ДО ЗМІСТУ ПІДРУЧНИКА

V.ОСНОВИ ДИНАМІКИ І СТІЙКОСТІ СПОРУД

14.Основні положення динаміки споруд

15.Коливання систем з одним ступнем вільності

16.Системи з кількома ступнями вільності

17.Коливання систем із нескінченно великим числом ступнів вільності

18.Метод скінченних елементів у задачах динаміки

19.Стійкість споруд

Динаміка споруд це розділ будівельної механіки, присвячений методам розрахунку споруд на дію динамічного навантаження. Динамічними називають навантаження, які змінюють свою величину, розташування або напрям в порівняно невеликий відрізок часу. Внаслідок дії таких навантажень маси елементів споруди, а також маса розташованого на споруді обладнання дістають прискорення. Це приводить до того, що на споруду з боку мас системи діють додаткові сили сили інерції, що істотно впливає на напружено-деформований стан споруди.

Розрахунок споруд з урахуванням сил інерції називається динамічним розрахунком. Його мета визначення закону руху мас системи в часі, на підставі якого можна дати оцінку міцності і жорсткості системи.

При динамічному впливі внаслідок наявності в системі пружних та інерційних сил збуджується коливальний рух. Зумовлені цим рухом поля напружень, деформацій і переміщень змінюються з часом. Таким чином, у динамічний розрахунок на відміну від статичного вводиться ще один суттєвий параметр час.

Усі будівельні споруди та їх елементи повинні відповідати не тільки умовам міцності, а й умовам стійкості. Це означає, що виведена якимись причинами з початкового стану рівноваги система повертається до нього після усунення цих причин. Метою розрахунку споруд на стійкість першого роду є визначення критичних величин навантаження, за яких система втрачає стійкість, тобто переходить до нового, якісно відмінного від первісного, деформованого стану.

ДО ЗМІСТУ ПІДРУЧНИКА

14. Основні положення динаміки споруд

З м і с т г л а в и

14.1.Динамічні навантаження

14.2.Методи динаміки споруд

14.3. Динамічні ступні вільності

14.4. Види коливальних процесів

14.5. Мета динамічного розрахунку

Динаміка споруд − це розділ будівельної механіки, присвячений методам розрахунку споруд на дію динамічного навантаження. Динамічними називають навантаження, які змінюють свою величину, розташування або напрям протягом порівняно невеликого відрізку часу. Внаслідок дії таких навантажень маси елементів споруди, а також маса розташованого на споруді обладнання дістають прискорення. Це призводить до того, що на споруду з боку мас системи діють додаткові сили − сили інерції, що істотно впливає на напружено-деформований стан споруди. Якщо інерційні сили, порівняно з навантаженнями, надто малі і ними можна знехтувати, зовнішні впливи вважають статичними

Розрахунок споруд з урахуванням сил інерції називається динамічним розрахунком. Його мета − визначення закону руху мас системи в часі, на підставі якого можна дати оцінку міцності і жорсткості системи.

При динамічному впливі внаслідок наявності в системі пружних та інерційних сил збуджується коливальний рух. Зумовлені цим рухом поля напружень, деформацій і переміщень змінюються з часом. Таким чином, у динамічний розрахунок на відміну від статичного вводиться ще один суттєвий параметр − час.

14.1.Динамічні навантаження

Динамічні впливи поділяються на два класи: силові, при яких на елементи споруди діє зовнішнє навантаження, що змінюється у часі, і кінематичні, коли здійснюються вимушені зміщення окремих елементів споруди. Динамічні впливи мають різноманітну природу, проте їх можна розподілити на деякі характерні види.

Нерухоме періодичне навантаження характеризується тим, що багаторазово повторюється через певні проміжки часу T, які називаються періодами (рис.14.1,а). Якщо періодичне навантаження змінюється за законом синуса (рис.14.1,б) або косинуса (рис.14.1,в), таке наван-

таження називають вібраційним або гармонічним.

