,

датні утри

ати систе

у в новій фор

і рівнова и.

і наченн

ерут

а критичні.

адача ви наченн

критично о навантаженн

при водит

до о численн

критични

сил

рівн нн ,

ке

ожна

аписати у ви л ді детер

інанта

a11 b11 P р

a12 b12 P р

b1 P р

a21 b21 P р

a22 b22 P р

P р

(19.1)

an1 bn1 P р

a 2 b 2 P р

b P р

Еле

енти aik

bik

детер інанта

алежат

від пружні

властивостей і

ео етрі

систе

и.

а ал но

у випадку Pкр

не є

ножнико

дл

еле ента bik , а в одит

до ар у

енту трансцендентно

функці .

Енер етичний

етод

а уєт с

на аналі і повно

потенціал но

енер і

систе

и П у від илено

рівноважно у стані,

ко о повна потенціал на енер і

прий

ає екстре ал ні наченн . В ра і

систе и

n ступн

и віл ності це виражаєт с

алежност

0 ,

(19.2)

де 1, 2 , , n – пара

етри,

кі ви начают

від илений стан.

і ж са і рівн нн

ожна

одержати,

астосувати

принцип

ожливи

ро іт

до

дефор

овано о стану систе

и. В ц о

у випадку дл систе

n ступн

и віл ності складаєт с

рівн н

ожливи

ро іт на n пере і

енн

кі адают с

приро

енн

и кожно о

пара

етрів,

о ви начают

положенн

систе

и.

ина

ічний

етод

а уєт с

на ро

л ді коливан

систе

, кі

авантажено ос ови

и сила

и, і

на ви наченні величини ци

сил,

при дос

ненні

ко

овнішнє

удженн

веде до нео ежено о

ростанн

коливан

прот

часу.

консервативни

систе

, то то систе

, в ки ро ота

овнішні

сил не

алежит

від шл

у,

кий про од т

сили при пере оді від початково о до кінцево о стану, теоретично всі три

етоди

дают

один і той са

ий ре ул тат. Проте,

оскіл ки енер етичний

етод використовуєт с

дл

на лижено о ро в

анн

адач стійкості,

коли нео

ідно

адаватис фор ою пружно ліні , він,

правило, дає де о ави ені наченн

критични сил.

ослідженн

неконсервативни

систе

слід

провадити дина

ічни

етодо .

19. тій і т		пор	8
Приклад	19.1.	Ви начити критичне навантаженн систе и рис. . ,а	а допо о ою
статично о	етоду.

ис. .

исте а складаєт с

тр о

а солютно жорстки

ланок,

кі шарнірно поєднані

іж со ою.

Пружні шарнірно-ру о і

опори

C і

вл ют

со ою

пружини

коефіцієнта и

жорсткості

kC = kD = k. Шукати е

о наченн

сили, а ко ,

крі

пр

олінійно о положенн

рівнова и,

ожливе від илене

рівноважене положенн систе

и.

исте а,

о ро

л даєт с ,

ає два ступн

віл ності.

е випливає

то о,

о пере і

енн

уд -

ко

точки

уде

ви начено,

удут

відо

два

пара етри

вертикал ні

пере

енн

yC і yD шарнірів C і D.

ада

о систе і очікуваний від илений стан рівнова и

рис.

. ,

. При ц о

у в пружина

виникают

реакці ,

кі

спр

овані

протилежний по

відношенню

до пере і

ен

ік і

дорівнюют

kyC ;

kyD .

еакці ідеал ни опор ви начают с у ов рівнова и у від илено у стані

19. тій і т пор

M		0,	R		k	y		2y		;
	A		B		3	C			D
M	B	0,	R	A	k	y	D	2y .
	B			A	3		D		C
					3
клавши рівн нн , о виражают		дорівнюванн			нулю			о ентів у шарніра C і D від илено о

стану, дістане о

M лів

2ak

ak y

прав

2ak

M D1

P yD

рештою одержи о систе у дво

однорідни

ал е ра чни

рівн н , тривіал ний ро в

ок

ки yC = yD

відповідає не від иленій фор і рівнова и.

Від

інний від нул ро в ок, кий

відповідає від илено

у стану рівнова и,

є ожливи

лише у випадку дорівнюванн

нулю детер-

інанта

атриці коефіцієнтів при невідо

2ak

ане рівн нн

ає два ро в

ки

ak ,

ak.

Отже,

систе а

дво

ступн

віл ності

ає

два

критични

наченн

овнішн о о

навантаженн .

л ви наченн

співвідношенн

іж пара

етра и,

арактери ує втрату стійкості, то то дл

ви наченн фор

втрати стійкості,

нео

ідно почер ово підставл ти ро в

ки у ви ідну систе

рівн н .

лід

від

ітити,

о дорівнюванн

нулю детер

інанта коефіцієнтів систе

и рівн н

свідченн

н о

лінійно

алежності.

у одне

рівн н

ожна відкинути. Відкине о,

наприклад, перше рівн нн . Підставл ючи P

ak 3 в дру е рівн нн , одержи

2ak

відки yC =

yD.

ана фор

а втрати стійкості о ражена на рис.

. ,в.

19. тій і т

пор

о підставити в те са е рівн нн

величину P

ak , одержи

о yC = yD,

о відповідає

дру ій фор і втрати стійкості рис.

. , .

Приклад 19.2. Ви начити енер етични

етодо

критичне навантаженн

дл

систе

и,

ка

складаєт с

тр о

а солютно жорстки

ланок,

о поєднані пружни

и шарніра

рис. .

,а).

Повна потенціал на енер і систе и становити е

де П

повна потенціал на енер і ,

потенціал на енер і дефор

аці , ка дорівнює ро оті внутрішні

сил,

пере

і енн

точки прикладенн

стискаючо сили P.

о ота внутрішні

сил

реакцій в пружина

yC2

yD2 .

Повне

ори онтал не

пере і

енн

опори

ожна

представити

су

у пере і

ен

від

поворотів кожно ланки окре о

DB .

Пере і

енн

AC при повороті ланки AC у

овлено пере і енн

рис. . .

ис.19.9

Оскіл ки пере і енн вважают с нескінченно али и, ожна прийн ти

	AC	a 1 cos a 2sin2 .
	AC	2
		2

Внаслідок али ни дефор ацій ожна аписати

ео етрични іркуван

a 2	2	a	2	a sin2 .
	2	2		2

sin yaC .

19. тій і т

пор

оді

yC2

2a.

Анало ічно

ожна

аписати

( y

D .

Повна потенціал на енер і

систе

(y2

y2 )

(y2

y y

y2 ).

ови екстре ал ності повно потенціал но

енер і

2P)y

P y

( k

2P )y

Пере і

енн

і yD удут

від інні від нул ,

о нулю дорівнювати

е детер

інант систе

рівн н

о в

авши дане рівн нн , дістане

ak,

о повністю і аєт с

ро в

ко ,

кий

уло отри

ано

а статични

етодо .

Приклад 19.3. Ви начити критичну

силу P

дл двоопорно

алки,

ка ає

про ін l,

жорсткіст

на

ин

рис. . .

ис.19.10

Балка к пружний стержен ає нескінченну кіл кіст ступнів віл ності. л ви наченн критично величини овнішн о сили астосує о статичний етод.

19. тій і т

пор

Під дією прикладено

в довж осі стискаючо сили

алка на уває по довжні

дефор

ацій.

ада о систе

і нову очікувану фор у рівнова и,

ка ви начати

е втрату стійкості

алки.

поперечний

ин,

кий

арактери уєт с про ина

и осі алки, нескінченно

али

и, порівн но

ро іра

и, і ро л не о рівнова у

алки у від илено

у стані.

ов рівнова и

инал ний

о ент

в перері і

k1 виражаєт с

чере

про ини

алки

алежністю

EI y .

іншо о

оку,

инал ний

ент

перері і

k1,

о числений

а вичайни

и правила

и,

становит

P y .

Прирівн вши

величини

инал ни

ентів

ає

о диференціал не рівн нн

ину

дефор овано

у стані

алки

EIy

а о

ут по начено

відки випливає,

P .

иференціал не рівн нн

ину

алки в дефор

овано

у стані

ає

а ал ний ро в

ок

y x

C sin x

cos x .

Постійні інте руванн

уде

о шукати

ранични

ов адачі

на о о

кінц

алки про ини

дорівнюют нулю.

Отже при x=0

y 0

0 .

о x = l, то y l

sin l

19. тій і т

пор

останн о

ови

випливає, о

о в

протилежно

у випадку

функці

про инів

то то про инів

не

існує

і,

отже,

алка не

втрачає стійкіст .

аки

чино

втрата

стійкості

ожлива лише

а у ови

sin

0 .

ожливо,

о співвідношенн

є кратни

k , де k

0,1, 2, 3, ...

відси

k2 2EI .

Величина k не

оже дорівнювати нулю, о в ц о

у випадку

дорівнювати

е нулю критична

сила,

о не

ожливо.

отри

анн

іні ал но

величини критично сили

решти

начен

ві

о най

еншу k=1. В ре ул таті

ає

Pр

2EI

Приклад 19.4. Ви начити критичну силу P

дл

двоопорно

алки,

ка

ає

про ін

жорсткіст

на

ин

EI (рис. .

) енер етични

етодо .

ада о систе і нову очікувану фор

у рівнова и,

ка ви начати е втрату стійкості

алки

рис. . ,а .

е поперечний

ин,

кий

арактери уєт с нескінченно

али

и про ина

и осі

алки і ро

л не о повну потенціал ну енер ію

алки у від илено

у стані.

ис. .

19. тій і т пор

Повна потенціал на енер і систе и становити е

U P ,

де П повна потенціал на енер і ,

U потенціал на енер і дефор аці , ка дорівнює ро оті внутрішні сил

UEI

y 2 dx .

ут

ори онтал не пере і

енн

опори B (точки прикладенн

стискаючо

сили P), ке

у овлене

ино

алки. л

йо о ви наченн

ро

л не

о нескінченно алий еле

ент ab

алки

рис. . , , кий

ає довжину dx. О числи

о величину d

арактери ує

іну проекці

довжини еле ента на лінію ді сили P.

ео

етрични

іркуван

а начена величина рі ниці відрі ків ab та bb2:

dxcos

dx 1

cos

2sin

2 .

наслідок то о,

о дефор аці від илено о стану вважают с

нескінченно

али и,

ожна

вважати,

sin2

1 2

1 sin2

2 .

ре ул таті

ожна

аписати

2 .

Повне пере

енн

опори B найде

о виконавши інте руванн

1 l

dx .

аки

чино

повна потенціал на енер і

систе

и на уває ви л ду

l	2	dx	P l		2	dx .
y		dx	2	y		dx .
0			2	0

Отже величина повно		потенціал но енер і			е посередн о	алежит від рівн нн криво , а
кою	і нет с стержен при втраті стійкості.			л	ви наченн величини критично		сили рівн нн
тре а	адаватис . івн нн	ає	адовол н ти	ранични у ова .		и іл ш вдало	адано рівн нн
криво , ти точніший ре ул тат			уде одержано в ре ул таті ро ра унку.

19. тій і т

пор

Ві

е о рівн нн

у ви л ді синусо ди

f sin x

ке адовол н є ранични

у ова

на о о

кінц

алки.

ут f де кий довіл ний пара

етр.

Підстави

о першу та дру у по ідні о рано

функці

до вира у повно потенціал но

енер і

дефор аці . В ре ул таті отри ає о потенціал ну енер ію

к функцію неви начено о пара

етра f:

EI f 2 4

f 2 2 .

овою

іні у

у потенціал но енер і є рівніст нулю першо по ідно

0 .

Оскіл ки пара

етр f повинен

ути від

інни

від нул , прирівн є о до нул вира

в дужка .

відси на оди

о критичну величину сили

Pр

2EI

авд ки

вдало

ви ору функці

про инів,

ре ул тат,

отри аний

енер етични

етодо ,

і аєт с

ре ул тато

статично о

етоду.

Приклад 19.5. Ви начити критичну силу

P дл

нескінченно жорстко о стержн , кий

приєднуєт с

до основи

а допо о ою шарніра A і пружини в точці B.

еакцію пружини

уде о

вважати

ори онтал ною і пропорційною до

видовженн , то то P = ky, де k

жорсткіст

пружини.

ро в

анн

адачі дина

ічни

етодо

овно введе о

асу, ва а

ко

дорівнює

силі P рис.

,а .

ис. .

19. тій і т

пор

астота віл ни

коливан

m .

ада о стержню очікувану фор у втрати стійкості

рис.

, .

л ви наченн

пере

і енн 11

прикладе о до аси одиничну ори онтал ну силу PB = .

ова рівнова и

рис.

. ,в

1 l

0 ,

відки

астота віл ни

коливан

становити

P .

к о P < kl

рівнова а

уде стійкою,

наченн

P = kl відповідати

е критично

у стану, в

противно у ра і, то то коли P >k l , йти

ет с

про нестійку рівнова у. Отже, P р

k l .

19.3.сновні співвідношення для стиснено-зігнутого стержня

При втраті стійкості першо о роду централ но-стиснутий стержен

викривл єт с і пере одит

до ново о напружено-дефор овано о стану

стисненн

і ино .

дослідженн

стійкості

стержн

нео

ідно ро л нути йо о рівнова у в ново у напружено-дефор овано

у стані, то то

провести ро ра унок

а дефор ованою с е ою.

іж

усилл

и,

кі ви начают с а недефор ованою і дефор

ованою с е

и,

ожут

ути

встановлені

алежності. При ро ра унку а недефор

ованою с е ою по довжн

сила N вважаєт -

с спр

ованою в довж первісно

осі стержн , поперечна Q

перпендикул рно до ціє осі, а

инал ний

ент M о числюют

відносно точки перетину первісно осі

поперечни

перері о .

При

ро ра унку

а дефор ованою с е ою істинну

по довжню

силу,

спр

ована

по

дотичній до

і нуто

осі стержн ,

по начают

N s

і на ивают

нормальною силою.

илу,

ка

спр ована

по

нор

алі до дотично , на ивают

перерізуючою і

по начают

QS.

ійсний

инал ний

ент,

кий ерет с

стосовно пере і

ено

внаслідок дефор

аці

точки осі стержн ,

по начают ,

авжди, літерою M.

19. тій і т	пор			17
а рис. .	, та .	,в	о ражено перері стержн	в дефор овано у стані а припу енн , о
до дефор аці стержен		ув	пр олінійни , а йо о віс	ула ори онтал ною рис. . ,а).

ис.

.13

оловний вектор внутрішні

усил

R в ц о у перері і

ожна ро класти на дві складові,

ки

ожут

ути а о поперечна Q і по довжн

N сили, кі

вл ют со ою проекці на осі,

паралел ні і перпендикул рні відносно осі стержн

до дефор аці

рис.

. ,

, а о нор ал на

N s

перері уюча

сили,

спр

овані

відповідно

в довж

дефор

овано

осі стержн

перпендикул рно до не

рис. .

,в .

порівн нн

рис. .

, та рис. .

,в очевидно,

Qcos

N sin

(19.3)

N s

Qsin

N cos

Припускаєт с ,

о дефор аці алі і то

cos

sin

акож припускаєт с ,

о по довжн

сила на а ато

іл ша

а поперечну

Q , отже

Q N ;

(19.4)

N s

19. тій і т

пор

аки

чино

ожна

вважати,

нор

ал на

сила

дефор

овано

у стані

і аєт с

по довжн ою силою,

о о числена

а первісною недефор

ованою с е

ою.

одержанн

диференціал но о рівн нн рівнова и стиснено- і нуто о стержн

нео

ідно

ро л нути рівнова у йо о нескінченно

ало о еле

ента

рис.

. ,

івн нн

рівнова и

Fx = 0

виконуєт с

тотожно.

рівн нн

випливає,

о dQ = 0.

нарешті

рівн нн

о ентів, складено о стосовно право о кінц

нескінченно ало о еле

ента,

ає о

(19.5)

а о

вши до ува и перше і співвідношен

19.4),

ке встановлює

ок

іж перері уючи

и QS

і поперечни

и сила и Q,

до оди

о висновку,

шо при ро ра унку

а дефор ованою с е ою

ає

ісце

ок

іж

инал ни и

ента

и та перері уючи

и сила

Qs .

(19.6)

о продиференціювати вира

ура уванн ,

о dQ dx

0 , то дістане

d 2M

d 2 y

(19.7)

dx2

Вважаючи,

критично

стані пере

енн

нескінченно

алі,

ожна

використати

на лижене диференціал не рівн нн

і нуто осі стержн

у ви л ді

EIy

M .

(19.8)

Підставивши рівн нн

.8) до вира у (19.7

інивши

наки на протилежні, одержи о

d 2

(EIy

)

d 2 y

(19.9)

dx2

о стержен

ає постійний поперечний перері , то

EIyIV

(19.10)

а о

19. тій і т пор

yIV

(19.11)

де по начено

(19.12)

а ал ний ро в

ок однорідно о рівн нн

.11

оже ути представлено у ви л ді

C sin

cos

(19.13)

3 L

де C1,C2 ,C3 ,C4

довіл ні константи,

алежат

від

ранични

ов.

ути

повороту

перері ів, инал ні

о енти та перері уючі сили ви начают с

співвідношен

C1 cos x

C2 sin x

;

(19.14)

EI y

C N sin x

N cos x ;

(19.15)

cos

sin

;

(19.16)

C N .

(19.17)

3 L

овіл ні константи інте руванн

ожут

ути

виражені

чере

пере

енн

усилл на

початку координат, то то чере початкові пара етри y0, 0,M0,Q0

рис. . .

			ис.19.14
ак, к о покласти у рівн нн (19.13)			(19.17) координату x = , дістане о співвідношенн
y0		C2	C4 ; M0		C2 N;
		C1	C3 ;	Q	C	N	,
	0	L	L	0	3	L

19. тій і т

пор

відки ви начают с

довіл ні константи

L Q

;

Q0L

;

0 N

Підставивши

до

фор ул (19.13)

(19.17)

наченн констант

дістане о фор

ули

етоду

початкови

пара

етрів дл

стиснено-

і нуто о стержн

Lsin x

cos x

Q0L

sin x

;

(19.18)

cos x

M0 sin x

cos x

;

(19.19)

NLsin x

cos x

Q Lsin x ;

(19.20)

Ncos x

M0 sin x

Q cos x .

(19.21)

фор

ул

етоду початкови

пара етрів випливає,

о дл

стиснено- і нуто о пр

олінійно о

стержн

поперечні силові і дефор аційні фактори підкор ют с

принципу суперпо иці

а у

ов

ереженн

іни

наченн

по довжн о

сили

ка

в одит

до

фор

ул

під

нако

три оно

етрични

функцій

ей принцип

алишаєт с

чинни

не алежно від то о,

чи

уде стержен

ати постійний а о

інний по довжині перері ,

чи

уде по довжн

сила по

довжині стержн

постійною а о

інною,

нео

ідно тіл ки,

о и при накладанні вантажни і

дефор аційни

дій

окре

доданки

ви началис при

тій

са

ій епюрі

по довжні

сил.

лід

а начити,

о цей принцип

ає силу лише дл

али

дефор

ацій,

при

ки

ожна вважати

не

інни

и плечі поперечни

силови

факторів.

