ДО ЗМІСТУ ПІДРУЧНИКА

17. Коливання систем із нескінченно великим числом ступнів вільності

З м і с т г л а в и

17.1. Рівняння руху систем із розподіленою масою

17.2. Вільні коливання за відсутності сил опору

17.3. Змушені коливання стержня при гармонічному навантаженні

17.4. Динамічний розрахунок рам

17.4.1. Метод сил

17.4.2. Метод переміщень

17.5. Метод заміни розподілених мас зосередженими

До систем з нескінченно великим числом ступнів вільності можуть бути віднесені системи,

власною масою яких не можна нехтувати. Тому у розрахунках необхідно розглядати елементи як такі, що мають розподілену масу.

17.1. Рівняння руху систем із розподіленою масою

Розглянемо балку (рис.17.1,а), яка має розподілену вздовж її прогону масу m. До балки може

бути прикладено динамічне навантаження q = q(x, t) .

Рис.17.1

У процесі коливань переміщення будь-якої точки, що розташована на осі балки, залежатиме як від координати x, так і від часу. Таким чином, пружна лінія балки може бути представлена як функція двох параметрів:

y= y(x, t) ,

іотже зусилля також будуть функціями цих змінних:

M = M (x,t);

Q = Q(x,t).

Проаналізуємо рівновагу нескінченно малого елемента балки довжиною dx (рис.17.1,б). Поряд із зовнішнім навантаженням q(x, t) в процесі коливань виникають сили інерції

мають інтенсивність

f (x,t) = −m ∂2 y

∂ t2

і сили опору руху s = s(x, t) .

Складемо рівняння рівноваги нескінченно малого елемента:

17.2. Вільні коливання за відсутності сил опору

Диференціальне рівняння руху вільних коливань за відсутності сил опору можна дістати із співвідношення (17.7), якщо покласти s(x,t) = 0 i q(x, t) = 0 :

За аналогією з випадком коливань систем з одним ступнем вільності розв’язок рівняння (17.8)

шукатимемо у вигляді добутку двох величин:

де функція X (x) характеризує переміщення мас системи, тобто форму коливань, і залежить лише від координати x.

Четверту похідну за координатою x розв’язку (17.9)

Розв’язок диференціального рівняння (17.14) визначається розв’язком його характеристичного рівняння

Зважаючи на корені (17.16) характеристичного рівняння можемо записати розв’язок

Це співвідношення визначає форму осі стержня під час коливань і називається балковою функцією. Довільні константи інтегрування можуть бути визначені, виходячи з граничних умов на кінцях стержня:

Отже, для стержня можна скласти чотири рівняння (по два для кожного кінця), які містять чотири невідомі константи C1 , C2 , C3 , C4 . Оскільки ці рівняння будуть однорідними, умовою

відміни від нуля цих констант буде дорівнювання нулю визначника системи рівнянь. Елементами визначника будуть величини колових і гіперболічних функцій. Тому визначник буде трансцендентною функцією параметра k і набуватиме нульове значення при нескінченній кількості значень цього параметра, причому кожному значенню параметра k відповідає своя форма коливань X (x) i частота

Розв’язку (17.17) можна надати форму методу початкових параметрів, тобто виразити константи інтегрування через характеристики напружено-деформованого стану на початку системи координат.

Рис.17.2

Так, на лівому кінці балки (рис.17.2) позначимо:

Приклад 17.1. Розрахувати балку (рис.17.3,а) на вільні коливання. Переріз балки і, отже, її маса

не змінюються вздовж прогону, тобто EI = const i m = const .

Рис.17.3

Виходячи з граничних умов знаходимо значення констант інтегрування. Для лівого кінця балки

(при x=0) можемо записати:

Параметр k не може дорівнювати нулю, оскільки згідно з (17.18) колова частота також дорівнювала би нулю, що відповідає відсутності коливань взагалі. Тому рівняння (17.25) можна скоротити на k 2 :

а значенню n=2 − друга частота:

тощо. Отже, можна зробити такий висновок: частоти вільних коливань є пропорційними квадратам їхніх номерів.

Головні форми коливань визначаться підстановкою розв’язків (17.31) і (17.33) у вираз (17.27):

Таким чином, кожній частоті відповідає певна форма прогинів балки, яка визначає головну форму коливань. При n = 1згин балки відбувається за півхвилею синусоїди (рис.17.3,б), при n = 2 − за двома півхвилями (рис.17.3,в), при n = 3 − за трьома (рис.17.3,г) тощо. Неважко впевнитись, що значення константи C4 в усіх випадках характеризує висоту півхвилі.

17.3. Змушені коливання стержня при гармонічному навантаженні

Розглянемо стержень із рівномірно розподіленою масою, на який діє рівномірно розподілене динамічне навантаження, що змінюється за законом

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння є сумою загального розв’язку однорідного

рівняння y0 і частинного розв’язку y* , який залежить від вигляду правої частини:

y = y0 + y* .

Розв’язок однорідного диференціального рівняння y0 визначає вільні коливання стержня і

виражається співвідношеннями (17.17) або (17.21). Завдяки силам опору ці коливання із плином часу затухають, і коливання, що встановилися, будуть визначатися частинним розв’язком рівняння

(17.39). Шукатимемо частинний розв’язок у вигляді

Після підстановки (17.40) у (17.39) матимемо звичайне диференціальне рівняння

Решта характеристик напружено-деформованого стану можуть бути одержані послідовним диференціюванням співвідношення (17.44):

кінцях стержня.

Приклад 17.2. Розрахувати балку із затисненнями на обох кінцях (рис.17.4) на кінематичне збудження коливань: періодичний поворот лівого затиснення на кут ϕ (t ) =1×sin qt.

Рис.17.4

Для задачі, що розглядається, необхідно вибрати такі початкові параметри:

y0 = 0, ϕ0 = 1, M 0 = M ab , Q0 = Qab .

Існують спеціальні таблиці, де наводяться значення цих функцій залежно від значень параметра u. В табл.17.1 наведені розв’язки для кінцевих зусиль у стержнях при різних закріпленнях кінців.

Таблиця 17.1

17.4. Динамічний розрахунок рам

Рами, до складу яких входять стержні з розподіленими масами, можуть бути розраховані на вільні і змушені коливання за методом сил або за методом переміщень.

17.4.1. Метод сил

Основна система методу сил утворюється шляхом відкидання “ зайвих” в’язей і заміною їх реакціями. Якщо динамічне навантаження змінюється за законом синуса P (t ) = P0 sin θt , то реакції відкинутих в’язей

X1 (t ) = X1 sin θt, X 2 (t ) = X 2 sin θt , ..., X n (t ) = X n sin θt ,

де X1 , X 2 ,…, X n − амплітуди величин реакцій відкинутих в’язей, тобто основних невідомих методу сил.