Рис.14.1

Вібраційні навантаження виникають під час роботи промислового обладнання як наслідок неврівноваженості елементів, що обертаються. Дійсно, при обертанні маси m з постійною кутовою

швидкістю θ і з радіусом ρ виникає відцентрова сила P0 = mθ2ρ . Вертикальна і горизонтальна

складові цієї сили, які зображені на рис.14.1,г, відповідно дорівнюють:

Px = P0 cos θt, Py = P0 sin θt .

Вібраційне навантаження має дві властивості, які роблять його особливо небезпечним:

1)ефект дії вібраційного навантаження відчувається не тільки в місці прикладання, а й у віддалених від навантаження місцях;

2)немає прямої залежності між величиною навантаження і ефектом, який воно зумовлює.

Короткочасне навантаження (імпульси) характеризується швидким наростанням інтенсив-

ності від нуля до максимального значення та подальшим швидким зменшенням до нуля, тобто майже миттєвою дією (рис.14.1,д). Таке навантаження генерується при вибухах.

Узагальненням цієї моделі навантаження є послідовність імпульсів. Цей вплив може мати періодичний характер, коли імпульси виникають через рівні проміжки часу і мають однакову фор-

му.

Ударне навантаження супроводжується різкою зміною швидкості тіла, на яке діє навантаження, за короткий проміжок часу.

Рухоме навантаження характерне зміною розташування на споруді. Воно зумовлюється транспортними засобами, які переміщуються по мостових конструкціях.

Сейсмічне навантаження − це хаотичний рух ґрунту при землетрусі.

14.2.Методи динаміки споруд

За допомогою методів динаміки виводяться рівняння руху споруд. Розрізняють три методи виведення цих рівнянь: статичний, кінематичний і енергетичний.

Статичний метод ґрунтується на принципі Даламбера, згідно з яким до рухомої системи можна застосувати рівняння рівноваги, якщо до числа діючих навантажень додати сили інерції.

Тоді рівняння статики для плоскої системи можуть бути записані у вигляді

Кінематичний метод ґрунтується на принципі можливих переміщень, відповідно до якого повна робота всіх сил на нескінченно малих переміщеннях системи, що перебуває у стані рівноваги під дією зовнішніх навантажень і сил інерції, дорівнює нулю.

Енергетичний метод базується на законі збереження енергії, згідно з яким сума кінетичної і потенціальної енергії в процесі коливань не змінюється:

даному співвідношенні перша сума належить до зосереджених, а друга − до розподілених мас системи.

Потенціальна енергія системи може бути виражена через роботу зовнішніх сил:

або через роботу внутрішніх сил, яка в разі плоских систем матиме вигляд

14.3. Динамічні ступні вільності

При виконанні динамічних розрахунків реальні споруди замінюються розрахунковими схемами. З точки зору теорії коливань розрахункові схеми, з якими оперує динаміка споруд,

являють собою механічний осцилятор або механічну коливальну систему.

Із коливальною системою пов’язана сукупність зосереджених або розподілених мас, рухливість яких під час коливань зумовлена деформаціями конструкцій. До основних параметрів, від яких залежить динамічна поведінка коливальної системи, можуть бути віднесені величини мас, які визначають інерційні властивості системи, і жорсткість елементів, яка характеризує пружні влас-

тивості системи.

Однією з найголовніших характеристик коливальних систем є число динамічних ступнів вільності, тобто мінімальна кількість незалежних геометричних параметрів (узагальнених координат), які визначають положення всіх мас системи при її деформаціях.

Положення будь-якої зосередженої маси на площині визначається трьома можливими переміщеннями: двома поступальними і одним кутовим. Отже, така маса має три ступні вільності.

Якщо цю масу умовно представити зосередженою у точці (точкова маса), то її положення на площині буде визначено лише двома поступальними переміщеннями. Тому можна вважати, що точкова маса на площині має два ступня вільності. Відповідно, в просторі зосереджена маса має шість ступнів вільності (три поступальних і три кутових переміщення), а точкова − три ступні вільності (три поступальні переміщення).

Розподілена маса може розглядатись як нескінченно велика кількість нескінченно малих мас і,

отже, має нескінченно велику кількість ступнів вільності.