Приклад 19.6. Ви начити критичне

наченн

стискаючо

сили

дл

стержн ,

кий

ає на

одно у кінці шарнір, а на іншо у

атисненн

рис. . .

		ис.19.15
О ере о початок систе	и координат на лівій опорі. Отже, y0 =0,		M0	=	. ут повороту і
поперечна сила на шарнірній опорі невідо і		0=?, Q0 = ?
а протилежно у кінці	алки відсутні	про ини і кути повороту.	а	цій	підставі оже о
аписати при x = l:

19. тій і т пор

y(l)

Lsin l

sin l

0 P

(l)

cos l

ає

о систе

дво

однорідни

ал е ра чни

рівн н

стосовно

невідо

початкови

пара етрів 0 і Q0.

систе

ає тривіал ний ро в

ок

0 = Q0

о відповідає відсутності

ину в централ но-стиснено

у стержні, і, отже,

стійкій йо о рівнова і.

енул овий ро в

ок,

кий у

овлює

ин стержн ,

ожливий лише при дорівнюванні нулю детер інанта,

складено о

коефіцієнтів при невідо и

Lsin

(

sin

)

(19.22)

cos

)

ут по начено

Pl2

(19.23)

Отже, співвідношенн

вл є со ою у

ову втрати

стійкості

стержн

на иваєт с

рівн нн

стійкості.

евідо

наченн

стискаючо

сили P, ка

в одит

до еле

ентів

детер інанта чере

.23).

о кривши детер

інант

ає о

sin

cos )

(

sin

)cos

а о післ

перетворен

tg .

о в

авши це рівн нн ,

на оди

, .

оді

вира у

.23

о числює

о критичну

величину сили

2 EI

20.187

19.4. Формула Ейлера

Величини критични сил дл однопро онови стержнів постійно о перері у, кі						авантажено
по кінц	стискаючи	и сила	и, при рі ни	ранични у ова (рис. .	також	ожут ути
о числені	а відо ою	опору	атеріалів фор	улою Ейлера

19. тій і т пор

P		2EI	min .	(19.24)
	р
		( l )2

е а акріпленн кінців вра овуєт с		коефіцієнто ведено довжини		рис. . .

			ис. .
л	стержн , ро		л нуто о в прикладі . , кий		ає атисненн на одно у кінці і шарнір на
іншо	у,	ає о = 0,	. оді а фор улою Ейлера P	р	20,142 EI l2 .
				р
ор		ула Ейлера	оже ути переписана у ви л ді

P		2 EI	min ,	(19.25)
P	р	l2	min ,	(19.25)
	р

де по начено
				(19.26)

19.5. тійкість рам

ета ро ра унку ра

на стійкіст

пол ає в о численні

іні

ал но величини критично о

навантаженн .

Пружні ра и

вл ют

со ою систе

нескінченни

число

ступнів віл ності і то

у при даній

с е і навантаженн

ают нескінченну кіл кіст фор

втрати стійкості і відповідни

начен

критични сил.

спро

енн

ро ра унків вводит с ни ка припу

ен :

Вважаєт с ,

атеріал ра

и пере уває в пружній стаді

е посередн о до настанн втрати

стійкості.

авантаженн

на ра у діє тіл ки в

ву ла

в такий спосі ,

до настанн

втрати стійкості

ин стержнів

ув відсутні .

авантаженн ,

кі діют

в про она

стержнів, перетворюют с у

ву лові. Вважаєт с ,

о всі сили пов

ані

іж со ою певни співвідношенн

інюют с

пропорційно до одно о пара

етра.

19. тій і т		пор				23
По довжні	и дефор		аці и і дефор	аці и суву	ожна	не тувати.
ожна не тувати			іною відстані	іж ву ла и,	ка у	овлена ино стержнів при втраті
стійкості ра		и.
ак, у ра	і	рис. .	до настанн	втрати стійкості єдино ожливою фор ою рівнова и уде
пр олінійна.

ис.19.17

оли навантаженн

не критично

величини, первісна фор

а рівнова и стане нестійкою і

стає ожливи

пере ід

до

іншо о дефор овано о

стану,

кий

супроводжуєт с

ино .

рис. .

ожливий

від илений стан

по начено

штри овою

лінією.

При ц о у

ра о

по довжні

и дефор

аці

и,

о існували до втрати стійкості, виникают

дефор аці

ину,

кі

овлюют с

пере

енн

и ву лів, а також відповідні внутрішні усилл

инал ні

о енти і

поперечні сили. ритичне навантаженн

ожна ви начити а о

ови по ви додаткови реакцій

ей, а о

ови від

інності від нул пере і ен ву лів. Перший під ід

вл є со ою

етод сил,

дру ий

етод пере

ен .

19.6. озрахунок рам на стійкість за методом сил

о ра унок

ра

етодо

сил

виконуєт с

такій

послідовності. Ви начают

кіл кіст

айви

невідо

етоду сил і о ирают

основну систе

у в такий спосі ,

о еле

енти,

кі

стискают с

при ді ву лови

навантажен , в основній систе

і али а о шарнірно оперті кінці, а о

один кінец

атиснений,

а дру ий

віл ний. При виконанні ци

ви о

инал ні

енти у

стержн

основно

систе

и від ді

овнішні

навантажен відсутні.

ак, дл ра и

рис. .

,а

ожут

ути о рані основна систе а,

о ражена на рис.

, ,

і не

оже ути прийн та систе а,

о ражена на рис.

,в.

19. тій і т пор

ис.19.18

При правил но у ви орі основно систе и всі вантажні коефіцієнти систе и канонічни рівн н дорівнювати ут нулю

iP = 0.

Отже, систе а канонічни

рівн н

уде однорідною

11x1

12 x2

1n xn

21x1

22 x2

2n xn

(19.27)

n1x1

n2 x2

nn xn

адалі

удуют

епюри

инал ни

ентів від одинични

айви

невідо и . адл

виділенн

стиснено-

і нути

стержнів епюри на ци

стержн

о ражуют с

криволінійни и.

оефіцієнти ik

о числюют с

а фор

улою

ора

ура уванн

лише дефор

ацій ину,

по ва

ки

у стержн

очікуєт с

тіл ки при втраті ра ою стійкості

MiMk ds.

ут Mi

инал ні

енти від одинично о невідо о о Xi = 1,

инал ні

енти при

втраті ра

ою стійкості, то то від одинично о невідо

о о Xk = 1 і стискаючо сили.

епюри,

о пере

ножуют с є

пр олінійни

и,

інте руванн ведет с

правило

Вере

а іна а о а фор

улою

і псона–

орноу ова. При інте руванні криволінійни

епюр слід

скористатис фор

ула

и, кі наведено у та

л. .

ци

фор

ула

по начено

;

(19.28)

(

)

(tg

1),

19. тій і т пор

		(		)	6		(1 sin			),
					sin
		(		)	3	(tg		1),						(19.29)
		1			2
			(	)	3	(1		tg		2		tg	),
		2			2				cos
									cos
		(		)		6		1	sin		,
		3			2 cos
					2 cos
де Np по довжн сила в стержню у вантажно								у стані основно систе						и.
														19.1
	тержен	Епюри M										MiMkdx

						l		ac	bd	(	)	l	ad	bc ( )
						3						6

l ac ( )		bd	( )	l ad bc		( )
3	1	2		6	3
3				6

наченн	функцій 19.29	ожут	ути	о числені	а допо о ою ко	п ютерно про ра		и-
тренажера	ро ра унку ра	на стійкіст ,		ка в одит	до про ра но о	а е печенн	дано о
підручника.
Оскіл ки систе а канонічни рівн н			19.27 є однорідною, у овою втрати стійкості ра				и	уде
дорівнюванн	нулю детер інанта

	11 ( ) 12 ( ) 1n ( )
D	21 ( ) 22 ( ) 2n ( )	0.	(19.30)

n1 ( ) n2 ( ) nn ( )

к правило, ро в	анн рівн нн	.	у	а кнено	у ви л ді викликає великі трудно і а о
в а алі є не ожливи .	практични	ро ра унка		ро в	анн виконуєт с послідовни наданн

19. тій і т

пор

довіл ни

начен

пара етру

і о численн відповідни

начен ви начника

. 0 . Під ір

вважаєт с

акінчени , коли

найдено

іні ал ну величину пара

етру

ка адовол н є у ову

(19.30). ей пара

етр прий

аєт с а критичний. авантаженн ,

ке відповідає ц о

у пара

етру,

ви начаєт с

співвідношенн

19.28 ,

о приводит до фор

ули

2 EI

(19.31)

Приклад 19.7.

Ви начити

етодо сил критичну величину сили дл

ра

и рис.

. ,а

при l

, h

														ис. .
тупін	статично			неви начуваності ра										и n =				. Основна систе а							о ражена на рис. . , .
івн нн стійкості ра				и
													D	11			12			0 .
													D		21			22		0 .
															21			22
Епюри	инал ни				о ентів M1							та M2		по удовано на рис.									.	,в, .
О численн пере				і	ен
			h		h h (						)	0		1		1	h h			2		h	243	1	( ) ;
	11	3EI							1					EI		2				3			EI		1
				1	1		h	h		l		243 ;
	12	EI			2							EI
		EI			2							EI
	22			1		1	l	l		2	l		1	l h		l			396		.
	22		EI		2		l	l	3		l		EI	l h		l					.
			EI		2				3				EI						EI

19. тій і т пор	27
о в уючи рівн нн	стійкості

	243[1	( )]	243
D	EI	1	EI	0,
	EI		EI
	243		396
	243		396
	EI		EI
одержи о 1( ) = , . Відповідне		наченн	пара етра	,	на оди о а допо о ою
та лиц . Отже, критична сила

P р	2EI	2,902 EI	0,104EI .
	h2	92

19.7. озрахунок рам на стійкість методом переміщень

о втрати стійкості еле

енти ра

и пере увают в у ова

централ но о стисненн . При ц о

инал ні

енти, поперечні сили, кути повороту і поступал ні пере

і енн

ву лів відсутні. По -

довжні сили у стержн

ожут

ути одержані

ов рівнова и ву лів а о еле

ентів ра

и до

настанн

втрати стійкості.

л даєт с

рівнова а ра

и післ

втрати стійкості, то то післ

доданн

ину до по довжні

дефор

ацій.

е о начає,

о ву ли ра

ают

поступал ні і кутові пере

енн , а в стержн

виникают

инал ні

енти і поперечні сили.

Основни и невідо и и

етоду пере і ен

є кути

повороту

жорстки

ву лів,

також

не алежні

лінійні пере

енн

ву лів.

іл кіст

невідо

кутів

повороту дорівнює

кіл кості

жорстки

ву лів

ра

и,

кіл кіст

не алежни

лінійни

пере

ен

іні ал ній кіл кості

додаткови

ей,

кі

нео

ідно

ввести до

шарнірно

с е

и ра

и дл

перетворенн

ео етрично не

інювану систе

у.

Основна систе а утворюєт с

введенн

у всі жорсткі

ву ли

плаваючи

атиснен ,

кі

перешкоджают

повороту

ву лів,

також

постановкою

додаткови

опорни

ей,

виключают

ні

ожливі лінійні пере

енн .

атисненн

і в

і ро членовуют

адану ра у на

ни ку стиснено- і нути

стержнів

рі ни

и ранични

и у

ова и на кінц .

ови дорівнюванн

нулю реакцій в

плаваючи

атисненн

і в

становл т

рівн нн

етоду пере

і ен .

адача

ви наченн

критично о навантаженн ,

к то

уло у

етоді сил,

водит с

до пошуку коренів

рівн нн

стійкості, дл

одержанн

ко о слід прирівн ти до нул

ви начник,

кий складено

коефіцієнтів рівн н

етоду пере

ен

19. тій і т пор

r11( )

r12( ) r1n ( )

r21( ) r22( ) r2n ( )

(19.32)

rn1( ) rn2( ) rnn ( )

де пара

етр

виражаєт с

чере

по довжні сили

і співвідношен

19.31). Приклад наведено у

п. . .

о в

авши рівн нн

.32

одержи

о наченн

пара

етра

кр,

ке відповідає критично

стану систе

и, і

на оди о критичне наченн

навантаженн і

фор ули (19.31).

снуют

два

спосо и

ви наченн

коефіцієнтів

рівн нн

стійкості

відповідно

ро рі н ют

дві фор

етоду пере

ен – канонічну і розгорнуту.

канонічній фор

і у стержн

основно систе и

удуют с

епюри

инал ни

о ентів від ді

одинични

основни

невідо

ура уванн

впливу по довжні

сил вантажно о стану.

ро

орнутій фор

і о

од т с

е по удови одинични

епюр.

усилл ,

о виникают

однопро онови

стиснено- і нути

стержн

, виражают с

фор

ула

- 19.45),

кі

ви ирают с

дл

кожно о стержн

алежно від кінцеви

у ов

тержень із затисненнями з обох боків

рис. . .

ис. .

ра і, к о N 0:

2i [

(

)

];

(19.33)

ab b

2iab [(

)

(

)

(19.34)

lab

19. тій і т пор

о N

та Q = 0

Mab

iab

sin

b .

то

у ра і,

к о N = 0:

2i ( 2

);

6iab (

lab

тержень із затисненням на лівому і шарніром на правому кінці рис. . .

ис. .

В ра і, к

о N 0:

Mab

iab ab( a

ab);

iab (

lab

к о N

та Q = 0

Mab

iab

ab a.

к о N = 0:

Mab

3iab( a ab );

3iab (

lab

(19.35)

(19.36)

(19.37)

(19.38)

(19.39)

(19.40)

(19.41)

(19.42)

19. тій і т пор

тержень із шарнірами з обох боків рис. . .

				ис.19.22
ра і, к	о N 0:
	Q	Q	iab	2	ab	;
	ab	ba	lab	ab	ab
			lab
к о N	та Q = 0

Mab 0.

у ра і, к о N = 0:

	Qab	Qba 0.
фор ула по начено	iab EIab		lab	по онна			инна жорсткіст стержн , ab
кут перекосу стержн , ab	b	a	в ає	не лінійне			і	енн йо о кінців.
оефіцієнти , , , ,	алежат	від пара			етра	і ви начают с а фор ула и
				tg		;	=	2tg	;
		2tg			v	;	=	tg	;
		2tg		2tg	v			tg
				2tg	2
					sin			3
		2sin			sin	;		tg	;
		2sin			v			tg
				2tg 2

(19.43)

(19.44)

(19.45)

ablab

(19.46)

		1	3
		1		.
		2 2tg v
			2
наченн функцій	, , , ,	ожут		ути ви начені а допо о ою про ра но о ко плексу
ТЕНТ чере	еню ервіс/	пеціальні функці для розрахунків рам на стійкість а о

та лиц одатку 3.

19. тій і т

пор

19.8. Використання симетрії

етрію

ра

при ро ра унку на

стійкіст

ожна використовувати тіл ки в ра і си

етрі

навантаженн .

и,

авантажені си етрично,

до настанн

втрати стійкості дефор

уют с си етрично.

При втраті стійкості такі ра и

ожут

дефор уватис

си етричною,

так

і а

кососи

етричною с е ою. В ц о у випадку ви начник (19.32),

о становит

рівн нн

стійкості,

оже

ути ро кладений на два ви начника нижчо о пор дку. Один

ни

відповідає си

етричній, а

дру ий

кососи

етричній фор і втрати стійкості.

аки

чино ,

уд - кий корін

ви начника

(19.32

відповідає а о си етричній а о кососи

етричній фор і.

у дл

ро ра унку си етрично

ра и на дію си

етрично о навантаженн

достатн о ро

л нути окре

о си етричну і кососи-

етричну дефор

ацію ра и і порівн ти ре ул тати.

ай іл ш не е печною

уде та фор а втрати

стійкості,

кій відповідає най енше наченн

критично о навантаженн .

оінована фор а втрати стійкості оже не ро л датис , оскіл ки дл не критичне

навантаженн не

оже

ути

енши , ніж дл суто си етрично а о кососи

етрично фор и.

Відносно порівн но

не е печності тіє

чи іншо фор и втрати стійкості

ожна висловити таке

а ал не положенн

дво

фор

втрати стійкості най іл ш не е печною

уде та,

кій відповідає

енша ро ота при

ині.

При складанні

рівн н

рівнова и

си

етрични

си

етрично

авантажени

ра

а о

встановлюєт с

в ає на

відповідніст

іж

си етрично

ро ташовани

невідо и и,

то то

провадит с

рупуванн

невідо

и ,

а о

ви ідна с е

ра

інюєт с

половиною

накладанн

додаткови

ей,

кі а е печуют ту а о іншу фор

у втрати стійкості.

спосо і,

кий

а уєт с

на групуванні основних невідомих, ро

л даєт с

ожлива

дефор аці

при втраті пружною систе

ою стійкості а си

етричною і кососи

етричною фор

ою

л о о

випадків

совуєт с

ожливіст

по вленн

ти

чи інши

пере і

ен , а

також

співвідношенн

іж ни и.

л не

о, наприклад си

етричну

ра

у під

дією

си

етрично о

ву лово о навантаженн

рис. .

,а .

19. тій і т пор

ис. .

не

вра овувати

си етрію,

то

при

ро ра унку

етодо

пере

ен

ра а

ає

невідо

кутів повороту

жорстки

ву лів

кіне

атично о

аналі у

шарнірно с е и рис.

очевидно,

о перетворенн

до ео етрично не

інювано

с е

досит

ввести

один додатковий опорний стержен

е о начає,

адана ра а

ає одне

поступал не не алежне пере

і енн

. аки

чино , ступін

кіне

атично

неви начуваності

Проаналі ує о склад основни

невідо

дл

випадків втрати стійкості

а си етричною та

кососи

етричною фор

а и.

Очікувана дефор аці

ину при втраті стійкості

а си

етричною фор ою представлена на

рис. .

,в. Очевидно,

о в силу си

етрі

кути повороту

си етрични

ву лів дорівнюют

одне

одно у а величиною і протилежні

а напр

о то о ж поворот ву ла

дорівнювати

е нулю

акож дорівнює нулю поступал не пере

енн

ри ел

0 ,

19. тій і т пор

оскіл ки в протилежно

у випадку си

етрію дефор

аці

уде втрачено.

аки

чино

дл

ви наченн

си

етрично о дефор

овано о стану ра и достатн о

найти два

пара

етри кути повороту ву лів, ро ташовани

по один

ік від осі си

етрі , наприклад 4

та 8 .

кососи етрично

дефор

аці

рис. .

, ) кути повороту

си етрични

ву лів дорівнюют

одне одно

а величиною

о то о ж невідо

є кут повороту ро ташовано о на осі си

етрі

ву ла

та поступал не пере

енн

ри ел

аки

чино

, дл

ро ра унку дано

ра и на стійкіст

по кососи

етричній фор і дефор

аці

нео

ідно скласти чотири рівн нн

чотир а невідо и и 4 ,

5 , 8 , .

о в

анн

рівн нн

стійкості дл

кожно о

о начени

випадків ви начит

величини критични навантажен

дл

втрати стійкості

а си

етричною P р

і кососи

етричною фор а

и P р .

При заміні рами половиною

адана систе

а поділ єт с

на

дві половини

пр

ою,

ка

і аєт с

віссю си

етрі . При си

етричній фор

і втрати стійкості

рис. .

