Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Нарештi, нормована хвильоваC =

4m

2mω

T

óíêöiÿ=

.

π

гармонiчногоПрикладψ(x)1=. r πp

cos

~

x2

p dx + 4

,

x1 < x < x2.

2mω

1

π

i¨

армосцилятонiчнийора:осцèлятор. Запишåмо класичний вираз для енер-

p2

mω2

2

Його можна переписати так: E =

+

x .

2m

2

p

2

p

x

2

Цей виразцi¹юне

ðiâняння

åëiïñà â 2координатах= 1.

ùî iíøå,√

ÿê

2 +

(

(

2mE)

2E/mω2

обмежену

азовою тра¹кторi¹ю, визнача¹мо розмiрами пiвосейx, p). Площу,елiпса

√

p

a = 2mE,

b = 2E/mω

Бора Зоммер √

2πE

p dx = πab = π

=

mω2

ω .

З умов квантування

ельда ма¹ìî

2πE/ω

1

звiдки й отриму¹мо добре вiдоìi ðiâíi=åíåðn + i¨ ,гармонiчного осцилятора

2π~

2

262

E = ~ω(n + 1/2).

p

p2

k

iмпульс

E =

+ α|x|

,

k > 0,

2m

Умова квантування:Z x2 p

p =

2m(E − α|x|k ).

2

Z

äå

x1

2m(E −

α|x|k ) dx = 2π~(n + 1/2),

çàìiíó çìiííî¨

Z

1

(E/α)

1/k ,

x2

= (E/α)

1/k . Зробимо

n = 0, 1, 2, . . ., а точки повороту x1 =

x = y(E/α)1/k

.

умова квантування набира¹ вигляду:

Тепер

−

4 (E/α)1/k √

I = 2π~(n + 1/2),

äå iíòå ðàë

2mE

çàìiíîþ

I =

0

1 − yk dy

y = t1/k зводимо до B-iнте рала Ейлера

1

t1/k−1

(1 − t)1/2dt =

(1 + 1/k) (3/2)

I = k

,

0

(1/k + 3/2)

(z) гаммаункцiя. Остаточно ма¹мо

α1/k ~

(3/2 + 1/k)π

2k/(2+k)

ченьЗгiднозгквантовогопринципармонiчE числа= âiäï√

âi (1 + 1/k) (3/2) (¹nточним+ 1/2) прикладуграницi. âå èê õ çíà

2

2m

ляньмо кiльк

nк. нкретних випадкiв. При

тораенер iю для

îã

осцилятора

-

отримуосциля¹мо

Äëÿ

попередньогоk = 2 очевидно.

x4

k = 4 çíàõîäèìî

1

2α~4 1/3 3√

(3/4)

4/3

Ïðè

.

2

m2

(1/4)

n = 0 звiдси одержу¹мо енер iю основного стану

3

2α~4 1/3 3

√

(3/4)

4/3

3

2α~4 1/3

ïîðiвняти

√

ç

îöiíêîþ

знизу дëÿ

× 1.156194.

m2

E =

8

m2

12

(1/4)

=

8

Öiêàâî

цей вираз

êëàäiÄëÿ2äî

Ÿ7.

E, яку ми знайшли в При-

|x| -осцилятора (k = 1) åíåð iÿ

263

лазбiга¹ться з т ч им результатом з Ÿ241/3

при великих значеннях квантового чис-

E =

~2β2

3π

(n + 1/2)

2/3

2m

4

n; äëÿ îñíîâíого стану (n = 0) наш квазiкласичний вираз да¹

~2β2 1/3

3π

2/3

~2β2

1/3

× 1.115460,

записуточний числ вий êîå iöi¹íò äîðiâíþ¹

E =

2m

8

=

2m

îзгляньмо великi значення показник. частинки

Нарешстiнкпри

1.018793

¹ìî

àê:

k. Для цього величину α

резуль атi

α = V0/x0k , V0 масшт б енер i¨, x0 масштаб довжини. В

високими

kàìè→ ∞i шириноюприхдимо

çàäà÷i ïðî ðóõ

в ямi з безмежно

a = 2x0. При цьому енер iя

~2

π

2

2

åâàëåíêтроналонiвськийовихчислахатомiззточноюотенцiальноюормулоюенерз Ÿ20i¹ю.

ЦейПвиразкладзбiг3.¹тсяАтомприводнювеликихE.= óõê

a

(n + 1/2) .