В окремих випадках можливість переміщень деяких мас може бути обмежена в’язями системи,

внаслідок чого кількість ступнів вільності зменшується. Число ступнів вільності зменшується і в тому разі, якщо деякі переміщення мас мають вельми незначну величину, якою в процесі розрахунку можна знехтувати. Так, можна нехтувати власною розподіленою масою пружних

елементів, якщо її величина є набагато меншою величини мас, які на них розташовані. В такому разі елемент називають невагомим, або безмасовим.

При визначенні числа ступнів вільності динамічної системи зручно кожну зосереджену масу умовно закріплювати кінематичними в’язями так, щоб маса при обраних передумовах розрахунку виявилась нерухомою. Мінімальне число кінематичних в’язей, які необхідно ввести в системи для повного закріплення всіх її мас, характеризує число динамічних ступнів вільності коливальної си-

стеми.

Розглянемо плоску невагому раму, на якій розташовані три зосереджені маси (рис.14.2,а).

Рис.14.2

Кожна зосереджена маса має три ступні вільності. Втім переміщенню маси m3 в напрямі осі y

перешкоджає ідеальна опорна в’язь. Отже, система. що розглядається має вісім ступнів вільності.

Якщо в процесі розрахунку виявляється за можливе знехтувати поздовжніми деформаціями стержнів, то горизонтальні переміщення всіх трьох мас будуть однакові. Таким чином, кількість незалежних геометричних параметрів. які визначають положення всіх мас при деформації елементів рами, дорівнює п’яти. Справді, для повного закріплення всіх мас достатньо ввести два додаткових опорних стержні, які закріплюють всі маси від поступальних переміщень, і три рухомих затиснення, які закріплюють зосереджені маси від повороту (рис.14.2, б).

Якщо можна знехтувати поворотами зосереджених мас, то на розрахунковій схемі ці маси зображуються як точкові (рис.14.2,в). Така рама при урахуванні поздовжніх деформацій стержнів матиме п’ять ступнів вільності (маси m1 i m2 мають по два можливих поступальних переміщення, а маса m3 − тільки горизонтальне переміщення). Якщо вважати стержні рами такими, що не видовжуються і не скорочуються, тобто в разі прийняття передумови про не-

стисливість стержнів число ступнів вільності дорівнюватиме двом. Справді, в даному разі для закріплення всіх трьох мас системи достатньо ввести два додаткових опорних стержні (рис.14.2,г).

Якщо в процесі розрахунку виникає необхідність врахувати розподілену масу якогось стержня,

наприклад, ригеля, то дана коливальна система матиме нескінченну кількість ступнів вільності.

14.4. Види коливальних процесів

Залежно від причин, що збуджують коливальний процес, розрізняють такі види коливань:

∙вільні коливання,

∙змушені коливання,

∙автоколивання,

∙параметричні коливання.

Вільні коливання здійснюють системи, які в початковий момент часу виводяться зі стану рівноваги, після чого причини збудження усуваються і система продовжує рух за відсутності зовнішніх дій. Коливання відбуваються за рахунок запасу енергії, яку одержала система при початковому збудженні.

Змушені коливання характеризуються тим, що система перебуває під постійною дією зовнішніх динамічних навантажень. Енергія, яка необхідна для підтримки процесу коливань,

здобувається за рахунок роботи зовнішніх дій.

Параметричні коливання також виникають при зовнішніх діях, проте вони полягають не в дії динамічних навантажень, а зумовлюються змушеною зміною параметрів самої системи − мас або

жорсткостей.

Автоколивання виникають при відсутності зовнішніх дій за рахунок внутрішнього джерела енергії і мають періодичний характер.

Усі реальні коливальні системи мають внутрішнє тертя, внаслідок чого енергія, що підтримує коливальний процес, поступово розсіюється. Відбувається так звана дисипація енергії.

Аналогічний вплив чинить опір середовища, в якому здійснюються коливання. Тому для підтримки процесу коливань необхідно мати постійний приплив енергії, без чого вони затухнуть.

Проте в багатьох випадках затухання має незначну величину, що припускає розв’язання задач без урахування дисипації енергії. Відповідно розрізняють коливання з урахуванням і без урахування сил опору. Для вільних коливань застосовують поняття затухаючих і незатухаючих коливань.