,а точки,

кі ро -

ташовані

на

осі си

етрі ,

ожут

пере і

уватис

лише по вертикалі

напр

ожливо о

пере

і енн

пока аний двосторонн ою стрілкою

і не

ожут

ати

ори онтал ни

пере

і ен і

кутів повороту.

о у в цей перері нео

ідно ввести ков не у вертикал но у напр

ку

атисненн

рис. .

, .

ис.19.24

19. тій і т			пор								34
При кососи		етричній фор і втраті стійкості						рис. . ,в	точки і ву ли,	о ро ташовані на осі
си етрі ,	ожут		пере і	уватис	лише в ори онтал но у напр і по начено двосторонн ою
стрілкою	і	о ертатис		пока ано		на ило		перері у .	Вертикал ні	пере	і енн точок
виключают с .			і у ови	удут	дотри ані,		к	о в перері	ввести ру о	у в	ори онтал но у
напр і шарнірну опору рис. .					, .
а рис. .		,а	о ражено ра у,		ка	істит	сто к на осі си		етрі .

ис.19.25

При вивченні си

етрично

фор

и втрати стійкості

рис.

жорсткіст

сто ка нео

ідно

прийн ти нескінченно великою EI=

о виключає повороти ву лів,

кі до н о о приєднуют с .

Оскіл ки сто к

оже пере

уватис

у вертикал но

у напр

і,

нео

ідно ввести в

у ви л ді

ков но о атисненн .

При кососи етричній фор і втрати стійкості

рис. .

,в

жорсткіст

сто ка

ерет с

половинно у

ро ірі (EI/2).

то о

сто к

не

пере

увавс

по

вертикалі,

нео

ідно

поставити шарнірно-ру о

у опору,

ка припускає лише

ори онтал ні пере

енн .

Отже, дл

ро ра унку на стійкіст си етрично

ра

и,

ка пере уває під дією си

етрично о

навантаженн , нео

ідно

о рі ати ра

у навпіл

а віссю си

етрі .

акласти додаткові в

і,

о припускают

лише си етричні дефор

аці одніє

половин ра

и, і

виконати

ро ра унок

утворено

с е

на

стійкіст .

О числити

критичну силу

Pс ,

ка

кр

відповідає втраті ра ою стійкості

а си етричною фор ою.

акласти додаткові в

і,

о припускают

лише кососи

етричні дефор

аці

половини ра

и,

виконати

ро ра унок

на стійкіст

і о числити критичну силу

P р ,

ка відповідає втраті

ра

ою стійкості

а кососи

етричною фор

ою.

уд - ки

спосо ів ви наченн

критични

навантажен

а ро ра ункову критичну величину

нео

ідно в

ти най

еншу

дво о числени

критични

сил

19. тій і т пор	35
P р	min{P р,P р}.

19.9. Приклад розрахунку рами на стійкість за методом переміщень

о л не о ра у рис. .26,а . а	у навантажено дво а сила и P1 і P2. оефіцієнт по онно
жорсткості n = . Пара етри лінійни	ро ірів l=5 h=3

ис.19.26

іл кіст невідо и етоду пере і ен дорівнює дво одне кутове пере і енн 1 і одне поступал не пере і енн . Перекоси ви начи о і шарнірно с е и ра и рис.19.26,

	1	4	2 3	h,	1 2
Основну систе	у етоду пере і	ен	о ражено на рис.		.26,в.
Введе о пара	етр навантаженн P і вира и			о сили P1 і P2
P2 = 4P.
епюри по довжні сил рис.		.26,	ає о

чере цей пара етр P1 = P,

N1-4 = P1, N1-2 = 0, N2-3 = P2.

Відповідно пара етри стійкості дл стержнів ати ут ви л д

1 4 P1h i , 1 2 0,

2 3 P2h i.

19. тій і т				пор																																								36
апише		о у	ови рівнова и ву ла											і ри ел											- .					л		ву ла							рис. .26,д				у ова рівнова и
M1= M1-4 + M1-2 = .					а допо			о ою фор													ул		19.33							і		19.41						апише			о вира и дл			кінцеви
о ентів
							M	1	4					2i							4						2i( )									4			h
								1	4									1			4		1											1		4
							M1		2					3ni 1											2( )
						( 3n 2											4			)					2( )									4				h 0.
															1		4				1											1		4
л ри ел			-	рис.	.26,е у				ова рівнова и R2= Q1-4 + Q2-3																													.	апише			о співвідношенн дл
поперечни		сил	а допо		о ою фор				ул					19.34 і 19.39):
						Q					2i				(						)													4 h
						1 4						h											1			4		1			1			4 h
						Q2-3			i			2				3			h
									h										h
						2 ( )																	( 2													)				0.
						h								1		4					1						1 4						2 3				h2
івн нн		стійкості одержи					о, прирівн вши до нул																							ви начник систе и рівн н
							3n				2							4									2 (					)				4
					D										1			4									h							1		4				0.
							2																1				h
									( )																		2
									( )																	(	2											)
							h										1 4					h2							1 4						2	3
о кривши ви начник, дістане									о
				D =	1 ( 3n			2			4				)( 2							4						2		3	)			4		(			)2		4	0.		(19.47)
				h2					1		4										1	4						2		3				h2						1	4
				h2																														h2
ура уванн				то о,	о n =		,		ати						е		о
				D = ( 6		2			4	)( 2										4					2		3		)		4(					)2			4	0.				(19.48)
							1		4							1				4					2		3											1	4
піввідношенн				іж сила			и P1					і P2									дає					о у				найти співвідношенн													іж пара етра и
стійкості

						1 4						P1h i												Ph i;																				(19.49)

						2 3							P2h i = 4Ph i =2 Ph i.
відси		2-3 = 2 1-4.
нанн		співвідношенн				іж			2-3				і		1-4.						дає					о у ро в									ати рівн нн							стійкості, наприклад,
відносно	1-4, то то ді рати таке							наченн									пара							етра						1-4, при						ко		у ви начник D дорівнює нулю.
цією	етою нео			ідно	певни				кроко										адатис								ни кою							начен					пара		етра		1-4, і дл	кожно о

19. тій і т			пор															37
наченн о числити величини коефіцієнтів,										кі в од т			до рівн нн			.48 , і відповідні		наченн
детер	інанта D.		Процедура ро в				анн	вважаєт с					акінченою, коли піді ране таке					наченн
пара	етра	1-4, при ко		у D	. о в		анн		рівн нн			стійкості		.48	наведено в та л. . .
																	19.2
		1	4		4		1 4				4	2 3 2 1 4			2	3	D
		1	4	1	4					1	4				2	3

		0		2,000		1,000				6,000			0	3,000			114,00
		0,500		1,983		1,004				5,850			1,000	1,794			98,792
		1,000		1,932		1,071				5,399			2,000	-1,912			52,865
		1,500		1,845		1,040				4,646			3,000	-8,592			-30,027
		1,300		1,885		1,030				4,984			2,600	-5,490			9,716
		1,400		1,866		1,035				4,821			2,800	-6,957			-7,533
		1,360		1,874		1,033				4,888			2,720	-6,351			-0,416
		1,358		1,874		1,033				4,891			2,716	-6,322			-0,074
а дани		и та л. .		по удовано			рафік		алежності D=D( 1-4.) рис.19.27).
івн нн		D=D( 1-4.)		ає	е ліч ро в			ків.			ай енший корін			рівн нн			ви начає іні	ал ний
критичний пара			етр навантаженн ,				кий на підставі					19.49 дорівнює
									P р		12 рi		h.
	прикладі,		о ро	л даєт с ,			1-4.	.		,	відки Pкр = 0.614i.				ритичні величини сил P ,кр=
Pкр = 0,614i, P кр= 4Pкр= 2,456i.

ис.19.27

івн нн

стійкості ра и

19.47 дає

о у дослідити вплив жорсткості окре

и еле ентів на

наченн

критично о пара

етра навантаженн Pкр.

ц о о достатн о ро в

ати це рівн нн

при рі ни

величина

пара

етра

n жорсткості ри ел .

е ул тати таки ро ра унків наведено у

та л. . .

100

Pкр

0,327i

0,536i

0,614i

0,656i

0,681i

0,710i

0,736i

0,781i

19. тій і т

пор

а дани

и та л.

. по удовано рафік

рис.

.28,а ,

ко о видно,

о коефіцієнт n впливає на

стійкіст ра и в

ежа

від

до

. Подал ше іл шенн

коефіцієнта

на стійкіст

ра

и не

впливає.

ожливо також дослідити вплив співвідношенн

іж овнішні

и сила

и P1 i P2

на величину

критично о пара

етра при фіксовано у наченні жорсткості ри ел ,

наприклад при n=2.

ц о о нео

ідно надавати рі ні співвідношенн

іж

овнішні и сила и P1 i P2.

кожно о

співвідношенн

слід ви начити величину

критично о

пара

етра

навантаженн Pкр

і числові

величини

овнішні

сил.

е ул тати таки

ро ра унків дл кіл ко

співвідношен

наведено у

та л. . .

19.4

P1(P)

P2(P)

Pкр

P ,кр

2,96i

0,615i

2,46i

1,05i

2,10i

1,60i

1,09i

2,18i

1,09i

0,66i

2,64i

0,66i

3,33i

рафік,

о відповідає ре ул тата

та л.

. , по удовано на рис.

.28, .

			ис.19.28
19.10. Приклад розрахунку на стійкість симетричної рами
е у си	етрично ра и під дією си етрично о ву лово о навантаженн представлено на
рис.19.29,а.	ео	ідно ви начити критичну величину ву лови сил.
Визначення ступеня кінематичної невизначуваності і призначення основної системи
адана ра	а	ає чотири про іжні жорсткі ву ли. о у
		k	4 7 , 8, 4 , 6 .

19. тій і т

пор

ви наченн

кіл кості не алежни

поступал ни пере і ен

ву лів утвори

о шарнірну

с е

ра и рис.19.29, . Очевидно,

дл

перетворенн

шарнірно

с е

и на

ео етрично

не

інювану систе

у нео

ідно ввести два додаткові опорні стержні

1 та

Перший

ни

утри

ує від поступал но о

ори онтал но о

пере і

енн

1 ву ли

а дру ий

- від

поступал но о ори онтал но о пере і

енн

2 ву ли

і .

а цій підставі вважає

о,

2 .

ис.19.29

Поступал ні пере і енн ву лів ви начают кут перекосів стержнів:

	4		2	5		6		1	;
1	4		2	5	13	6	5
							5
4	7	6		8	1		2	;
					5		5
4	6	5		6	7 8 0.

Отже, ступін кіне атично неви начуваності ра и

19. тій і т	пор										40
				k	k	k		6 .
Основну систе у		етоду пере і		ен	одержи		о введенн		плаваючи	атиснен	у ву ли
7 , 8, 4 , 6	адл уне ожливленн				ні кутів повороту,				а дл усуненн	ожливи	лінійни
пере і ен – введенн		опорни	стержнів у ву ли				і	рис.19.29,в .
Епюра N нор	ал ни	сил в ра	і до настанн			втрати стійкості подана на рис. 19.29, .
Пара етри стійкості в стержн			ра	и виражают с				чере по довжні сили

N4 7l4 7

;

N6 8l6 8

4 7;

i4 7

i46 8

1 4

N1 4l1 4

4Ph

4 7;

N3 6l3 6

4Ph

i1 4

i13 6

и етрична

ра

під дією си етрично о

навантаженн

оже

дефор

уватис

при

втраті

стійкості а о а си

етричною, а о

а кососи етричною фор ою.

еалі увати

ет с та фор

а, кій

відповідає

енше

наченн

критично о навантаженн .

о у доціл но виконати ро ра унок окре о

на си

етричну і окре о на кососи

етричну дефор

ацію.

19.11.1. озрахунок на втрату стійкості за симетричною формою деформації

Очікуваний

ин ра

и при втраті стійкості

а си

етричною фор

ою дефор аці

пока ано на

рис.19.30.

ис.19.30

у ов си етрі ожна ро ити висновки одо основни невідо и

19. тій і т пор

		;
8	7	;
6	4	0.
1	2	0.

аки

чино , кіл кіст основни невідо и

скорочуєт с до тр о .

При ц о у кути перекосу всі стержнів дорівнюют

нулю

1 4

4 7

2 5

6 8

3 6

7 8

4 5

5 6 0.

кладання рівнянь рівноваги

о в

увал ні

рівн нн

складає

ов

рівнова и

еле ентів, кі утри

уют с

від

пере і

ен

накладени и в

и.

ор

ули

дл

кінцеви

усил

ви ирают с

алежно

від

ранични

у ов.

7 M7-8

M7-4

M4-7

M4 M4-5

M4-1

M7 M7 4 M7 8 0.

M	7	4		2i		4		7		4					7		4			4			7	4				7		4
	7	4			7	4		7		4		7			7		4			4			7	4				7		4
2i			7	4				7		4		4		2i						4		2i	7	4		4	;
			7	4		7		7		4		4						7		4	7		7	4		4
M	7	8		2i		8	2 2										7		8			2 4i 2								7		8i .
	7	8		7		8		7					8				7		8					7						7			7
									M		7			2		7			4		8	i	2		7	4			i		4	0.	(19.50)
											7					7			4			7			7	4					4
M4 M4 7 M4 5 M4 1 0.
M	4	7		2i		7		4		7			4		4	7				7			4	7				4		7
	4	7			4	7		4		7			4		4	7				7			4	7				4		7
2i 4 7 4							4 7 7							2i 4 7 4								2i 4 7 7;
M4 5 3i4 5							4 4 5									3i 4;
M4 1 i4 1 4 1 4													4 1						4i 4 1 4.
								M4					2i 4			7				2 4 7			4 4			1				3 i 4			0. (19.51)

кладання рівняння стійкості
овою втрати стійкості	є дорівнюванн нулю ви начника атриці коефіцієнтів при
невідо и пере і енн ву лів
D	2 7 4	8 2 7 4		0 .
D	2 7 4	2 4 7	4 4 1 3	0 .

19. тій і т			пор																							42
озв’язання рівняння стійкості
Відшукає о перший						іні		ал ний			корін			рівн нн			стійкості, послідовно надаючи одно									у
пара етрів, кий вважати					е		о	а не алежний,						довіл ни			начен ,			наприклад			1; 2 то	о.		При
кожно	у наченні не алежно о пара етра														уде	о о числювати відповідні							наченн		інши
пара етрів, на одити величини функцій												, , ...				а та лиц			и,		кі наведені в одатка					3,	і

о числювати величину ви начника. Під ір вважаєт с																акінчени			, коли ви начник дорівнювати								е
нулю.
ак, в вши				ає		о		та лиц
										7		4	2; 7			4	1.
л			0	ає		о 1 4				3.
Підставивши отри				ані		наченн				до рівн нн				стійкості отри					ає	о
				D				2	2	8 2 1							12	2	224.
				D				2 1			2	2	4		3	3	2	19	224.
								2 1			2	2	4		3	3	2	19
В	вши		ає	о
									7 4		1,932;				7	4	1.017.
л	стержн		- відповідне					наченн			пара			етру				.	ає		о та лиц		одатку 3
											1 4				2,794.
оді
	Det		2 1,932				8 2 1,017										11,864				2,034	209,9.
	Det		2 1,017					2 1,932				4 2,794				3		2,034 18,040				209,9.
			2 1,017					2 1,932				4 2,794				3		2,034 18,040
Продовжує		о анало ічні о численн										надаючи пара					етру стійкості					наступни		начен
доти, поки ви начник				інит			нак.			е ул тати				аноси		о до та лиці . .

							7 4			7 4			7 4			1-4		1 4			D
				1				0		2				1		0		3			224
				2				1		1,932			1,017			1		2,794			209,9
				3				2		1,718			1,076			2		2,088			164,5
				4				3		1,312			1,206			3		0,408			71,3
				5				4		0,586			1,502			4		-6,518			-229,8
				6			3,5			1,004			1,321			3,5		-1,468			-15,6
				7			3,4			1,073			1,294			3,4		-0,974			5,98

рафік функці D=D( 7-4) по удовано на рис. .31,а.

19. тій і т пор

ис.

.31

к видно,

ви начник

інює

нак при

наченн

пара етру

1-4

в про

іжку

іж і , .

Виконуючи на о начено у про іжку лінійну інтерпол цію (рис. .31,

)

на оди

3,4

0,1 5,98

3,428.

4 7

5,98 15,6

ритична величина пара

етру навантаженн

при си

етричній фор і втрати стійкості складає

Pкр

4 7

3,428

2,350i .

19.11.2. озрахунок на втрату стійкості за кососиметричною формою деформації

Очікуваний

ин ра и при втраті стійкості

а кососи етричною фор

ою дефор

аці пока ано

на рис. .32.

ис. .32

у ов си етрі ожна ро ити висновки одо основни невідо и

19. тій і т пор

8 7;

6 4.

аки чино , кіл кіст основни невідо и скорочуєт с до чотир о

, ,

кладання рівнянь рівноваги

о в

увал ні

рівн нн

складає

ов

рівнова и

еле

ентів,

кі

утри

уют с

від

пере

і ен

накладени

и в

и.

ак,

ов рівнова и ву ла

ає

M7-8

M7-4

(19.52)

M4-7

M4-5

ов рівнова и ву ла

M4 M4

M4 1

(19.53)

M4-1

ов рівнова и вер н о о ри ел

ає

Fx 0

R8 Q7 4 Q8 6 0 а о

R 8

Q7-4

8 6

8-6

відки випливає,

о Q7

6 .

іншо о

оку,

внаслідок кососи етрично о напружено-дефор

овано о стану ра

инаючі

о енти кососи етричні,

а поперечні сили

си етричні,

то то Q7

6 . О идві рівності

ожливі лише

а у

ови,

о поперечні сили в сто ка

дорівнюют

нулю Q7

4 Q8

6 0.

о начає,

о поступал не пере і

енн

числа невідо

ожна виключити,

вши дл

сто ків -

та

- фор

ули кінцеви

ентів дл

випадку, коли поперечна сила дорівнює нулю.

4-7

6-8

ова рівнова и нижн о о ри ел

-5- дає

R 7

Fx 0

R7 Q4 1 Q5 2 Q6 3 0.

Q4-1

Q 5-2

Q6-3

у ов косо си етрі напружено-дефор овано о стану ожна вважати, о Q6 3 Q4 1.

ура уванн отри ано о співвідношенн у ова рівнова и ри ел на уває ви л ду

19. тій і т	пор		45
	R7 2Q4 1 Q5 2	0.	(19.54)
Отже виражає	о кінцеві усилл , о в од т до рівн н	.	(19.54).