2m

Uсиметрпе= −e

2

/r

L

площинi,ент льнощо

ðèдикучному, унаслiдокярнп ю (другийзаконувектора,законзбереженняКеплермоменту),вiдбув(першийiм ¹тьсяульсув

електронахар ктерзаконпотенКеплера)iалу забез.Кi-

íèéминатах

ïåтичначу¹ рухенеректроiя електроназапишемоелiптичнимилярних. КуорбiтУведемооор

í

L

ä

mv2/2 = m(r˙ + r2ϕ˙ 2)/2,

Крапкамиr довжипозначенорадiупохiднiс-

часомϕ ïîëÿ.

утанонiчно(0 ≤ r <спряженi∞ 0 ≤iмпульсиϕ ≤ 2π).

pr = mr˙, pϕ = mr2ϕ˙

повну енер iю

у такому виглядi:

Узагальн ний iмпульс

E =

pr2

+

pϕ2

−

e2

.

2m

2mr2

r

åëüäà:äâà

ступенipϕ вiльностiчисельноI

дорiвню¹отже, двiмоментовiумови кiлькостiквантуванняруху БораL.

ЗоммерМа¹мо

I pϕ dϕ = 2π~nϕ,

å

pr dr = 2π~nr ,

азимутальне квантове число,

æèìî,nϕ що ми опуска¹мо

правих

астинахnr умоврадiальневантуванняквантовестумовачислоiвел.Зауваини-

νäîðiâíþ¹óìîâϕ νr (0ÿ≤õâνϕльово¨< 1, 0 ≤ νr

< 1)Для,то дновимiрнiзначенняогояких

óíêöi¨.

рухузалежать,якмибачили,вiд гранцяè÷сталаних

Âåëичина1/2.

вання да¹

pϕ ¹ iнте ралом руху

pϕ = const. Тому перша

êâàí ó-

264

pϕ = ~nϕ, nϕ = 1, 2, 3, . . . . Çíà

nϕ = 0 ми повиннi вилучиòè,

öå âiäï âiä๠ðóховi електрона по прямiй лiнi¨ крiзь ядро ( маятни-

оскiлькиова орбiта),

ùî,

за класичними уявленнями, неможливо.

Другу умову квантування запишемо так:

Z r2

s

2

e

2

pϕ

dr = 2π~nr ,

2

r1

2m E − 2mr2 +

r

nнулевir = 0,пiдкореневого1, 2, . . .

rвиразу,1 r2 точкирозв'язуючиповороту,приякiцьомувизнач

. Òóò

,

квадратне¹мо з уморiвняння:и рiвностi

1

=

me2

(1

ǫ),

r1,2

r

pϕ2

±

1

ǫ =

1 +

2Epϕ2

ексцентриситет елiпса. Тепер пiдкореневий4 вираз

E

pϕ2

+

e2

=

pϕ2

me1

1 1

−

2mr

2

r

−2m r

− r1

r − r2

i для обчислення iнте рала зробимо замiну змiнно¨

π

Z π

r

=

2

Z

r1

+

r2

+

2

r1

−

r2

cos ϕ,

0

0

ïðè

,

ïðè

r = r2

. Якщо використкван ування:изчення

r1

,

r2, òî

ϕíàøà= 0пiдстановкаr = r1

ма¹ϕ =вигляд:π

Простi перетворення дають для друго¨ умови

2ò

2 åëiïñ.

Z

r = p/(1 + ǫ cos ϕ), p = pϕ/me

Z

π

Iнте ру¹мо частинами:

pϕ

π

ǫ2 sin2 ϕ

dϕ = ~nr .

π

0

(1 + ǫ cos ϕ)2

pϕ

ǫ sin ϕ

−

= ~nr ,

i îòæå,

π

1 + ǫ cos ϕ

1 + ǫ cos ϕ

dϕ

pϕ

π

1

àáî

−

1 −

dϕ = ~nr

π

0

1 + ǫ cos ϕ

Пiдстановкою

pϕ

dϕ

= pϕ + ~nr .

π

0

1 + ǫ cos ϕ

Z

x = tan(ϕ/2) цей iнте рал приводимо до табличного:

π

dϕ

=

2

Z

∞

dx

!

0

1 + ǫ cos ϕ

1 −

ǫ r0

1+ǫ

+ x2

r