Розрізняють лінійні і нелінійні коливання. Перші з них характерні для так званих лінійних коливальних систем, які описуються лінійними диференціальними рівняннями. Такі коливання називають також малими, або пружними, оскільки лінійна деформівність зберігається лише при

малих пружних переміщеннях системи. Для лінійних коливань є справедливим принцип неза-

лежності дії сил (принцип суперпозиції): загальний ефект дії кількох динамічних навантажень можна представити як суму дій кожного з них.

Нарешті можна класифікувати коливання залежно від характеру деформацій, які виникають у системі. З цієї точки зору можна виділити коливання поздовжні, поперечні, крутильні, згинно-

крутні тощо.

14.5. Мета динамічного розрахунку

Основна мета динамічного розрахунку конструкції − забезпечити несучу здатність і допустимі амплітуди коливань. Відповідно до цього в завдання динамічного розрахунку конструкції входить визначення динамічних зусиль та переміщень, зумовлених динамічними деформаціями її елементів. Безпосередньому розв'язанню цього завдання звичайно передує аналіз частот і форм вільних коливань споруди. Згідно з таким аналізом можна достатньо надійно прогнозувати роз-

виток динамічних процесів при різноманітних зовнішніх впливах, а також сформувати ефективні розрахункові динамічні моделі споруди, за допомогою яких виконуються розрахунки для оцінювання величини амплітуд внутрішніх зусиль і переміщень. Рівень допустимих внутрішніх зу-

силь визначається умовами динамічної міцності, а допустимі розмахи коливань конструкції зада-

ються умовами нормальної експлуатації. Тут поряд з можливим порушенням нормального ходу виробничого процесу внаслідок великих амплітуд коливань споруди враховується також шкідливий впив на людей високих рівнів вібрації.

Як правило, виконуючи динамічний розрахунок, безпосередньо визначають характер зміни переміщень споруди, який відповідає розглядуваному режиму коливань. А потім, знаючи перемі-

щення, знаходять внутрішні зусилля в елементах конструкції.

Вважається, що завдання динамічного розрахунку виконано, якщо в результаті аналізу встановлено, що для розглядуваних видів зовнішніх дій забезпечено несучу здатність конструкції,

а розрахункові значення амплітуд коливань не перевищують допустимих. Якщо ж хоча б одна з цих умов не задовольняється, постає проблема знаходження ефективного способу зниження рівня вібрації. В сучасній інженерній практиці існує багато підходів, за допомогою яких можна істотно знизити інтенсивність коливань. Слід зазначити, що такі завдання виникають не тільки на стадії проектування споруди, а й у процесі експлуатації, якщо виявляється, що в існуючій споруді за певних умов розвиваються небезпечні динамічні процеси.

Підставивши вираз (15.11) у формулу (15.7), маємо:

y asin cos t acos sin t,

Із розв’язку (15.12) випливає, що вільні коливання без урахування сил опору відбуваються за законом синуса і, отже, є простими гармонічними коливаннями. Графік залежності (15.12) побудовано на рис.15.2.

Рис.15.2

У точках екстремумів, коли sin t 1, функція прогинів y має амплітудні значення a.

Отже, константа a це амплітуда коливань. Величина asin характеризує початкове переміщення маси, а кут початкову фазу коливань.

Оскільки синус є періодичною функцією з періодом 2 , можна записати:

y asin t asin t 2 .

Звідси випливає:

y asin t 2 asin t T .

Отже, період T виражається співвідношенням, с:

характеризує кількість повних циклів коливань за 2 секунд і називається коловою або

циклічною частотою коливань. У техніці часто використовують величину, що показує кількість повних циклів коливань за одну секунду і називається технічною частотою:

За другим законом Ньютона m Qg , де Q вага маси, g 9,81мсек2 прискорення земного тяжіння. Тоді формула (15.17) може набрати вигляду:

Оскільки величина Q 11 дорівнює переміщенню yст маси від статичного прикладання її ваги

Q , формулу (15.17) інколи записують інакше:

Приклад 15.1. Обчислити період і частоту вільних коливань системи, що зображена на рис.15.3,а. Вага маси Q=1 кН, жорсткість на згин EI 104 кНм2 .