M	7	4		i	4																					4		i										i						4	;
	7	4		7	4			tg				7	4				7		sin		7			4		4			tg		7		4			7			sin		7	4		4
								tg				7	4						sin		7			4					tg		7		4						sin		7	4
M	7 8			2i				2									3		7 8		2 4i 2									24						;
	7 8			7 8						t			8						7 8								t		7				7
M4 7				i7 4				tg							4				sin					7				i	tg				4					i	sin				7;
								tg				7	4						sin		7			4					tg		7		4						sin		7	4
M4 5 3i4 5								4 4 5										3i 4;
M	4 1			i			4 1				4					4 1			4i		4 1				4			1		4i							4	0,8i		4 1		1	;
	4 1			4 1			4 1				4					4 1					4 1				4			5				4 1					4			4 1		1
																												5
Q				i4 1																				4i							4 1					1			0,8i							0,16i	4 1 1	;
4 1				l					4 1 4								4 1 4 1							5				4 1 4			4 1			5							4 1 4						4 1 1
				4		1
Q		2		3i5 2						2				5		2			3 2i				0				1		0,24i		1		.
5		2		l5		2				2				5		2				5						5					1
				l5		2														5						5
	Підставивши отри											ані кінцеві усилл												до систе					и рівн н					отри					ає о систе у рівн н								етоду
пере		і		ен
								24														4																								0;
	tg			7 4							7					sin			7	4		4
	tg			7 4												sin			7	4
		sin		7		4	7											tg		7	4			4 1 4					3 4				0,8 1 4 1													0; (19.55)
		sin																tg

																0,8 1 4 4																			0,32 4 1 0,24 1											0.
		кладання рівняння стійкості
	івн нн				стійкості							ра			и одержи						о,		прирівн вши							до	нул						ви начник					атриці				коефіцієнтів
систе			и рівн н					(19.						етоду пере						і		ен

19. тій і т пор

	tg 7	24		sin 7 4	0
	tg 7	4		sin 7 4
D	sin	7 4	tg	4 1 4 3	0,8 1 4	0	(19.56)
	sin	7 4	tg	7 4
	0			1,6 1 4	0,32 4 1 0,24

озв’язання рівняння стійкості
івн нн стійкості				.	ро в		ує о так са		о	к і дл си етрично			фор	и втрати стійкості,
важаючи на те,		о	1	4	4	7 . Послідовно надає				о не алежно у пара			етру	4 7 начен
і т.д. ритичною			уде величина пара					етру, а		кою ви начник		.	о ертаєт с на нул .
е ул тати о числен				аноси	о до та лиці 19.6.

		4 7		tg			sin	4 7		1-4	1 4	1 4		D
				tg	4	7	sin	4 7
	1	0		1				1		0	3	3		190,8
	2	1		0,642			1,188			1	2,790	1,794		50,23
	3	2		-0,915			2,199			2	2,088	-1,911		-216,4
	4	1,2		0,466			1,287		1,2		2,699	1,259		-40,8
	5	1,1		0,560			1,234		1,1		2,749	1,539		-30,96
Виконавши в інтервалі					<	4-7 < 1,1 лінійну інтерпол цію, на оди о
						кр	1	50,23 0,1			1,062 .
						4 7	1	50,23	30,96		1,062 .
								50,23	30,96

ритичний пара етр навантаженн , кий відповідає втраті стійкості а кососи етричною фор ою дефор аці , дорівнює

	2	7	i	1,062	2	i
Pкр	4						0,225i .
		h		5

іншо о оку, при ро ра унку ра и в перед аченні втрати стійкості а си етричною фор ою дефор аці уло отри ано

Pкр 2,350i .

Порівнюючи о начені ре ул тати до оди о висновку, о ра а втратит стійкіст а кососи етричною фор ою.

ДО ЗМІСТУ ПІДРУЧНИКА

VI. МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ ЗАДАЧ

20.Співвідношення МСЕ для плоско-напруженої конструкції

21.Співвідношення МСЕ для пластини, що згинається

Суть методу скінченних елементів (МСЕ) полягає в апроксимації суцільного середовища з нескінченно великим числом ступнів вільності сукупністю підобластей (або елементів), що мають скінченне число ступнів вільності. Між окремими елементами встановлюється взаємозв’язок. У задачах будівельної механіки найбільше поширення мають співвідношення МСЕ у формі переміщень. У межах кожного елемента задаються функції, які визначають переміщення у внутрішній області елемента через переміщення у вузлах, так звані функції форми, . Вузли – це точки, де стикаються скінченні елементи. Невідомими МСЕ є можливі і незалежні переміщення вузлів скінченно-елементної моделі (СЕМ). Таким чином СЕМ конструкції являє собою систему закріплених вузлів. Додаткові в’язі ставляться у напрямку можливих переміщень вузлів, підкреслюючи цим самим їх незалежність. СЕМ конструкції аналогічна основній системі методу переміщень, який застосовується при розрахунку стержневих систем. Для досягнення сприйнятливої точності результатів розрахунків за МСЕ доводиться зменшувати розміри елементів, збільшуючи цим самим точність апроксимації геометричних характеристик і функцій переміщень в межах скінченного елемента. СЕМ складних конструкцій досягають сотень і навіть мільйонів ступнів вільності, і тому МСЕ є машино-орієнтованим методом, реалізація якого можлива тільки засобами комп’ютерної техніки. Застосування МСЕ на практиці вимагає володіти не тільки теорією, щодо задач механіки, а й також знаннями в області програмування. Для забезпечення зручності програмування співвідношення МСЕ записуються в компактній матричній, або тензорній формі.

О П А

піввідношенн

Е дл

плоско-напружено конструкці

Зміст глави

20.

. Ви ідні положенн

20.

По удова скінченно-еле ентно

оделі

20.

атриц жорсткості трикутно о скінченно о еле

ента

20.

. Ви наченн

ведени

до ву лів сил в

ежа Е

. По удова

атриці жорсткості і вектора

ведени

до ву лів сил

оделі

пластини

20.

. О численн

напружен у ежа скінченно о еле

ента і реакцій у в

20.7. Пр окутний скінченний еле ент плоско-напружено конструкці

опара етричний скінченний еле

ент плоско-напружено конструкці

20.1. Вихідні положення

Пара

етри напружено-дефор

овано о стану плоско-напружено

конструкці

алежат тіл ки

від дво

координат.

аки чино

, о ласт , о ро л даєт с , двови

ірна рис. . .

	ис. .	ис. .
о	л не о пластину, навантажену у сво й пло ині. При по удові співвідношен		Е дл
тако	конструкці скористає ос іпоте ою про відсутніст	напружен у напр ку нор	алі до

лаву написано кандидато те нічни наук доценто А. . е остаєви

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

серединно пло		ини пластини. Вважає				о, о напруженн по тов ині пластини не інюют с
рис. . .
піввідношенн		теорі пружності дл о ласті плоско-напружено пластини ают ви л д
	– рівн нн	рівнова и
		11	12		R1	0,
		x1	x2		R1	0,
		x1	x2
		21		22	R2	0,
		x1	x2		R2	0,
		x1	x2
а о	T	0,
	R1
де R	– вектор о			є ни	сил
	R2
		0
	x1	0
	x1
	0		–	атриц	диференціюванн
		x2

x2 x1

	11
=	22	– вектор напружен	12	21 ).
	12
–	ео етричні рівн нн у фор і		оші

	du1	,		du2	,		u1	u2 .
11	dx		22	dx		12	x	x
	1			2			2	1

u .

–фі ичні рівн нн

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

		1

	11	E
		E
	22	1
	22	E
		E

11 E 22 , 12 G12 ,

22 E ,

кі відносно напружен ают ви л д

		11	2				22	,	12		G,
		11		11			22		12	12
		22	11	2	22.
де		E	,	G		E		– коефіцієнти				а	е.
	1	2			2 1
	1				2 1
	атричній фор			і
						E ,
														du1
			2						0					dx1
			2						0				u2
		E				2			0	,			u2		.
		E				2			0	,			x2		.
			0				0						x2
			0				0						u1	du2
													u1	du2
													x2	dx1
о ота внутрішні				сил на		ожливи			пере і		енн
			U t			11 11			22 22			12 12			T	d s .	(20.1)
			U t			11 11			22 22			12 12		d s t		d s .	(20.1)
					s										s
о ота овнішні				сил на		ожливи			пере	і	енн
			A		uT Pdx				Qiui ;
				s
						q1	x2		.
				P		q2	x1		.
						q2	x1
о	поненти вектора				навантажен				q1	x2	і	q2	x1	вра овуют		ро поділені	по тов ині
пластини навантаженн .

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

20.2. Побудова скінченно-елементної моделі

о діли о конструкцію на скінченні еле енти просто трикутно фор и рис. . .

			ис. .
два типи еле		ентів, пор док ну ераці ву лів		ки	пока ано на рис.		. . О ласт Е	ері ає
всі властивості	континуал но		конструкці .	двови ірній		о ласті	Е про вл ют с	два
не алежни пере	і	енн u1 і u2	в довж координатни		осей x1	і x2 відповідно.

ис. .

по удови

атриці жорсткості

нео

ідно

адати

апрокси

ацію

не алежни

функцій

пере і

ен

по о

ласті

Е і пов

ати

і степен

и віл ності еле

ента.

фор

ули дл

варіаці

потенціал но енер і

20.1 видно,

о поліно

и дл

апрокси аці функці пере і

ен

x1, x2 і

u2 x1, x2

повинні

істити члени не нижче першо о пор дку. інійний поліно

від дво

інни

ає третій пор док.

трикутно о

число

постійни

коефіцієнтів

апрокси уючи

поліно

ів кожно

не алежни

функцій пере

і ен

природно дорівнює тр о .

априклад, дл

x1, x2

ає

x , x

x .

(20.2)

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

наченн

коефіцієнтів поліно

у вира и

о чере

пере

енн

ву лів

рис. .

, v1, v3, v5

о відповідают

пере

енню в довж осі x1 .

аки

чино

, u 1

v ;

0,0

;

u 2

l,0

а о в ко

пактно

апису

о в

ко систе

и лінійни

рівн н

наченн

коефіцієнтів поліно

20.2 ):

c 1 .

v ;

v v ;

v v .

Післ

підстановки ци

начен

у поліно

отри

ає

u x , x

x2 v

x1 v

v .

ункці фор

N x , x

x2 ;

x , x

x1 ;

x , x

виконуют

ро поділ ву лови

пере

ен

по о ласті

напр

ку x1 .

априклад,

функці

фор и N5 x1, x2

ро поділ є тіл ки ву лове пере

енн

v5 . Вона прий

ає

наченн

одиниці

дл координат

о ву ла

рис. .

до

ко о

віднесене

ву лове пере

енн

v5 .

координат

- о

,–

- о

ву лів функці

фор и N5 (x1, x2 )

на уває нул ово о

наченн .

оординати

довіл но

точки

ежа

(x(i)

x(i) )

функці

фор

N , N

, N

ви начают

вплив ву лови

пере

і ен

v , v , v

на пере

енн

u (x i

x i

)

у цій точці.

Ви наченн

пере

енн

напр

ку

осі

пов

ане

ву лови

пере і

енн

v2, v4, v6

рис. .

u2 x1, x2

N2 x1, x2 v2

N4 x1, x2 v4

N6 x1, x2 v6 .

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

	ис. .
ункці фор и N2, N4,	N6 ви начают с а тією ж с е ою,	о і N1, N3, N5 і
то у ожна вважати справедливи	и рівності N2 N1; N4 N3;	N6 N5 .

20.3. Матриця жорсткості трикутного скінченного елемента

Ви ідною дл

по удови

атриці жорсткості є фор

ула одо варіаці потенціал но

енер і дл

о ласті

Е 20.1 .

оефіцієнти атриці жорсткості

Е ви начают с

а стандартною с е

ою

;

0 v3

N1v1

N3v3

N5v5 ;

N2v2

N4v4

N6v6

N B ;

B N .

ро

орнутій фор і

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

N1x1

N1x2

x2 0

N2x2

N2x1

1 h

N3x1

N3x2

1 h

N3 0 N5

0 N4 0

0		N5	0
0		x1	0
		x1
N4		0	N6
x2		0	x2
x2			x2
N4		N5	N6
x1		x2	x1
1	0	1	0
l	0	l	0
l		l
0	0	0	1
0	0	0	h
			h
0	1	1	1
0	l	h	l
	l	h	l

;

(20.3)

		E	E .
Остаточно ає о
Ue	T	T	T	T
Ue	e edx	ve	Be EeBevds	ve Keve ,
s		s
де Ke BT EBds – атриц	жорсткості	Е.
s
20.4. Визначення зведених до вузлів сил в межах				Е

Всі	арактеристики	Е,	включаючи і	ро поділені навантаженн на		контурі,	вод т с	до
ву лів.	наченн ву лови	сил ви начают с		а фор улою дл	о численн	ро оти овнішні		сил
на ожливи пере і енн		.	о л не о варіант авантажено о		Е, пока аний на рис.		. , .

20. півві но енн	Е	п о о-напр ено	он тр ці	8

ис .

u qd x1

e Ne qedx1

e Qe ,

де Qe – вектор

ведени

до ву лів сил від ро поділено о навантаженн

в ежа

Е.

N2q2

Ne qed x1

q x

d x

q x d x1

Q .

N6q2

Очевидно,

Q1 Q3

0 .

q x d x

0 ,

2 1

о відповідає

наченню x2

0 дл

ліні , на рівні

ко ро ташовано навантаженн .

N4q2 x1 d x1 ,

N6 q2 x1 d x1 .

О численн ви начени інте ралів виконає о чисел но а фор улою і псона.

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

					1	1	рафік функці
					2	1	рафік функці
					2
							фор и N3
N	4	N	3	x1	;		рафік функці
	4		3	l
				l			навантаженн
							навантаженн

0 4

1 q3 q2 1 q

q3 2q2 l .

анало ічно

2q3

Ординати

рафіка

функцій

навантаженн

прийн ті

від є

ни

нако ,

орієнтаці

навантаженн

не співпадає

напр

ко координатно осі ox2 .

а ву лови

сил,

о відповідає навантаженню, на рис.

. ,

наведена на рис.

, .

ер ведено

до ву ла сили співпадає

но

еро

відповідно о ву лово о пере

енн див.

рис. .

20.5. Побудова матриці жорсткості і вектора зведенихдо вузлів сил моделі пластини

Введе о вектор пере		і	ен	ву лів	Е	пластини в	ло ал ній систе			і координат
				VT	1 2 3 4 2n 1 2n ,
де n – а ал не число ву лів				Е .
станови	о алежніст
						e IeV ,				(20.4)
де e – вектор пере і		ен		ву лів одно о		Е пластини	Ie –	атриц		відповідності Е, ка
а е печує ви ірку пере		і	ен	повно о на ору V одо конкретно о					Е.
а рис.	. пока ана с е а по удови атриці відповідності дл							- о	Е.

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

ис. .

	о	ери
	ву лів Е
	о-	ло		1		2		3		4		5		6		7		8
	кал	ал
	ний	ний		1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2

	1	2	1			1
	1	2	2				1
			2				1
	2	7	1													1
	2	7	2														1
			2														1
	3	6	1											1
	3	6	2												1
			2												1

о орнута фор		ула .		дл		- о	Е	ає ви л д:

3	1	0	0	0	0	0
4	0	1	0	0	0	0
13	0	0	0	0	1	0
14	0	0	0	0	0	1
11	0	0	1	0	0	0
12	0	0	0	1	0	0

8 .

20.

півві но енн

п о

о-напр

ено

он тр

ці

атриц

відповідності

дл

кожно о

скінченно о

еле

ента

оделі

конструкці

удуєт с

анало ічни

чино .

По удова

атриці жорсткості і вектора ведени

до ву лів сил

конструкці

виконуєт с в

наступній послідовності, починаючи

ов рівнова и конструкці

Te Ke

Te Qe ..

(20.5)

Ву лові пере

енн

Е у

ло ал ній систе

і координат по начені си

вола

. Вра овуючи

алежніст

20.4

у співвідношенні 20.

, остаточно отри

ає

(20.6)

KeIe V

ITKeIe

де

–

атриц

жорсткості

плоско–напружено

панелі,

еле

енти ко

о числюют с

шл

підсу

овуванн

коефіцієнтів

атриц

жорсткості скінченни

еле ентів,

ви начени

атрицею відповідності.

Аналі уючи фор

улу

ожна

ро ити висновок,

о у а ал но

у випадку ко поненти

вектора

ожливи

пере

ен

пластини V не

удут

нул ови

и, а в тако у ра і нулю

повинен дорівнювати

іст

ножника у дужка .

аки

чино

0 .

(20.7)

піввідношенн

ви начає

ате

атичний аспект скінченноеле

ентно

оделі

к систе и

лінійни

ал е ра чни

рівн н

стосовно дійсни

пере

ен

ву лів

конструкці в

ло ал ній

систе і координат від

адано о навантаженн ,

ке

арактери уєт с векторо

ведени

до ву лів

сил Q.

20.6. бчислення напружень у межах скінченного елемента і реакцій у в’язях

о поненти вектора напружен ви начают с відповідно до акону ука

e E e EBe e ,

де атриц B (20.3 дл плоско-напружено конструкці є числовою. Вектор ву лови пере і ен

e скінченно о еле ента теж числовий.

20. півві но енн

п о

о-напр

ено

он тр

ці

аки

чино

, ко поненти вектора напружен

не

алежат

від

координат

ежа

скінченно о еле

ента плоско–напружено конструкці не

інюют с .

о в

авши систе

у лінійни

рівн н

. ,

ви начи

о вектор ву лови

пере

ен

конструкці

і вектор ву лови

пере

ен

окре

о о

Ie V .

о стосуєт с

реакцій в овнішні

, то вони теж о числюют с

а стандартною с е

ою

де K ie –

атриц

жорсткості скінченни

еле

ентів,

о притичні до і- о ву ла, в

ко

у накладені

овнішні

і.

ву ла

ей

віл ни

ву ла

реакці повинні

дорівнювати

нулю, о

відповідає у

ова

рівнова и не акріплено о ву ла.

20.7. Прямокутний скінченний елемент плоско-напруженої конструкції

кінченноеле

ентні

оделі плоско-напружени

конструкцій пр

окутно

фор

природно

удувати

допо

о ою

пр

окутни

еле

ентів

ву ла

и у

вершина .

Вектор

ву лови

пере і ен

тако о еле

ента

ає вісі

ко

понент,

а функці

фор

удуют с

вно на основі

лінійни

поліно

ів

а ранжа

рис. .

апропонована

одел

дефор

овано о стану о ласті

скінченно о еле

ента еквівалентна

іпоте і лінійно о ро поділу пере і

ен

в довж координатни

осей.

ис. .

20.

півві но енн

п о

о-напр

ено

он тр

ці

ожний ву ол

ає два не алежни

пере і

енн

і u2

в напр

ку координатни

осей

x1 і

x2 відповідно. аки

чино , скінченний еле

ент

ає вісі

степенів віл ності і дл

апрокси

аці

пере

і ен у йо о

ежа

нео

ідно ви начити вісі

функцій фор

и.

початку по удує

о функці

фор

и,

о стосуют с

пере і

ен

u1 x1, x2 .

ер функці

фор

и співпадає

но

еро

відповідно о

й ву лово о пере і

енн .

N1 x1x2		L1 x1 L1 x2
N3	x1x2	L2 x1 L1 x2
N5	x1x2	L1 x1 L2 x2
N7	x1x2	L2 x1 L2 x2

1	x1	1	x2
1	a	1	b
x1	1	x2	x1
a		b	a
x2	x1x2 ,
b		ab

x1x2 . ab

1	x1	x2	x1x2	,
	a	b	ab

x1x2 , ab

Отри

ані

функці

фор и

неперервни и

функці

координат,

числові

наченн

ки

інюют с в

ежа 1

Ni 0. Одиничне

наченн

функці

фор

и прий

ає дл

координат ву ла

ки

пов

ано відповідне

ву лове пере

енн .

априклад,

N5 пов

ана

пере і

енн

ву ла

рис. .

ає координати x

x 3

b :

0,b

всі

інши

ву лів N5 (x1, x2 )

дорівнює нулю

N51

0,0

N52

a,0

a 0

N54 (a,b)

b a b

ункці , утворені

к до уток лінійни поліно

ів

а аточленів , на ивают с полілінійни

и.

Ви наченн

функцій

фор

дл

апрокси

аці

пере

ен

u2 x1, x2

у напр ку осі x2

виконуют с

а ти и ж правила

и, о і дл

пере

ен

x1, x2

, а то

у слід вважати справед-

ливи и такі рівності

N1; N4

N3 ; N5

N6 ; N8

N7 .

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

Отри ані функці	фор	и дают	о у вира ити пере і енн в довіл ній точці скінченно о
еле ента чере пере і	енн	йо о ву лів

N ,

а о в ро

орнутій фор

0 v4

N1v1

N3v3

N5v5

N7v7 .

N v

По удова

атриці жорсткості

Е виконуєт с

а стандартною с е

ою шл

перетворен у

фор улі,

о ви начає потенціал ну енер ію дефор

аці дл

о ласті скінченно о еле ента

d s ,

20. півві но енн

п о

о-напр

ено

он тр

ці

B11

B13

B15

B17

B22

B24

B26

B28

B31

B32

B33

B34

B35

B36

B37

B38

1 x1

x1 .

1 x2

1 x1

b ab

E EB ,

–

атриц

пружності,

складови

ко

є пара

етри

а е

дл

плоско-напружено конструкці

2 ,

2 1

B ,

t BT EB ds

T Ke .

ислові вектори

ожливи

і дійсни

пере і

ен

ву лів скінченно о еле ента винесені

а нак

інте рала.

атриц

t BT EB ds є

атрицею

жорсткості Е

еле

енти

ко

20. півві но енн		Е	п о	о-напр ено			он тр ці	16
о числюют с	в ре ул таті виконанн			дій	атриц	и під інте рало .		атрицю пружності E
апише о в ко	пактній фор		і.
			E	E11	E12	0
			E	E21	E22	0	,

0 0

де E11 E22 2	,	E12 E21 .
аки чино	ає	о

B11

B13

B15

s 0

B17

0 B31

B22 B32

0 B33

B24 B34

0 B35

B26 B36

0 B37

B28 B38

B11E11 B11E12

B22E21 B22E22

B13E11 B13E12

B24E21 B24E22

B15E11 B15E12

B26E21 B26E22

B17E11 B17E12

B28E21 B28E22

E11 E12

E21 E22

0 0

B31

B32

B33

B34

B35

B36

B37

B38

B11

B31

B11	0	B13	0	B15	0	B17	0
0	B22	0	B24	0	B26	0	B18	ds
B31	B32	B33	B34	B35	B36	B37	B38

0	B13	0	B15	0	B17	0	ds K
B22	0	B24	0	B26	0	B28	ds K
B32	B33	B34	B35	B36	B37	B38

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

к приклад, ро л не о о численн дво коефіцієнтів атриці жорсткості.

t B2

dx1

E11dx2

ab2

a2b2

a2b a2b2

2x2 a

2x2

2 x1

tE11

2ab

2 2

b 3a

3a b

(1 1 3)

3b2

E11b

t B B E

B B ds t

x2 x2

1 x1 x1

ab ab

ab2

a2b2

a b2

2ab2

3a2b2

a 1 1

a 2 2 b

tE11 3a2b2 0

t b2 2 3

tE11 3a2

6 b2

і ична сут

коефіцієнтів

атриці жорсткості

Е ви начаєт с

процедурою

о численн

кожний р док

атриці жорсткості

вл є со ою вектор реакцій у ву лі

Е в напр

ку ву лово о

пере і

енн ,

но

ер

ко о співпадає

но

еро

р дка,

від одинични

пере

ен

всі

інши

ву лів

Е.

той же час кожний стовпец

атриці жорсткості складаєт с

реакцій у ву ла

Е від

одинично о ву лово о пере

енн ,

но

ер

ко о співпадає

но

еро

стовпц .

аки

чино ,

коефіцієнт

атриці жорсткості kij по начаєт с

дво

а нижні и індекса

перший i

– відповідає

но еру р дка дру ий

j – но

еру стовпц

атриці жорсткості.

ви начені

дійсні

пере

енн

ву лів

скінченно о

еле

ента,

реакці у

ву ла

ви начают с

а принципо не алежності ву лови

пере

ен

у скінченно

у еле

енті

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

R K ,

а о в ро орнутій фор і

R1	k11	k12	k13	k18	v1
R2	k21	k22	k23	k28	v2
R3					v3

R8	k81	k82	k83	k88	v8

k11v1

k12v2

k13v3

k18v8

k21v1

k22v2

k23v3

k28v8

k81v1

k82v2

k83v3

k88v8

Вектор

ву лови

пере

ен

є ви начал ни

дл

о численн

напружен

в о ласті

скінченно о еле

ента

E11

E12

B11

B13

B15

B17

11 .

EB e

E21

E22

0 0

B22

B24

B26

B28

B31

B32

B33

B34

B35

B36

B37

B38

наченн ко

поненти

в ро

орнуто

у ви л ді ає ви л д

E11B11v1

E12B22v2

E11B13v3

E12B24v4

E11B15v5

E12B26v6

E11B27v7

E12B28v8

1 x2

x2 v

(20.8)

1 x1

v .

Анало ічно ожна ви начити інші ко поненти вектора напружен .

20. півві но енн

п о о-напр ено

он тр ці

к	видно і співвідношенн	20.	,	напруженн по о ласті	Е ви начают с лінійни	и
функці	и координат і є, таки	чино	,	інни и величина и.	ожній точці координата	и
x1, x2	відповідают наченн ко	понент вектора напружен .

20.8. зопараметричний скінченний елемент плоско-напруженої конструкції

Процес створенн

скінченноеле ентно

оделі конструкці

складаєт с

декіл ко

етапів,

перши

ки

є по удова сітки скінченни

еле

ентів,

ви ір

ло ал но

систе

и координат

стосовно

ціло

конструкці

локал но

систе

–

пов

ано

скінченни

еле

енто .

Відповідал ни

етапо

є ви наченн

функцій фор

и,

кі

а е печуют

ви наченн

пере

ен

ежа

Е чере

пере

енн

йо о ву лів.

рі ні спосо и по удови функцій фор

и,

але вони

повинні

а е печити виконанн

декіл ко у

ов стосовно апрокси

аці

функцій пере

ен

виконанн

у ов неро ривності пере

ен

не тіл ки у ву ла

скінченни

еле

ентів, але й

на

раниц

а е печенн

ереженн

по ідни

від функцій пере

ен ,

о в од т

до пружно о

потенціалу Ue ;

ура уванн

пере

і енн

скінченно о еле

ента

к жорстко о ціло о.

е о начає,

о при

енні

к твердо о тіла, ко

поненти вектора дефор

ацій дорівнюют

нулю.

Вра овуючи те,

співвідношенн

Е фор

уют с

локал ній

систе

і координат,

то

перелічені ви

о и

одо функцій фор и виконуют с

авто

атично,

о осі локал но

систе

орієнтовані по сторона

скінченно о еле ента.

акі випадки

ают

ісце дл

Е стержневи

конструкцій, пр окутни стінови панелей, пр окутни плит.

Але на практиці

устрічают с

конструкці

контуро

довіл но о

окресленн .

ц о

випадку

доводит с

виконувати

перетворенн

дл

апрокси аці пере

і ен

ло ал ній систе

і координат, о при водило до

ро ривів

пере

ен

на

раниц

скінченни

еле

ентів

і,

наслідок

–

до

втрати

точності

на лижени

ро ра унків

рис. .

, ).

Виникла

іде

відо ра ити

плоский чотирикутний

скінченний

еле

ент

а ал но о

виду

на

квадрат

локал ною

систе

ою координат

o ,

початок

ко

центрі

квадрата

ос

и,

орієнтовани

и по йо о сторона

рис.

. , ).

20. півві но енн	Е	п о о-напр ено	он тр ці	21

ис. .

подал шо о використанн

Е у фор

і квадрата, нео

ідно встановити в ає но одно-

начний

ок

іж

локал ни и координата и

довіл но о

чотирикутно о

локал ною

систе

ою координат

Е у фор

і квадрата

f1 x1, x2

x1 1 ,

x , x

та

, .

(20.9)

квадратно о

функці

фор

удуют с

досит

просто.

Введе

величини

де

, – поточні координати

i , i – координати ву лів

Е.

ункці

фор

и ви начают с

а фор улою N

1 1

і відповідают

усі

ви

о а

одо функцій фор

на увают

наченн

одиниці дл

координат ву ла,

ки

пов

ане відповідне ву лове

пере і

енн

і нул ово о

наченн

дл

координат інши

ву лів

є неперервни и функці

и в систе

і координат, осі ко орієнтовані по сторона

Е.

априклад, дл ву лово о пере

енн

v3 ,

пов

ано о

ву ло

координати

ко о

рис.

. ,

, функці

фор

и на

уває ви л ду

при

)

, 1 1

першо о ву ла

1, 1

1 0.

дру о о ву ла

20. півві но енн

п о

о-напр

ено

он тр

ці

трет о о ву ла

1,1

0 .

четверто о ву ла N3 1,1

0 .

аступни

кроко

фор

уванн

скінченноеле

ентно

оделі є по удова

атриці жорсткості

Е.

K e

BT EB ds ,

де

B N 0

N8 .

понента

атриці

B є часткові по ідні від функцій фор

и, ви начени у локал ній

систе

скінченно о

еле

ента,

по

координата

ло ал но

систе

и ox1x2 , в

кій

ви начают с

співвідношенн

теорі

пружності. Вважаючи на вніст в ає оодно начно о в

ку

іж координата

и систе

ви начи о часткові по ідні від функцій фор

и по координата

локал но систе

и, вважаючи

функці

и координат

ло ал но систе и

, (i 1,2,3...8) .

ко

пактно у

апису дл

часткови

по ідни

кожно функці фор

и ає о

а о

20. півві но енн Е п о о-напр ено он тр ці 23

(20.10)

де

x .

атриц ,

складена

часткови

по ідни

від функці

ло ал ни

координат по координата

локал но

систе

и на иваєт с

атрицею

ко і.

е – числова

атриц і

авд ки ц о

ає

о у ви начати часткові по ідні від функці

фор

по координата

ло ал но

систе

и.

співвідношен

20.

дл кожно функці фор

ає

J 1

1,3,5,7) .

Все уло

просто,

к и на

ули відо

і співвідношенн

о встановлюют

в ає

о-

одно начний

ок

іж систе а и координат.

подоланн

ціє

про ле

астосовано

ви наченн

координат

точок

ежа

тією

ж с е ою,

о і

ви наченн пере і

ен

координати довіл но

точки ви начают с

по координата

ву лів

використанн

функцій

фор

и дл

пере

і ен

NX ,

(20.11)

– вектор координат внутрішн о

точки

Е у

ежа

довіл но о чотирикутно о

Е в

де x

ло ал ній систе

і координат

X11 X21

X22 X1

X23

X24

– вектор координат ву лів

Е в

ло ал ній

систе і.

піввідношенн . у ро орнутій фор і ає ви л д

20.

півві но енн

п о

о-напр

ено

он тр

ці

X11

X21

X13

X23

X24

N X 1

(20.12)

N2 X21

N4 X22

N6 X23

N8 X24

ко

у вер ні індекси в дужка

іл

ко понент вектора ву лови

координат о начают

но ер

ву ла

Е.

ура уванн 20.

кожен

еле

ентів

атриці

ко і о числюєт с

а с е ою

N3 X

а фор

ула,

о ви начає

атрицю ко і в ко

пактній фор

ає ви л д

X11

X21

X22

X13

X23 .

X24

Перед ачено,

дл

плоско–напружено

конструкці

виконуют с

рівності

N1,

N3,

N5,

N7.

наслідко

не алежності

пере і ен

u1 i u2 у довіл ній точці конструкці

в напр

ку осей x1 i

x2 , відповідно.

О численн

часткови

по ідни

від функцій

фор

по

координата локал но

систе и

скінченно о еле

ента у фор

квадрата не пов

ано

трудно

и,

о функці фор

и ви начені

в локал ни

координата

ц о о ж

Е.

20. півві но енн Е п о о-напр ено он тр ці 25

априклад

асткові по ідні є функці

и координат локал но

систе

и координат

Е у фор

і квадрата.

оефіцієнти атриці жорсткості

Е о числюют с

а фор улою.

detJ d d .

G ,

О численн

ви начено о інте рала виконуєт с чисел но

а квадратурни и фор

ула

и ауса.

о л нутий скінченний еле

ент,

ежа

ко о апрокси

аці

функцій пере

ен і

ео

етрі

виконуєт с

а однією

с е

ою, на иваєт с

і опара етрични

еле

енто .

пор док

апрокси уючо

функці

дл

ео

етрі

нижче пор дку апрокси уючо функці

дл

пере і

ен ,

еле

ент на иваєт с

су пара

етрични

випадку,

коли пор док апрокси уючо

функці

дл

ео

етрі

ви

ий,

ніж

дл

апрокси

аці

пере

і ен ,

скінченний

еле

ент

на иваєт с

суперпара

етрични .

О П А

піввідношенн

Е дл пластини,

инаєт с

Зміст глави

21.

. Ви ідні положенн

іпоте и

ір

офа

. Пере і

енн

в пластині

ефор

аці в ежа

пластини

апруженн

в пластині

. Внутрішні

усилл

о ота внутрішні

сил

. Пара етри скінченно-еле

ентно оделі

. По удова функцій фор

Е пластини

атриц

жорсткості

Е пластини. Вектор

ведени

ву лови

сил Е

21.

атриц

жорсткості

пластини

оджений пр

окутний скінченний еле

ент пластини,

инаєт с

21.1.

Вихідні положення

Пластина – це при		атичне а о циліндричне тіло, висота ко о					начно		енша ро		ірів у плані.
о ір по висоті t на иваєт с тов			иною пластини рис. . .
Пло ина,	о ділит	висоту пластини навпіл на иваєт с серединною а о								а овою пло иною.
іні перетину оково повер ні			серединною пло иною на иваєт с					контуро		пластини.
онкою вважаєт с		пластина,	дл	ко	відношенн	тов ини до		еншо о ро			іру в плані
на одит с	в ежа	t b 5. Пластина			вважаєт с	жорсткою,	к	о	під	дією	поперечно о
навантаженн	най іл ший про ин при			дефор аці на переви ує			/5 тов		ини.

лаву написано кандидато те нічни наук доценто А. . е остаєви

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	2

ис. .

ежи

ос

ро

л до

пр

окутно

пластини.

Введе о

систе у

координат Ox1x2 x3 ,

початок

ко

і осі

1 та

ро ташовані в серединній пло

ині. Віс

3 – орієнтована по нор

алі

до серединно пло

ини.

адачу

уде о ро в

увати в пере і

енн

довіл ній точці пластини,

ка ро

л даєт с

триви ірне тіло,

про вл ют с

три пере і енн

u1, u2,

u3. Ви начал ни

є пере і енн

по

нор алі до серединно пло

ини,

ке на иваєт с про ино

і по начаєт с си

воло

w .

адача вважаєт с ро в

аною,

о від

адано о навантаженн

а це

вичайно рівно ірно

ро поділене, нор

ал не до повер ні навантаженн

встановлено спосі

о численн

пере і

ен

u1, u2,

w у довіл ній точці пластини.

піввідношенн

удуют с

на

основі положен

те нічно

теорі

пружності,

апропоновани фі ико

ір офо .

21.2.

іпотези Кірхгофа

іпотеза прямих нормалей стверджує,

уд -

ка пр

а ліні ,

нор

ал на до серединно

пло

ини

недефор овано

пластини,

алишаєт с

пр

ою і

нор ал ною

до

серединно

повер ні дефор

овано пластини, а довжина пр

о ліні не

інюєт с .

ут

ціє іпоте и пол

ає у відсутності

суву

іж шара

и пластини по тов ині.

о осі декартови

координат ро і

ені так,

о пло

ина Ox1x2

і аєт с

серединною

пло

иною, то і першо частини

іпоте и випливают

такі рівності

0 .

іпоте а про не

інюванніст

довжини пр

ліні

лінійна дефор

аці

в напр

ку осі x3

дорівнює нулю 33

0 .

іпотеза про відсутність тиску іж шара

и пластини,

паралел ни

и до серединно повер ні

припускає,

о напруженн

порівн но

напруженн

та

ожна не тувати,

то то 33 0.

21.

півві но енн

п а тини

гина т

3. іпотеза про недеформованість серединної площини припускає,

о в серединній пло ині

пластини відсутні дефор

аці

ро т

у,

стисненн

суву.

о то серединна

пло ина є

нейтрал ною. Отже у серединній пло

ині пере

і енн

u(x1, x2,0)

u2 (x1, x2, 0)

21.3. Переміщення в пластині

Відповідно до

іпоте и

про відсутніст

суву шарів,

ає

(21.1)

x .

Післ

інте руванн

по x3 ,

ає о

w x

x x

w x

x x

1 2

Постійні інте руванн

f1(x1,x2 ) та

f2 (x1,x2 )

ви начи

о дл

ежа

серединно

пло

ини,

ідно

іпоте ою

відсутніст

пере

ен

0; u2

0 .)

відси f1 x1x2

0, f2

x1x2

аки

чино

ає

о,

u x x x

w x

(21.2)

x x x

w x

Проаналі ує	о всі пере	і	енн	в довіл ній точці в ежа		пластини
а серединній пло		ині про вл єт с			тіл ки про ин	ідно іпоте ою рис. . , в довіл ній
точці на нор	алі, про ини		удут	такі ж,	к і у відповідній точці на серединній повер ні.

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	4

		ис. .
Пере і енн по x1	та x2 виражают с	чере	функцію про инів ідно 21. . ска ано о о-
жна ро ити висновок,	о дл о численн	пере	і	ен	у довіл ній точці в пластині достатн о ви -
начити функцію про инів серединно повер ні			w	w x1x2 .
авд ки іпоте а	ір офа, адача про	ин триви			ірно о тіла стає двови ірною.

21.4. еформації в межах пластини

л ви наченн дефор аці використає о такі рівн нн

x ,

11 3

22 3

2 12x3 .

2 x x

ру і по ідні від функці

про инів по координата x1 та

ают

на ву кривин а о

инал ни

дефор ацій

;

та дефор

аці крученн

x1 x2

21.5.Напруження в пластині

лви наченн напружен використає о фі ичні рівн нн теорі пружності

		1

	11	E
		E
	22	1
	22	E
		E

11	22	33	;		12 ;
				12	G

22	11	33	;		0 ;
				13

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	5

33 0 ;

а о

	1
	E 11
11	E 11
22	1
22	E	22
	E

23 0 .

	E	22,
	E	(21.3)
		(21.3)

E 11.