T1f 231,5 4,255 10 2 с.

15.3.Вільні коливання при урахуванні сил опору

Рівняння руху вільних коливань з урахуванням сил опору дістанемо, поклавши в рівнянні

(15.5) величину динамічного навантаження P(t) 0. Отже, маємо

Сила S характеризує опір коливанням, який може бути зумовлений внутрішнім тертям в елементах системи, тертям у шарнірах, а також опором зовнішнього середовища. Інколи при проектуванні споруд застосовуються спеціальні прилади (демпфери, гасники коливань), які створюють штучний опір коливанням. При розрахунку будівельних конструкцій найбільший вплив на процес коливань чинить внутрішнє тертя, яке вважається пропорціональним швидкості руху мас, що переміщуються. Тобто вважатимемо, що

де k деякий коефіцієнт пропорційності.

r 2 2 ,

залежить остаточний вигляд розв’язку диференціального рівняння (15.22). Тобто розв’язок залежить від співвідношення величин коефіцієнта затухання коливань і колової частоти .

більший, ніж період незатухаючих коливань (15.13). Розглянемо співвідношення двох будь-яких сусідніх амплітуд:

Звідси випливає, що відношення будь–яких сусідніх амплітуд є константою, тобто величини амплітуд зменшуються за законом геометричної прогресії. В практичних розрахунках розглядають натуральний логарифм цього співвідношення, який називається логарифмічним декрементом,

Якщо опір є великим (ε>ω), то розв’язок диференціального рівняння (15.22) може бути представлений у вигляді

Рух, що описується рівнянням (15.30), не буде коливальним. Система, яка виведена зі стану рівноваги, повертається до вихідного положення (рис.15.5). Такий рух називається аперіодичним.

Рис.15.5

У разі, якщо (так зване критичне затухання), розв’язок диференціального рівняння руху (15.22) набуває вигляду:

Такий рух також є аперіодичним.

15.4. Змушені коливання в разі відсутності сил опору

Якщо на систему в разі відсутності сил опору діє динамічне навантаження P(t), то маємо неоднорідне диференціальне рівняння руху:

Розв’язок неоднорідного рівняння є сумою загального розв’язку y0 відповідного однорідного

15.4.1. Дія вібраційного навантаження

Вібраційне навантаження являє собою узагальнену силу, яка змінюється за гармонічним

де P0 амплітудна величина динамічного навантаження, колова (циклічна) частота зміни навантаження, яка звичайно пов’язується з кількістю n обертів двигуна за хвилину:

У разі дії вібраційного навантаження (15.35) диференціальне рівняння (15.32) перепишеться в такий спосіб:

Підставимо вирази (15.38) і (15.39) у рівняння (15.37) і виконаємо зведення подібних членів:

який показує в скільки разів амплітуда прогину при динамічному прикладенні навантаження перевищує прогин при статичному прикладенні, називається динамічним коефіцієнтом. Залежності, аналогічні (15.45), можуть бути записані і для будь-яких статичних і кінематичних факторів: опорних реакцій, згинальних моментів, поздовжніх і поперечних сил, деформацій, напружень тощо. Тобто у загальному вигляді

де Sдин,Sст величини фактора S відповідно при динамічному і статичному навантаженні.

Таким чином, в системі з одним ступнем вільності для визначення зусиль або переміщень від динамічного навантаження достатньо обчислити відповідні величини при статичному прикладанні навантаження і помножити результати на динамічний коефіцієнт.

Величина динамічного коефіцієнта повністю визначає напружено-деформований стан динамічної системи і залежить від співвідношення частот змушених і вільних коливань. На рис.15.7,а побудовано графік залежності динамічного коефіцієнта за абсолютним значенням.

Коли / наближається до одиниці, коефіцієнт швидко зростає, а коли вільна і змушена

частоти коливань збігаються ( 1), обертається на нескінченність. Таке явище називається

резонансом. Коли настає резонанс, усі параметри, що характеризують напружено-деформований стан системи (переміщення, напруження тощо), набувають нескінченно великих значень. Це призводить до руйнування конструкції. Втім розвиток нескінченно великих параметрів чиниться не миттєво, а впродовж певного відрізка часу (рис.15.7,б).