о в	же о систе			у рівн н			. відносно напружен
							11	E
								E
							22	1
						11	22	E			E		2				22		.
						11	1			1			2	11			22
							1			1
							E	E
								1
							E	E
Анало ічно
							22		E	2	(	22		).
							22	1		2		22			11
								1
Пода	о напруженн ,				к функці про инів
				Ex		2w	2w				Ex					v			,
	11			3								3				v		22	,
	11	1			2 x12		x22			1 v2				11				22
		1			2 x12		x22			1 v2
				Ex		2w	2w				Ex					v			,
	22			3								3			22	v			,
	22		1			2 x22	x12			1 v2					22			11
			1			2 x22	x12			1 v2
		G				E		2x		2w				Ex				2w		Ex	.
		G				2 1		2x							3	x x				3	.
	12			12		2 1		3 x x						1		x x				1 v	12
										1	2							1	2
о	стосуєт с		напружен				13	G 13		і	23			G 23 ,		то			ви одит ,		о вони повинні
дорівнювати нулю. Але таке положенн								не відповідає рівн нн									рівнова и.

21. півві но енн	Е	п а тини		о	гина т		6

		11	12	13		0,
		x1	x2	x3
		21	22		23	0.
		x1	x2	x3

о л дає о навантаженн , нор ал не до серединно пло ини.

					13				11			12				Ex			3w							3w
					13				11			12						3
				x			x			x						1		2 x3							x x2
					3				1			2									1					1	2
		E x				2w					Ex							2w							2w		2w	2w
		3		x2	x1 x2								3		2 x1			x12							x22		x22	x22
		1		x2	x1 x2					1					2 x1			x12							x22		x22	x22
		Ex					2w		2w							Ex						2
			3				x12		x22							3						2		w,
		1		2 x1											1		2 x1							w,
		1		2 x1											1		2 x1
де	2	2		2	– оператор					апласа.
де	x2			x2	– оператор					апласа.
	x2			x2
		1		2
	Остаточно дл		напружен				13	і	23			ає			о наступні диференціал ні рівн нн
							13		23
									13						E x3						2	w
									x					1		2		x				w
									x							2		x
										3								1
															E x3										.			(21.4)
										23					E x3						2		w
									x					1		2		x					w
									x							2		x
										3								2
	Ви начи	о дотичні напруженн							шл		о			інте руванн							по x3 (21.4):
												Ex2							2
									13						3		x		2	w f3 x1x2 .
									13	2 1						2	x			w f3 x1x2 .
										2 1								1
	Постійну	інте руванн					f3 x1x2			ви начи о								у	ов ,						о	на	рівні	о ежуючо повер ні
пластини x		1	дотичне напруженн									13			0.
	3	2										13
		2

21.	півві но енн		Е		п а тини		о	гина т		7

			x3	t	Et2		2w f
	13		x3	2	Et2	2	2w f		x x	0 ,
	13				8 1	2	x		3 1 2
					8 1		1
відки	f		x x		Et2			2w.
відки	f		x x				x	2w.
		3	1	2	8 1	2	x
					8 1		1

Остаточно

	Ex2		2		Et2			2
13	3	2 x	2	w			x	2	w .
	2 1			w	8 1	2			w .
						2
		1					1

E		t2	x2		2w;
2 1	2	4	3	x1
	2

		анало ічно
E		t2	x2		2w.
2 1	2	4	3	x2
	2

аки чино і пере і енн і напруженн в ежа пластини є функці и про ину рис. .3).

ис. .3

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	8

21.6. Внутрішні зусилля

Внутрішні усилл о числюют с на одиницю ширини перері у пластини рис. .4).

												ис.		.4
			t											t
			2				E							2
	N			dx			E	2					22		x dx			0 .
	11			11	3	1		2		11			22		3		3
			t			1								t
			t											t
			2											2
			t														t
			2						E								2	x2dx
	M				x dx				E
	M	11		11	x dx										22
		11		11	3	3		1		2		11			22			3	3
			t							2							t


			2														2
												t
				E							x3	2
										22
				1	2	11				22	3		t
					2

													2
			Et3									D							D	2w		2w	,
					2				22			D					22		D	2		2	,
			12 1		2	11			22				11				22			2		2
			12 1																	x1	x2
де D	Et3		2 – циліндрична жорсткіст									пластини.
де D	12 1		2 – циліндрична жорсткіст									пластини.
	12 1
					t								t
					2						E		2	x2dx					Et3
			M				x dx			1	E			x2dx					Et3		x .
				12	t	12	3	3		1		12			3	3		12 1		12	1
					t								t
					2								2

21.	півві но енн									Е				п а тини						о		гина т														9

Остаточно дл						ви наченн							инал ни					о		ентів		і	о ентів скруту							на		одиницю ширини
перері у пластини						ає	о такі фор						ули
	M					D				x					D		2w			2w			,
	M			11		D				x	22				D		x2			x2			,
				11			11				22						x2			x2
																		1			2
	M					D				x					D		2w			2w			,
	M			22		D		22		x					D		x2			x2			,
				22				22			11						x2			x2
																		2			1
	M					D 1								D 1					2w				M		.
	M			12		D 1								D 1									M	21	.
				12						12								x1 x2						21
																		x1 x2
По онна поперечна сила на одиницю ширини перері у пластини
t															t																					t
2															2																					t
2							E						2		2		t	2		2					E					2		t	2		3	2
							E						2				t			2					E					2		t			x3
Q1	13dx3					2 1			2 x					w			4		x3 dx3					2 1		2		x			w	4 x3			3	t
	t					2 1					1				t									2 1				1								t
	t														t																					2
	2														2																					2
	2														2
	x					Et						2w				D		2w
11	11	3			2 1		2		x								x
					2 1					1								1
Ви начи		о напруженн							чере				усилл , ви од чи і співвідношен
						Ex			2w				d 2w
							3																	Ex3 12 1						2
						1	2		x12					x22						Ex										2		12x
		11				1	2		x12					x22						Ex												12x
		11																		3														3 .
	M								2					2						2							2		3				t	3
	M		11				D	w					d w					1			D				1			Et					t
			11				D	w					d w					1			D				1			Et
								x2					x2
										1					2
									11		12M11x3					,
													t3
									22		12M22x3					,
													t3
									12		12M12x3 .
													t3

21.

півві но енн

п а тини о

гина т

x32

E 12 1

6 t2

2 1

2 D 2 1

2 Et3

x3 .

6Q1

6Q2

Величини

поперечни

сил

і Q2 ви начают с

операторо

апласа

і то у виникают

складно і

числови

и ви наченн .

л не

о у ови рівнова и нескінченно

ало о фра

ента

а ово

повер ні пластини від ді

ро поділено о навантаженн q(x1, x2 ) нор ал но о до

а ово повер ні

рис.

.5).

ис. .5

Fx3

x1, x2 .

M dx

M11 dx

M12

Q1 dx

dx dx

2 1

dx1

Q dx

dx1

q(x , x )dx dx

dx1

1 2

2 1 2

1 2

1 2 2

21. півві но енн Е п а тини о гина т 11

M dx

M11 dx dx

1 2

12 1

M12 dx dx

Q dx dx

Q1 dx2dx

1 Q dx2dx

2 1

1 1 2

2 1

1 Q2

dx dx2

1 Q dx2

1 q ( x

, x

)dx2dx

2 x

2 1

Анало ічно

аписуют с рівн нн

ентів відносно осі

x1 .

Післ

скороченн на dx2dx1 і

не туванн али

іл ш високо о пор дку , одержи

о рівн нн

M11

M12

M21

M22

21.7. обота внутрішніх сил

Відповідно до теоре и лапейрона ро ота внутрішні сил дл триви ірно о тіла ви начаєт с фор улою

U	1									2											dx dx dx .
U					22		22		33	2	12					13		23		23	dx dx dx .
	2		11	11	22		22	33	33		12	12				13	13	23		23		3	2	1
	2	v
о стосуєт с			пластини, то напруженн						33 ,		13 і		23			начно		енші інши				ко	понент і то у
ни и не туют .
Остаточно фор			ула дл		ви наченн			ро оти внутрішні						сил на уває ви л ду
			U		1						2					dx dx dx .								(21.5)
			U						22	22	2	12				dx dx dx .								(21.5)
					2 v		11 11		22	22		12		12			3	2	1
					2 v
Вра овуючи		наченн		дефор		ацій,		к функцій про ину							а ово повер ні
								x ,		22		22	x ,				= x
							11	11	3	22		22		3		12		12	3
і виконавши де кі			ате	атичні перетворенн						.	, остаточно отри							ає	о

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	12

11	x		22	x	22	2	12	x		dx dx dx
	3	11		3				3	12	3	2	1

dx dx ,

2 s

де M11

11 3dx3 –

по онний

инал ний

ент відносно

осі

x2 , кий

вл є со ою

інте рал ну

арактеристику нор ал ни

напружен

у напр

ку осі x1 ;

M22

22 3dx3 – по онний

инал ний

ент відносно осі x2 ;

M12

12 3dx3 – по онний

ент скруту.

о ота

овнішні

ро поділени нор

ал ни

до

а ово повер ні сил ви начаєт с

фор улою

А=

q(x1, x2 ) wdx1dx2 .

атричній фор

і співвідношенн

одо ро оти внутрішні

сил

ают

ви л д

ds ,

2 s

де

;

2 12

x x

21. півві но енн Е п а тини о гина т 13

M22 ;

E D

2 12

M12

ут D

Et3

– циліндрична жорсткіст

пластини

12 1

– коефіцієнт Пуассона

E – атриц

пружності

– вектор дефор ацій по о ласті серединно повер ні пластини, ко

понента

и ко о є кривини

– кривина серединно повер ні у напр

ку осі

– у напр

ку осі

–

ішана кривина серединно повер ні

x1 x2

– вектор напружен

по о ласті пластини, складови

ко о є по онні

инал ні о

енти і

ент скрути.

ура уванн

усі

введени

по начен

функціонал

повно

потенціал но енер і

тонко

жорстко пластини,

инаєт с прий ає ви л д

T ds

q x

, x

wds .

(21.6)

2 S

21.8. Параметри скінченно-елементної моделі

Пластину	пр окутни	контуро ро діли		о на скінченні еле енти теж пр окутно фор и
рис.21.6, .	іпоте и ір	офа дают	о у ро	л дати скінченний еле ент пластини у ви л ді
пр окутника	к частини серединно пло		ини рис.21.6, ).

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	14

ис.	.6
ефор ований стан пластини ви начаєт с функцією про инів серединно пло ини і то у
адача вважати ет с ро в аною, к о ц функці	уде ви наченою

w x1, x2 .

Вра овуючи те,

о функці , ку тре а ви начити є неперервною,

апрокси

ацію

виконає о

поліно

. о функціоналу повно

потенціал но енер і

в од т

дру і по ідні від функці

про инів. А то

у ступін

апрокси

уючо о поліно

ає

ути не

енше 2- о пор дку. Постійні

коефіцієнти поліно

у ви начают

чере

ву лові пере

енн

скінченно о еле

ента,

іні

ал не

число

ки

дл

кожно о ву ла дорівнює тр о

рис.21.6,

лінійне пере

енн про ин

w та

два кутови

пере і

енн

, i

відносно координатни

осей x

та

x .

еруючис

прийн ти

и у те нічній теорі

ину пластин по наченн

и,

уде

о вважати

;

w .

Викладені

іркуванн

дают

о у

ро ити висновок,

о апрокси

ацію про инів

по о ласті

скінчено о еле

ента

ожна виконати неповни

поліно

- о ступен

від дво

інни

w x x

x x

x x2

x3x

x x3 .

ко пактно у

апису апрокси

аці

лінійни

і кутови

пере і

ен

ежа

скінченно о

еле ента

ає ви л д

p ,

w x1x2

w,1 x1, x2

21. півві но енн Е п а тини о гина т 15

x1, x2

(21.7)

оефіцієнти

поліно у

вира и

чере

пере

енн

ву лів

скінченно о

еле ента.

Використовуючи вже викладену

етодику, сфор

ує

о систе

у ал е ра чни

рівн н

відносно

постійни

коефіцієнтів поліно

i ,

підставл ючи координати ву лів скінченно о еле

ента у

функці

пере

і ен

x1x2

1 x1 x2 x1

x1 x2

x1x2

x1 x2

x1x2

2x x

3x2

3x2x

(21.8)

w,3

0 0 1 0 2x

2x x

0 3x2

3x x2

оординати чотир о

ву лів

a ,0), (0, b ), (a,b

рис.

.6, по чер і підставл ют с в

(21.8).

ре ул таті

утворюєт с

систе

су існи

лінійни

ал е ра чни

рівн н

дванадц то о

пор дку відносно постійни

коефіцієнтів поліно

а i

ка в ко

пактно

апису

ає ви л д

де

–

вектор

ву лови

пере

ен

–

атриц

коефіцієнтів

при

невідо и

i (i

...,

12 );

– вектор коефіцієнтів поліно

а.

о в

ок систе и виконуєт с

а стандартною с е

ою

C 1 .

(21.9)

атриц

C є числовою

атрицею і складаєт с

координат ву лів

Е.

учасні о числювал ні

асо и дают

о у

е про ле

отри

ати воротну

атрицю C 1,

о в одит до

. .

21. півві но енн Е п а тини о гина т 16

21.9. Побудова функцій форми

Е пластини

ункці

фор

и ви начают

вклад кожно о

ву лови

пере

і ен

в наченн

про ину wA в

довіл ній точці A(x1, x2 ) скінченно о еле ента

рис.

.6,

w x1, x2

N .

(21.10)

е N

атриц

функцій фор

– вектор ву лови

пере і

ен .

Підстави

о в перше рівн нн

21.7 співвідношенн

одо ко

понент вектора коефіцієнтів

поліно а

. Отри ає

о наступну

алежніст

w x1, x2

p pC 1 v .

(21.11)

Порівнюючи

21.10)

(21.

оже о

ро ити

висновок,

атриц

функцій фор и

ви начаєт с

рівн нн .

pC 1 .

(21.12)

21.10. Матриця жорсткості

Е пластини. Вектор зведених вузлових сил

Ви оди о у

ов рівнова и навантажено пластини

U A

0 .

ор ула дл

о численн

ро оти внутрішні

сил на

ожливи

пере

і енн у ежа

Е ає

стандартний ви л д

T ds .

(21.13)

Вектор дефор

ацій

ви начаєт с

чере ву лові пере

енн

pC 1

B C 1

(21.14)

аки же чино

ви начаєт с

і вектор напружен

EBC 1 .

(21.15)

Підстави о

, вра овуючи ді ,

о стосуют с

транспонуванн

атриц

21.

півві но енн

п а тини

гина т

1 T

Остаточно отри ує о фор улу

дл

ви наченн

ро оти

внутрішні

сил

на

ожливи

пере

і енн

ежа

ds .

B EBC

Винесе о

нак інте рала всі числові

атриці

T K ,

де K

C 1

BT EBds

C 1 –

атриц

жорсткості

Е пластини.

атриц

B в ро орнутій фор

ає ви л д

0 0 0 2 0 0 2x2

6x1

6x1x2

B P

0 0 0 0

2 0 0

2x1

6x2

6x1x2 .

0 0 0 0 0 2 4x

6x2

О численн коефіцієнтів

атриці жорсткості

Е пов

ано

інте руванн

атриц

високо о

пор дку,

ке реалі уєт с

на ко п ютері

використанн

чисел но о інте руванн , наприклад,

квадратурни

и фор

ула

и ауса.

Ви ідною дл

по удови вектора

приведени

ву лови

сил є фор

ула,

о ви начає ро оту

овнішні

сил на

ожливи пере і

енн

wqds

1 T

(21.16)

N qds

P qds

QS .

Перетворенн

виконані

ура уванн

співвідношен

21.10

і 21.12).

Вектор ведени

ву лови

сил,

о відповідают

рівно

ірно ро поділено у навантаженню в

інтенсивністю q ви начаєт с

рівн нн

q ds ,

(21.17)

21. півві но енн	Е	п а тини о гина т	18

і при виконанні всі дій в	21.	остаточно на уває тако о ви л ду

T	ab		ab		ab		ab
QS	4	q 0 0	4	q 0 0	4	q 0 0	4	q 0 0 .

21.11. Матриця жорсткості

ЕМ пластини

По начи

w1 w,1(1) w,2(1) w2 w,1(2) w,2(2) w(15) w,1(15)

w,2(15) w(n)

w,1(n) w,2(n)

– вектор пере

ен

ву лів Е -

оделі пластини.

піввідношенн

I eV , де

I e

–

атриц

відповідності еле ента,

ка

а е печує ви ір

ву лови

пере і

ен

одо одно о

повно о на ору пере і

ен

ву лів

Е –

оделі пластини.

Починаючи

ов

рівнова и

пластини,

викладе

всю

послідовніст

дій, пов

ани

по удовою

Е-

оделі пластини в

ате

атично

у аспекті

e Ke e

U A

e 1

KeIeV

Ie Qe

K V Q 0.

e 1

о л не

о випадок, коли

ожливі пере

енн

ву лів

Е V

0 , тоді

KV Q

I e K eI e

I e Qe

де

та

–

відповідно

атриц

жорсткості

вектор

ведени

e 1

ву лови

сил

пластини.

аки

чино

, у

ате

атично

у аспекті

Е –

одел

пластини

вл є со ою систе

у лінійни

ал е ра чни

рівн н

стосовно пере

ен

ву лів

ло ал ній систе і координат.

1 *

ведені співвідношенн дл

Е пластини отри

ані

лафо .

21. півві но енн Е п а тини о гина т 19

21.12.

Узгоджений прямокутний скінченний елемент пластини, що згинається

При

ині пластини неперервніст

іж еле

ента

и слід

адовол н ти не тіл ки дл

функцій

про ину, а також і дл

перши

по ідни , ліквідуючи, таки

чино ,

ло

и на раниц

еле

ентів.

неу

оджено

у еле

енті

лафа неперервніст

на

раниц

ері аєт с

тіл ки дл

про инів.

еперервніст

одо

кутови

пере

ен

адовол н єт с

тіл ки

ву ла .

ос

ненн

сприйн тливо

точності ре ул татів

а допо

о ою таки

еле

ентів потре ує використанн

досит

усти

сіток дискретно

оделі.

л не

о скінченний еле ент

чотир

а ступн

и віл ності у ву лі

w i ,

w i

,w i

w i

, (i=1,2,…, n),

,x1

,x2

,x1x2

кі ви начают

про ин w і по ідні

w i

; w i

,x1

,x2

о відповідают

кутови

пере

енн

навколо осей

та

етвертий ступін

віл ності

стосуєт с

дефор

аці

скруту у ву лі. Вер ній індекс у дужка

ви начає но

ер

x x

x1x2

ву ла.

кінченний еле ент

а ступн

и віл ності

а е печує на

раниц

Е су існіст

к по

про ина , так і по кута

повороту.

ункці

фор

дл

тако о

еле

енту

ожна

аписати

вно у

ви л ді

скориставшис

функці

и Ер

іта

рис. . .

отри

анн

поліно

ів H01(x2 ), H11(x2 ), H02 (x2 ), H12 (x2 )

нео

ідно

інити на

– на

2 у відповідни

поліно

а .

Ви наченн

функцій фор и наведено в та

л. .

. Апрокси аці

функці

про инів у

ежа

виконуєт с

а стандартною с е

ою

w x1, x2

Nivi ,

а о в

атричній фор

w x1, x2

N .

л не

о де кі функці фор и в ро

орнуто

у ви л ді і перевіри о

відповідніст

ви

о а

до функцій фор

прий

ати

наченн

дл

координат ву ла,

ки

пов

ано відповідне цій

функці

фор

и ву лове пере

енн ,

наченн

– дл

координат інши

ву лів.

л не

функцію фор

и N1, пов

ану

v1 (рис.

21. півві но енн Е п а тини о гина т 20

	N H		x H		x		1	2x3		3ax2	a3 1		2x3	3bx3	b3
	1		01	1	01	2	a3	1		1		b3	2	2
							a3					b3
1	4x3x3			6bx3x3		2b3x3		6ax2x3		9abx2x3			3ab3x2	2a3x3		3a3bx3	a3b3 .
	4x3x3			6bx3x3		2b3x3		6ax2x3		9abx2x3			3ab3x2	2a3x3		3a3bx3	a3b3 .
a3b3	1	2		1	2		1	1	2		1	2	1		2	2
a3b3

2x3

3ax2

;

H x

2ax2

a2x

;

2x3

3ax2

;

ax2 .

ис. .

л координат першо о ву ла

1=0 2=0): N1=1;

дру о о ву ла 1

2=0):

3 2b3a3

3a3b3

a3b3

0 ;

a b

трет о о ву ла

1=0

2 ):

3 2a3b3

3a3b3

a3b3

0 ;

a b

четверто о ву ла

): N1

4a3b3 6a3b3 2b3a3

a3b3

2b3a3 6a3b3 9a3b3 3a3b3 2a3b3 3a3b3 a3b3

1	18a3b3 18a3b3 0.
3 3	18a3b3 18a3b3 0.
a b

21.	півві но енн					Е			п а тини				о		гина т											21


			ву ла		тупін				Ву лове				ункці				Ви наченн						функці
			Е		віл ності				пере і		енн		фор		и				фор			и

						v1			w 1				N1				H		01	x	H		01	x	2
																			01	1			01		2

						v2			w,x1				N2				H		11	x H			01	x	2
			1							1									11	1			01		2

						v3			w,x1				N3				H		x H				11	x	2
						v3			w,x1				N3				H		x H					x
										2									01	1
						v4			w,x1 x		2		N4				H		11	x H			11	x	2
									1		2								11	1			11		2
						v5			w 2				N10				H		02	x	H		01	x	2
																			02	1			01		2

						v6			w,x2				N7				H		12	x H			01	x	2
			2							1									12	1			01		2

						v7			w,x2				N6				H		02	x H			11	x	2
						v7			w,x2				N6				H			x H				x
										2										1
						v8			w,x2 x		2		N8				H		12	x H			11	x	2
									1		2								12	1			11		2
						v9			w 3				N9				H		01	x	H		02	x	2
																			01	1			02		2

						v10			w,x3				N10				H		11	x H			02	x	2
			3							1									11	1			02		2

						v11			w,x3				N11				H		01	x H			12	x	2
						v11			w,x3				N11				H			x H				x
										2										1
						v12			w,x3 x		2		N	12			H		11	x H		12		x	2
									1		2			12					11	1		12			2
						v13			w 4				N13				H		02	x	H		02	x		2
																			02	1			02			2

						v14			w,x4				N14				H		12	x H			02	x	2
			4							1									12	1			02		2

						v15			w,x4				N15				H		02	x H			12	x	2
						v15			w,x4				N15				H			x H				x
										2										1
						v16			w, x4	x	2		N16				H		12	x H			12	x	2
									2		2								12	1			12		2
о	л не о			е функцію фор					и N10,		пов	ану пере і				енн				v10		у трет о у ву лі 1=0,
2 ):
		N		H x H					x		1	x3	2ax2		a2x		1			2x3				3bx2
	10				11 1		02 2			a2		1	1			1 b3					2					2
	1		2x13x23			3bx13x22			4ax12x22			4ax12x23			6abx12x22 2a2x1x23 3a2bx1x22 .
	a2b3		2x13x23			3bx13x22			4ax12x22			4ax12x23			6abx12x22 2a2x1x23 3a2bx1x22 .
	a2b3
Вра овуючи те,					о	11	1		відповідає			кутово у пере і енню									w,1					w x1 , наченн
одиниц дл			координат трет о о ву ла повинна прий ати по ідна
			N10			1			2 3			2 2			3	12a		2	3				2 2
				x1	a2b3			6x1 x2			9bx1 x2		8ax1x2			12a			x2		3a bx2 .
				x1	a2b3

21.

півві но енн

п а тини

гина т

N10

ійсно

a2b3

2a b

3a b

координат першо о ву ла

–

N10

0 ;

дл

координат дру о о ву ла

, 0) –

N10

0 ;

дл

координат четверто о ву ла

)

N10

2 3

a2b3

9a b

8a b

12a b

3a b

20a2b3

a2b3

о стосуєт с функці фор

и N16

H12

ax2

bx2

x3x3

bx3x2

ax2x3

abx2x2

a2b2

1 2

ка

відповідає

кутови

пере

енн

w,1

w x1

w,2

w x2

четверто о

ву ла, то

наченн

одиниц дл координат ц о о ву ла

повинна прийн ти

ішана по ідна

4abx1x2 .

x1 x2

a2b2

9x1 x2

6bx1 x2

6ax1 x2

N16

2 2

ійсно,

x1 x2

a2b2 9a

6a b

координат усі

інши

ву лів по ідна прий ає

наченн нул

При по удові атриці

жорсткості скінченно о еле

ента пластини скористає

ос

фор

улою,

о ви начає ро оту внут-

рішні

сил на

ожливи

пере

і енн

ежа

T dx dx .

x1 x2

Вектори дефор

ацій і напружен

ви начают с

чере ву лові пере

енн

w x1x2

B ,

E EB .

21. півві но енн Е п а тини о гина т 23

1		0
де E D	1	0	,
0	0	1
0	0	2
		2

B N

2 x22

N1N2N3N4N5N6N7N8N9N10N11N12N13N14N15N16

2 x x

B11

B21

B31

B41

B51

B61

B71

B81

B91

B10,1

B11,1

B12,1

B13,1

B14,1

B15,1

B16,1

B12

B22

B32

B42

B52

B62

B72

B82

B92

B10,2

B11,2

B12,2

B13,2

B14,2

B15,2

B16,2 .

B13 B23 B33

B43

B53

B63 B73 B83 B93

B10,3

B11,3

B12,3

B13,3

B14,3

B15,3

B16,3

аведе о де кі

коефіцієнтів

атриці B у ро

орнутій фор

B11

a3b3

4x1 x2

6bx1 x2

6ax1 x2

9abx2x3

3ab3x2

2a3x3

3a3bx3

a3b3

24x x3

36bx x3

12b3x

12ax2

18abx3

6ab3

;

a3b3

B10,2

a2b3

2x1 x2

3bx1 x2

4ax1 x2

6abx1 x2

6abx12x22

2a2x1x23

3a2bx1x22

12x3x

6bx3

24ax2x

12abx2

12a2x x

6a2bx x .

a2b3

T BT EB dx1dx2

T K ,

x1 x2

де K

BT EBdx1dx2

–

атриц

жорсткості скінченно о еле ента пластини.

x1 x1

21.

півві но енн

п а тини

гина т

О численн

начен

коефіцієнтів

атриці жорсткості

ожна виконати пр и

інте руванн

поліно ів,

але

іл ш раціонал но використовувати чисел ні

етоди інте руванн

квадратурні

фор

ули

ауса .

Попередн о

слід

ро ити

пере ід

до

нови відносни

координат

x1 a,

b ,

кі інюют с

в ежа від -

до

рис. . .

					ис. .
	ор	ула дл о численн коефіцієнтів			атриці жорсткості у відносни координата				на уває
ви л ду
			1		1
			K		BT EBabdy1dy2 .
				1	1
	л	чисел но о інте руванн	достатн о використати чотири точки в довж кожно координати,
о	отри ати точні ре ул тати.
	Відповідно до квадратурни фор ул			ауса о численн інте ралу виконуєт с а с е				ою
		K	4		4	BT EB y1 1 ,
		K	ab		HiH j	BT EB y1 1 ,
			i 1	j	1	y2 2
де	, (	1,2,3,4) – координати точок інте руванн				в систе і відносни	координат 1,	2;	і , ( =
1,2,3,4) – ва ові коефіцієнти квадратурни				фор ул		ауса, наченн ки	наведено в та л. . .


1	-0.8611363115	0.3478548451

2	-0.3399810435	0.6521451548

3	0.3399810435	0.6521451548

4	0.8611363115	0.3478548451

21.

півві но енн

п а тини

гина т

О численн

ведени

до ву лів

Е сил від ро поділено о, нор

ал но о до

а ово

повер ні

навантаженн

виконуєт с

фор улою,

о ви начає

ро оту

овнішні

сил на

ожливи

пере

і енн

ежа

Qe ,

N pds

де Q

вектор

ведено о до ву лів

Е ро поділено о навантаженн .

випадка , коли

N pds

інтенсивніст

ро поділено о навантаженн

не

інюєт с

в ежа

Е, о численн ко

понентів

вектора Qe

оже ути виконано в

кненій фор

3ab,3a b ,3 a b

атриц

жорсткості

пластини фор

уєт с

коефіцієнтів атриці

жорсткості Е а

допо

о ою

атриці відповідності.

ДО ЗМІСТУ ПІДРУЧНИКА

VII. РОЗРАХУНОК НА РУХОМЕ НАВАНТАЖЕННЯ

22.Статично визначувані балки

23.Статично визначувані ферми

24.Розпірні системи

25.Статично невизначувані ферми

26.Нерозрізні балки

Рухомими називають навантаження, які переміщуються по конструкції. До таких навантажень відносять автомашини, потяги, трактори, які переміщуються по мостам, кранові навантаження на підкранові балки, навантаження від підвісних кранів, які рухаються по фермам покриття, тощо. Від дії таких навантажень усі параметри, що визначають напружено–деформований стан споруди (опорні реакції, згинальні моменти, поперечні та поздовжні сили, напруження, переміщення тощо), змінюються і залежать від місцерозташування навантаження в кожний поточний момент часу. Задача розрахунку на рухоме навантаження полягає у визначенні найбільших за величиною зазначених параметрів, які можуть виникнути в елементах споруди під час його руху.

Одним із найбільш поширених методів розрахунку на рухоме навантаження є метод ліній впливу, який дозволяє аналізувати зусилля і переміщення в будь-яких перерізах будь-яких споруд.

Метод полягає в побудові, так званих, ліній впливу – графіків, що показують, як змінюється той чи інший фактор, коли по споруді переміщується вертикальна одинична сила. За допомогою цих графіків можна визначати величини згаданих факторів від будь-яких зовнішніх силових навантажень, як рухомих, так і нерухомих

О П А

22.татично ви начувані алки

Зміст глави

22.1.

іні впливу дл

двоопорно

алки

22.2.

іні впливу дл

консол но

алки

22.3.

авантаженн ліній впливу

22.4. Ву лове прикладенн

навантаженн

22.5.

іні впливу дл

шарнірно–консол но

алки

22.6. Приклад ви наченн

усил

у шарнірно–консол ній алці

а допо

о ою ліній

впливу

22.1. Лінії впливу для двоопорної балки

л не

о, к

інюют с

опорні реакці

та внутрішні

усилл

в однопро оновій двоопорній

алці,

к о по ній ру аєт с

вертикал на одинична сила,

і по удує о

рафіки

іни

адани

величин, то то по удує

о ліні

впливу. Отже,

не ай однопро онова

алка AB пере уває під дією

вертикал но

осереджено сили

P = 1 (рис.22. ,а).

ила

оже пере увати в уд -

кій точці

алки

она

ожливо о ро ташуванн

сили,

то то она ру у пока ана на рисунку штри овою лінією .

о ташуванн

сили ви начаєт с

координатою x початок систе и координат в то на лівій опорі

A . аки чино , у процесі ру у одинично сили координата

інюєт с

у ежа

c1 x

c2 .

Лінії впливу опорних реакцій

В опора

алки виникают

вертикал ні опорні реакці

VA та VB.

ори онтал на складова HA в

шарнірно-неру о

ій опорі A дорівнює нулю.

е випливає

рівн нн

рівнова и алки

ви наченн

опорно реакці VA

складе

о рівн нн

рівнова и

V l 1 l x 0

l x .

Отже, реакці VA є лінійною функцією координати x: VA

VA x .

22. татично ви нач вані а и	2

ис.22.1

рафік

а начено

фунці

є пр

ою. л

по удови пр

нада

о координаті дво

уд – ки

начен

наприклад,

та

= l .

ре ул таті ає

рафік функці VA

VA x

представлено на рис.22.

. Він на иваєт с лінією впливу опорно

реакці

VA .

рафік пока ує,

інюєт с

опорна реакці

VA, к

о по алці ру аєт с

одинична

22. татично ви нач вані а и	3

вертикал на сила P 1. Буд - ка ордината y рафіка				арактери ує величину опорно реакці VA,
к о сила ро ташована на алці над цією ординатою.
Анало ічно по удує о лінію впливу опорно реакці VB.
M	A	0	V l 1 x	0	V	x .
	A		B		B	l
						l

Отже, реакці VB також є лінійною функцією координати

VB VB x .

рафік ціє функці	– пр а.	ада	о координаті		дво
= l . ре ул таті ає	о
	x	0	VB	0	0
	x	0	VB	0	l
					l
	x	l	VB	l	l
	x	l	VB	l	l
					l

уд – ки начен наприклад,

та

іні

впливу опорно

реакці

VB по удована на рис.22. ,в. Отже,

одержано

рафік,

кий

арактери ує

акон

іни опорно

реакці VB

алежно від ро ташуванн

одинично

сили

Буд - ка ордината y

рафіка

арактери ує величину опорно реакці VB,

коли на

алці над цією

ординатою ро ташована одинична вертикал на сила.

аки

чино

, дл

алки на дво

опора

ліні

впливу опорно реакці

VA – це пр

а,

ка

ає

одиницю на опорі A і нул

на опорі

, а ліні

впливу опорно реакці V – пр а, ка

ає одиницю

на опорі

і нул

на опорі А

рафіки ро повсюджуют с

на всю алку.

Лінія впливу згинального моменту

Ви начи

инал ний

ент у перері і k,

кий ро ташовано в про оні двоопорно

алки

(рис.22. ,а

на відстані від опори А і на відстані b = l – a від опори .

користає

ос

правило ,

викладени

у п.10.3:

инал ний

ент у

уд -

ко

у перері і k о числюєт с

к ал е ра чна

су

а о

ентів усі

сил,

о діют

на

алку по один

ік від перері у, стосовно йо о центру

а о

пр

(22.1)

Mk .

о численн

инал но о

енту при ді

ру о

о сили доціл но ви ирати ту фор улу,

ка

ає

еншу кіл кіст

доданків.

ак,

при ро ташуванні сили ліворуч перері у k слід ви ирати дру у,

а при ро ташуванні сили праворуч перері у – першу фор улу.

Отже, ро

л не

о два випадки ро ташуванн

одинично сили.

22. татично ви нач вані

ила P

ліворуч перері у k

ила P

праворуч перері у k

пр

VB x b.

VA x a.

аки

чино

, ліворуч

перері у k лінію впливу

инал но о

енту в перері і k

ожна

отри ати

ноженн

ліні

впливу опорно

реакці

VB на

ножник b див.рис.22. , .

ей

рафік

на иваєт с

лівою пр

ою. Він справедливий і, відповідно, штри уєт с

ліворуч перері у k.

Анало ічно,

право о

оку від перері у k лінію впливу

инал но о

енту в перері і

ожна

отри ати

ноженн

ліні

впливу опорно

реакці

VА на

ножник

(рис.22. , .

ей

рафік

на иваєт с

правою пр

ою. Він штри уєт с

праворуч перері у k.

аки

чино

, ліні

впливу

инал но о

о енту в перері і k складаєт с

дво

пр

и ,

кі

перетинают с

під перері о

ліва пр

а про одит

чере

нул

лівій опорі і штри уєт с

ліворуч перері у

права пр

а про одит

чере

нул

правій опорі і штри уєт с

праворуч перері у.

Про

іжні ординати ліні впливу

ожна о числити

у ов поді ності трикутників.

Остаточна ліні

впливу

инал но о

енту в перері і k представлена на рис.22. , .

Лінія впливу поперечної сили

уло а начено у п.10.3,

поперечна сила в перері і k о числюєт с

к су

а проекцій на

вертикал ну віс

всі сил,

о діют

на

алку по один

ік від перері у:

а о

пр

(22.2)

Fy .

одатною вважаєт с

поперечна сила,

ка на

а аєт с

повернути

алку стосовно перері у

одинниковою стрілкою.

При ді

ру о

сили доціл но ви ирати ту фор

улу,

ка

ає

еншу кіл кіст

доданків.

ак,

при ро ташуванні

ру о

сили

ліворуч

перері у

k слід

ви ирати дру у

фор

улу,

а при

ро ташуванні сили праворуч перері у – першу.

Отже, ро

л не

о два випадки ро ташуванн одинично

сили.

22. татично ви нач вані а и	5

ила P ліворуч перері у k

ила P

праворуч перері у k

пр

VB x .

VA x .

аки

чино ,

ліворуч

перері у

ліні

впливу

поперечно сили в перері і

еквівалентна

від є

ній ліні

впливу опорно реакці

див.рис.22. ,д . ей

рафік на иваєт с

лівою пр

ою.

Він справедливий і, відповідно, штри уєт с

ліворуч перері у k.

Анало ічно, праворуч перері у k ліні

впливу поперечно сили в перері і k еквівалентна ліні

впливу опорно реакці

VА (рис.22. ,д .

ей

рафік на иваєт с

правою пр

ою. Він штри уєт с

праворуч перері у k.

аки

чино ,

ліні

впливу поперечно

сили в перері і k складаєт с

дво

паралел ни

пр

ліва пр

а про одит

чере нул

лівій опорі і штри уєт с

ліворуч перері у

права пр

а про одит

чере нул

правій опорі і штри уєт с

праворуч перері у.

Про

іжні ординати ліні впливу

ожна о числити

у ов поді ності трикутників.

Остаточна ліні

впливу поперечно

сили в перері і k представлена на рис.22. ,д.

22.2. Лінії впливу для консольної балки

о л не

о консол ну

алку AC,

по

кій пере

і уєт с

одинична вертикал на сила

P 1

рис.22. ,а .

ис.22.2

22. татично ви нач вані а и	6

Лінії впливу опорних реакцій

атиснені А виникає вертикал на опорна реакці

та

ентна

реакці

MA.

одо

ори онтал но

опорно

реакці

атисненн ,

то

вона

дорівнює нулю.

випливає

ови

рівнова и

0 .

Ви начає о опорну реакцію VA:

аки

чино

, опорна реакці

VA є константою,

ка не

алежит

від

ісцеро ташуванн

сили.

іні впливу опорно

реакці

VA пока ана на рис.22. , .

л ви наченн

ентно

реакці MA складає

о рівн нн

о ентів стосовно точки А:

M A

M A 1 x 0

M A

x .

Отже,

опорний

ент

інюєт с

лінійни

аконо

по удови

пр

о ,

ка

арактери ує

іну

енту

алежно від ро ташуванн сили

то то дл по удови ліні

впливу, достатн о ви начити

наченн

функці MA

в дво

довіл ни

точка

M A

іні впливу опорно о

енту MA

по удована на на рис.22. ,в.