Рис.15.7

Приклад 15.2. Побудувати епюру згинальних моментів у рамі (рис.15.8,а), що знаходиться під дією горизонтальної динамічної сили P P0sin t , P0 4 кН, 125,6 сек-1. Вага маси

Q=1 кН, EI=104 кНм2.

Рис.15.8

З розрахунку рами на вільні коливання (див.приклад 15.1) маємо колову частоту =147,6 сек-1.

За формулою (15.46) обчислимо динамічний коефіцієнт:

1 3,625. 1 125,62 147,62

Епюра згинальних моментів Mст від статичного прикладення амплітудного значення сили

P0 4 кН побудована на рис. 15.8,б. Епюра згинальних моментів від динамічної сили побудована на рис.15.8,в у відповідності з формулою (15.47):

Mдин Mст 3,625Mст.

15.4.3. Дія раптово прикладеної сили

Два перших доданки характеризують вільні, а третій змушені коливання. Тобто цей третій

доданок становить частинний розв’язок задачі. Константи інтегрування C1 i C2 можуть бути визначені на підставі початкових умов руху: в момент часу t 0 переміщення маси і швидкість її

де yст переміщення маси від статичного прикладання сили P.

У графічній формі цей розв’язок представлено на рис.15.9. Отже, маса коливається навколо статичного положення рівноваги yст з амплітудою A yст. Максимальне відхилення становить ymax = 2yст, а динамічний коефіцієнт ymaxyст 2 .

Рис.15.9

15.5. Змушені гармонічні коливання при урахуванні сил опору

Розглянемо дію на систему гармонічної сили P P0sin t . У даному випадку диференціальне

Як завжди, розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (15.52) складається із

Отже, переміщення маси є накладанням двох коливальних процесів, один із яких описується

Справді, можна впевнитись, що, по-перше, величини (15.61) є меншими за одиницю і, подруге, виконується таке співвідношення:

Отже, довільні константи інтегрування з урахуванням позначень (15.61) набудуть вигляду

або остаточно:

Із рівняння (15.65) можна дійти висновку: змушені коливання при дії вібраційного навантаження є періодичними, відбуваються з такою ж частотою, що й навантаження, і мають амплітуду

На рис.15.10 зображено складові коливального процесу. По-перше, це графік вільних коливань з урахуванням опору (15.54). Йдеться про вільні коливання (рис.15.10,а), які досить швидко затухають.

Рис.15.10

По-друге, це графік змушених коливань, що описуються рівнянням (15.65). І, по-третє, це графік сумарного руху (рис.15.10,в), який є сумою двох попередніх графіків. На останньому графіку можна виділити дві зони:

1.Зона, де вплив вільних коливань є відчутним. Це так звані неусталені, або нестаціонарні, коливання.

2.Зона, де вільні коливання повністю або майже повністю затухли. Це суто змушені коливання,

які називають усталеними, або стаціонарними, коливаннями.

Розглянемо докладніше амплітуду змушених коливань (15.66). З урахуванням позначення (15.60) можемо записати:

Якщо винести частоту вільних коливань з-під знака радикала, то матимемо

Звернемо увагу на те, що перший співмножник становить переміщення від статичної дії навантаження:

P0 2 P0 11 yст

m

і позначимо:

Отже, це динамічний коефіцієнт для вібраційного навантаження при урахуванні сил опору.

Для переважної більшості будівельних конструкцій можна вважати що . В такому разі з урахуванням позначень (15.27) і (15.29) динамічному коефіцієнту (15.69) можна надати вигляду

На рис.15.11 зображено графіки залежності динамічного коефіцієнту від співвідношення

частот θω при різних значеннях логарифмічного декремента γ.

динамічний коефіцієнт. У разі, коли частоти вільних і змушених коливань збігаються, тобто у випадку резонансу, при наявності сил опору динамічний коефіцієнт має скінченне значення.

Справді, із формули (15.71) випливає, що в разі, коли , динамічний коефіцієнт

Рис.15.11

О П А

16. истеми з кількома ступнями вільності

Зміст глави