Лінії впливу внутрішніх зусиль

инал ні

енти і поперечні сили в довіл но

у перері і k консол но

алки,

о пере уває

під дією ру о о

сили

рис.22. ,а ,

ожна о числювати

а фор

ула и

22.1 та 22.2

відповідно.

Причо у не алежно від ро ташуванн

сили доціл но

авжди аналі увати рівнова у консол но

частини.

ис.22.3

22. татично ви нач вані а и	7

ила P

ліворуч перері у k

ила P

праворуч перері у k

пр

1 x.

пр

іні впливу

инал но о

енту Mk та поперечно сили Qk по удовано на рис.22. ,

та 22. ,в.

22.3. Навантаження ліній впливу

іні впливу є

рафіка

іни величини ти

чи інши

пара

етрів,

о ви начают

напружено-

дефор

ований

стан

уд - ки

конструкцій чи

споруд,

від

ді

одинично

ру о

сили.

допо о ою ліній впливу

ожна о числювати величини а начени

пара етрів, від рі но анітни

силови

дій. Причо

у силові ді

ожут

ути

к неру о

и и,

так і ру о и

и. ака процедура

на иваєт с навантаженн

ліній впливу.

Навантаження нерухомими силовими діями

е ай дл

ко с

конструкці

наприклад,

дл

двоопорно

алки

по удовано лінію впливу

ко ос

фактора Sk.

факторо

оже

ути опорна реакці ,

инал ний

о ент в певно у

перері і, про ин де ко точки осі

алки то

о . Ви начи

о величину

а начено о фактора Sk

від

де ки

силови

дій

а допо о ою йо о ліні впливу.

ис.22.4

к о на конструкцію діє неру о а сила P (рис.22.4 , то величина фактора Sk оже ути о числена а фор улою

Sk Py .	(22.3)
цій фор улі сила, о спр ована вни , вважаєт с	додатною.

22. татично ви нач вані а и	8

Величина фактора Sk при дії зосередженої вертикальної сили дорівнює добутку величини цієї сили на ординату лінії впливу фактора, в точці прикладення сили.

ис.22.5
к о на конструкцію діє систе а неру о	и	вертикал ни сил	рис.22.5 , то на підставі
принципу не алежності ді сил величина фактора Sk		оже ути о числена	а фор улою
n
Sk	Pi yi .		(22.4)
i 1

Величина фактора Sk від дії системи зосереджених вертикальних сил дорівнює сумі добутків величин сил на ординати лінії впливу цього фактора в точках прикладення відповідних сил.

ис.22.6

к о на конструкцію діє рівно ірно ро поділене навантаженн інтенсивністю q рис.22.6,а),

то величина фактора Sk оже ути о числена а фор улою
Sk qAq .	(22.5)

22. татично ви нач вані а и	9

ійсно, а інивши ро поділене		навантаженн на		нескінченно алій		діл нці	dx
еле ентарною силою dP=qdx, о числи	о величину фактора Sk			шл о інте руванн
			b
		Sk	yqdx .
			a
Постійну величину інтенсивності рівно	ірно ро поділено о навантаженн				ожна винести а		нак
інте рала
			b
	Sk	q	ydx qAq ,
			a
а ви начений інте рал – арактери ує пло		у ліні впливу під ро поділени			навантаженн .
тже, величина фактора Sk	від дії вертикального рівномірно розподіленого
навантаження дорівнює добутку інтенсивності навантаження q на площу Aq						лінії впливу
цього фактора в межах навантаження.

ис.22.7

При навантаженні конструкці осереджени о енто (рис.22. ,а величина фактора Sk оже ути о числена а фор улою

			Sk	M tg .		(22.6)
а начене співвідношенн ле ко отри			ати,	к о осереджений		о ент а інити парою сил,
кожна ки дорівнює P M / dx рис.22.			, .	оді
S	k	P y dy P y M dy			M tg .
	k			dx
				dx


Таким чином, величина фактора Sk від			дії зосередженого момента дорівнює добутку
величини момента М на тангенс нахилу			дотичної	до лінії впливу фактора в точці
прикладення момента. о	ент, кий	о ертаєт с а		одинниковою стрілкою, вважаєт с
додатни . ан енс вважаєт с	додатни дл	кута, ро ташовано о в першій а о третій чверті.

22. татично ви нач вані а и	10

нарешті, у ра і, к о на систе ро поділени навантажен та m – о числена а фор улою

у водночас діє сукупніст n осереджени сил, k –рівно		ірно
осереджени	о ентів, то величина фактора Sk оже	ути

tg i .

Pi yi

qi Aqi

(22.7)

i 1

Отже,

дл

о численн

величини

уд – ко о

фактора

від

неру о

о о

навантаженн

допо о ою ліні впливу нео

ідно

усунути адане неру о е навантаженн

по удувати лінію впливу фактора, вважаючи,

по конструкці

ру аєт с

одинична

вертикал на сила

авантажити по удовану лінію впливу адани

неру о

навантаженн

а фор

ула

(22.3) – (22.7).

Навантаження рухомими силами

ета навантаженн ліні

впливу ру о и

и сила

и пол

ає в о численні най іл шо

величини

то о чи іншо о фактора, коли по конструкці пере і

уєт с

систе

а сил.

е ай по однопро оновій

алці ру аєт с

систе

а вертикал ни

осереджени

сил рис.22.8,а ,

відстані

іж

ки в процесі ру у не

інюют с .

а рис.22.8,

пока ана ліні

впливу

ко ос

фактора Sk , по удована від ру у одинично сили.

ис.22.8

22. татично ви нач вані а и	11

Процес навантаженн

систе

ою ру о

сил

ає два етапи.

Перший етап.

Ви наченн

ро ташуванн

систе

и ру о

сил, при

ко

у шуканий фактор

ати

е най іл ше

а величиною наченн . Положенн

уде не е печни

а дво

ов

Одна

сил

ає

ути ро ташована над вершиною ліні

впливу.

ака сила на иваєт с

критични

вантаже

нашо

у випадку Pр

P5 (рис.22.8,а).

ає виконуватис

систе

а дво

нерівностей,

ка дл

трикутно ліні

впливу

ає ви л д

Pр Rпр

;

(22.9)

Rпр

Pр

ут R

– су

а сил, ро ташовани

ліворуч вершини ліні впливу. дано

у випадку

P4 .

Rпр

– су

а сил, ро ташовани праворуч вершини ліні впливу.

дано

у випадку

Rпр

P8 .

оча

одна

нерівностей

22.

не виконуєт с ,

нео

ідно пересунути систе у сил в

інше положенн , встановивши над вершиною іншу силу, і повторити перевірку.

випадку полі онал но

ліній впливу рис.22.8,в

ову не е печно о ро ташуванн

вантажів

ожна

аписати у ви л ді

0 ,

(22.10)

де

Ri tg i

Pр tg .

(22.11)

Ri tg i

Pр tg пр .

ци

співвідношенн

по начено

Pр – критична сила

величина вантажу, встановлено о в

ісці най іл шо

випукло

ординати ліні

впливу

tg i – тан енси кутів на илу пр

олінійни

діл нок ліні

впливу

додатні,

о кути

на од т с

а о

чверті, і від є

ні,

к о кути

ро ташовані

а о

V чверт

– рівнодійні сил,

ро ташовани

ежа відповідни

пр

олінійни

діл нок ліні

впливу

рис.22.8,

ругий етап.

встановлено

в не е печне положенн

систе

и сил о числюєт с

величина

шукано о фактора Sk

а фор улою

22.4 .

е й

уде йо о най іл ше

а величиною

наченн .

22. татично ви нач вані а и	12

22.4. Вузлове прикладення навантаження


остови	конструкці			часто устрічаєт с			випадок, коли навантаженн			ру аєт с не
е посередн о по		оловній		алці, а по над удові,			ка	вл є со ою систе у по довжні			алок
про но частини,		ка спираєт с			на оловну чере систе			у дру ор дни	поперечни	алок.	ак, на
рис.22. ,а алки про но			частин		-1, 1-2, 2-	спирают с		на оловну	алку AB в окре и		точка ,
кі на ивают с	ву лови		и.	аке навантаженн		на оловну алку на иваєт с ву лови .

ис.22.9

актично

оловна

алка AB пере уває під дією неру о и

сил, ки

и є реакці опор

алок

про но частини. Причо

у,

о навантаженн

ру аєт с

по про ній частині, ці реакці

інюют с

а величиною. Ви начи о ці

реакці

дл

випадку,

коли

одинична ру о а

сила

пере уває на діл нці -

рис.22. ,

V d 1 d z 0

d z .

V d

1 z

z .

Ви начи

о ке-не уд

усилл

в оловній алці, наприклад

инал ний

о ент у перері і k, від

ді

неру о

сил V1 та V2

а допо

о ою ліні

впливу.

іні

впливу

инал но о о енту в перері і

оловно

алки AB пока ано на рис.22. ,в.

оді,

ідно фор ули 22.4):

22. татично ви нач вані а и	13

V y V y

d z y

z y

1 1

е о начає,

о коли одинична сила пере уває на діл нці 1–2,

инал ний о

ент у перері і k

оловно алки

інюєт с а лінійни

аконо

, то

рафік

функці Mk(z

на цій

діл нці

представл є со ою пр олінійний

відрі ок.

Ординати,

чере

кі уде про одити

відрі ок,

ви начи

о,

адавши ар у

енту z

функці дво

уд -

ки

начен

на діл нці

- , наприклад

y1;

y2.

а начений відро ок пока ано на рис.22. ,в штри овою лінією,

ка

єднує ординати y1 та

y2.

Анало ічно

ожна отри

ати відрі ки дл

діл нок

та

про

но частини. Остаточний ви л д

ліні впливу

инал но о

о енту Mk в перері і k оловно

алки AB представлено на рис.22. , .

відси

випливає наступний

пор док

по удови

ліній впливу

при

ву ловій передачі

навантаженн

По удувати лінію впливу шукано о

фактору

дл

оловно

алки

ура уванн

ву лово

передачі.

а по удовану лінію впливу спроецирувати

ву лові

точки

єднати

пр

и и

відрі ка

и.

а рис.22. ,д

а о начени и правила

и по удовано лінію впливу поперечно

сили в перері і k

оловно

алки.

22.5.Лінії впливу для шарнірно–консольної балки

лпо удови ліній впливу шарнірно–консол ну алку доціл но представити у ви л ді

сукупності однопро онови

алок, кі

ают

а о одну опору

атисненн , а о дві шарнірні

опори,

одна

ки

шарнірно-неру о

а,

дру а

шарнірно-ру о

а.

ожна

таки

однопро онови

алок

спираєт с

а о на основу, а о на інші

прості

алки.

творена

с е а

на иваєт с

повер овою , де кожна однопро онова

алка ро

л даєт с

к окре ий

повер

конструкці . Біл ш докладно утворенн

повер ови

с е ро

л даєт с у

лаві 10.

По удова

ліній впливу

уд

ки

факторів,

кі

виникают

в шарнірно-консол ній

алці,

виконуєт с

а два етапи

а вичайни и правила и

удуєт с

ліні

впливу лише дл

однопро оново

алки, до ко

відносит с

фактор,

о аналі уєт с .

По удована ліні

впливу

послідовно

продовжуєт с

на

однопро онові

алки

сусідні

повер ів

у такий спосі ,

на кожно у поверсі вона, по–перше, ула пр олінійною, і, по–

дру е, перетинала віс алки на віддаленій опорі

повер у .

22. татично ви нач вані а и	14

о л не о по удову ліній впливу дл шарнірно–консол но	алки, представлено на
рис.22.10,а.

ис.22.10

Побудова поверхової схеми шарнірно–консольної балки

Шарнірно-консол ну

алку ABCDE

ожна представити

к сукупніст

тр о

однопро онови

алок AB, BCD і DE,

кі спирают с

одна на одну. Перший

повер

– це консол на алка DE,

ка

е поседнє спираєт с

на основу.

ру ий повер

– це двоопорна

алка BCD,

ка спираєт с

на

повер

DE. ретій

– це двоопорна

алка AB,

ка спираєт с

на

алку дру о о повер у .

"Повер ова" с е а о ражена на рис.22.10, .

Побудова лінії впливу опорної реакції VC

еакці

відосит с

дл

двоопорно

алки повер у BCD (рис.22.10,в) .

о у на першому

етапі

удує о лінію впливу опорно

реакці VC са

е дл ціє

алки

V l 1 l x 0

l x V x .

Пр

олінійний рафік функці

лінію впливу опорно реакці

V 0

дл

двоопорно алки

повер у

BCD проведе

о чере

наченн функці в дво довіл ни

точка

22. татично ви нач вані а и	15

іні

впливу опорно

реакці

VC дл

двоопорно

алки

повер у

BCD по удована

на

рис.22.10, .

ругий етап. Подовжує о лінію впливу на повер

AB по пр

ій,

ка перетинає віс

на опорі

А. адалі

прододовжи о

лінію

впливу опорно

реакці

VC на

повер

DE по пр

ій,

ка

перетинає віс на опорі E. Остаточна лінію впливу опорно

реакці

VC представлена на рис.22.10,д.

Побудова лінії впливу згинального моменту Mk

Перері

k шарнірно–консол но

алки ро ташований на консол ній

алці першо о

повер у

DE (рис.22.10,е).

Перший етап. Ви начає о

инал ний

о ент Mk

у перері і k

алки DE, ро л даючи два

випадки ро ташуванн

сили ліворуч і праворуч перері у k.

ила P

ліворуч перері у k

ила P

праворуч перері у k

1 x.

(при x=0 Mk(0)=0

при x=c Mk(c)=-c)

рафік функці

Mk x

дл

алки першо о

повер у

DE по удовано на рис.22.10,ж.

ругий етап.

Подовжує

о по удований

рафік на

алку дру о о повер у BCD. а прот і

вс о о повер у

проводи

о пр олінійний відрі ок,

кий перетинає віс

алки на опорі . алі

подовжи о рафік на перший

повер

А ,

к пр

ий відрі ок, о

ає нул ову ординату на опорі

А. Остаточна ліні

впливу

инал но о

енту Mk

наведена на рис.22.10, .

22. татично ви нач вані а и	16

22.6. Приклад визначення зусиль у шарнірно–консольній балці за допомогою ліній впливу

О числити величини вертикал ни реакцій на опора А та			, а також внутрішні	усилл	в
перері а – та –	алки від адано о неру о	о о навантаженн	рис.22.11,а . Повер	ова с е	а
шарнірно–консол но	алки представлена на рис.	. , .

ис.22.11

22. татично ви нач вані а и	17

Лінія впливу опорної реакції VA

О числи

о вертикал ну реакцію VA

ови рівнова и консол но

алки А

(рис22.11,в):

VA 1 0

аки

чино , у

ежа

алки

ліні впливу

паралел на

а овій ліні . Послідовно

продовжує

рафік на

алки сусідні

повер ів

в такий спосі ,

о и в

ежа

кожно о

повер у

ліні впливу

ула пр

олінійною

і перетинала

а ову

лінію,

то то

ала

нул ову

точку, на

віддаленій опорі рис.22.11, ).

Лінії впливу внутрішніх зусиль в перерізі

–

рис.22.11,в)

ила P

ліворуч перері у

–1

ила P

праворуч перері у

–1

пр

M1 1

пр

1 x.

M1 1

При

пр

ежа

алки А

ліні впливу

усил

M1, Q1

по удовано відповідно до ре ул татів ро ра унку

і подовжено на алки сусідні

повер ів

відповідно рис.22.11,д та рис.22.11,е).

Лінія впливу опорної реакції VE

Ви начає

о опорну реакцію VE

ов рівнова и

алки DEF (рис.22.11,ж):

1 x

x .

ежа

алки DEF ліні

впливу

по удована відповідно

до

ре ул татів ро ра унку і

подовжена на сусідні

повер и

рис.22.11,

22. татично ви нач вані а и	18

Лінії впливу внутрішніх зусиль в перерізі																			–	рис.22.11,ж)

					ила P			ліворуч перері у								–2				ила P		праворуч перері у				–2

							M2			M		пр	2VE .									M2	M2 2	4VD.
							M2			M		2 2	2VE .									M2	M2 2	4VD.
							Q2				пр		VE .									Q2	Fy	VD .
							Q2			Fy			VE .									Q2	Fy	VD .

іні впливу						усил		M2 , Q2				у	ежа				алки			DEF по удовано відповідно до ре ул татів
ро ра унку і подовжено на									алки сусідні							повер ів відповідно рис.22.11,і та рис.22.11,к).
Визначення опорних реакцій і внутрішніх зусиль
а допо				о ою по удовани						ліній впливу о числює											о опорні реакці			та внутрішні			усилл	від
адано о неру о о о навантаженн													рис.22.11,а ,							викорстовуючи фор				улу	22.7 .		сі про	іжні
ординати ліній впливу ви начено												у	ов поді ності трикутників.
V	A		12		0,167		12		0,027				2,5		1 5			11 6			3,2	1 0,111 7
	A																	2				2
																		2				2
			6,2		0,118		19,281 .
					2
M		1	12		0,5	12	0,08		2,5			1 3 9				3,2		1		0,333 7		6,2	0,053		30,684		.
		1										2						2					2
												2						2					2
Q			12		0,167		12		0,08		2,5		1 3			1	1 6			3,2	1	0,111 7
	1															2					2
																2					2
			6,2		0,018		15, 255 .
					2
V			12		0,5	12	0,32		3,2		1	1,333			2		1	1,333 5			1	0,533 2	6,2	0,213		19,242 .
E												2					2				2			2
												2					2				2			2
M		2	12		0,667		12	0,32		3,2			1	1,333 7						6,2	0,213		3,75 .
		2											2									2
													2									2
Q			12		0,5		12	0,08		3,2			1		0,333 7					6,2	0,053		8,934 .
	2												2									2
													2									2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

0		N5	0
0		x1	0
		x1
N4		0	N6
x2		0	x2
x2			x2
N4		N5	N6
x1		x2	x1
1	0	1	0
l	0	l	0
l		l
0	0	0	1
0	0	0	h
			h
0	1	1	1
0	l	h	l
	l	h	l

3	1	0	0	0	0	0
4	0	1	0	0	0	0
13	0	0	0	0	1	0
14	0	0	0	0	0	1
11	0	0	1	0	0	0
12	0	0	0	1	0	0

0		N5	0
0		x1	0
		x1
N4		0	N6
x2		0	x2
x2			x2
N4		N5	N6
x1		x2	x1
1	0	1	0
l	0	l	0
l		l
0	0	0	1
0	0	0	h
			h
0	1	1	1
0	l	h	l
	l	h	l

3	1	0	0	0	0	0
4	0	1	0	0	0	0
13	0	0	0	0	1	0
14	0	0	0	0	0	1
11	0	0	1	0	0	0
12	0	0	0	1	0	0

0		N5	0
0		x1	0
		x1
N4		0	N6
x2		0	x2
x2			x2
N4		N5	N6
x1		x2	x1
1	0	1	0
l	0	l	0
l		l
0	0	0	1
0	0	0	h
			h
0	1	1	1
0	l	h	l
	l	h	l

3	1	0	0	0	0	0
4	0	1	0	0	0	0
13	0	0	0	0	1	0
14	0	0	0	0	0	1
11	0	0	1	0	0	0
12	0	0	0	1	0	0