Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

зображеннi C(p), êîëè pˆ = p, à xˆ =

~ d/dp:

p2

d

C(p) = U ′(x0)x0C(p).

Переписавши це рiвняння+ U ′(x0ó)i~âèã

2m

dp

ëÿäi

dC(p)

p2

x0

iíòå ðó¹òüñÿ:

− ~

C(p),

бачимо, що воно легкîdp

= i

2m~U ′(x0)

p3

C(p) = C exp

− ~ px0

,

6m~U ′(x0)

C стала нормування. У координатному зображåííi

хвильова ункцiя

Z∞ eipx/~

çíàõîдимормулою

ÿê

ою ¹ синусвiнте(миралроiçпсиметричнимису¹мо експо-

межнУраху¹мо,нтуамипiддорiвню¹знакомщовнесокiнтенулевi,ралнепàiψðíî¨(x) =

−∞

√2π~ C(p dp.

Åéëåðà),

óíêöi¨,

2C

Z∞

p3

p

ðóâàíí

ÿ

6m~U ′(x0) + ~ (x − x0) dp.

Çàìiíà çìiííî¨ψiíòå(x) =

√2π~

cos

0

6m~U ′(x0) 1/3

остаточно да¹

p = q

Z∞

äå

ψ(x) = A

cos(q3 + qz)dq,

0

1/3

A стала нормування, а величина

6mU ′(x0)

асаннярагикдiлзвщеом,àiнiнтенсивностiнийрайдуги1638,щороцi,цярал,.Наункцiяпевногоабовiдмiнутеорi¨унвиниклаангвiдольцiяiйськорутеорiЕйрi,воготеорi¨зназиваютьенеастрономаякоюрайдуги,Декартами вждо™такожде.(1596Бмали.вонаЕйрi1650),справуункцi¹ю,да¹(1801кутовийяку1892)Ÿ24абовiн.

загiнтерозпоЗстворивЦеув

z =

~2

x − x0).

252

(пропорцiйно¨

|ψ|2 осцилюючою

êóòà

åííÿ.

уважимо, що теорi¹ю

займались

-

óíêöi¹þæ Äæ. ™. Ñò

спостереж(1819 1903)

ÇàÀ. Ô. Ìåáió

(1790 1868). Цiкаво також

стосування у ква

âié òåî i¨ ðîçñiÿ íÿ

теорi¨ райдуги, де вони дають

ти, що добре рîзви утi сучаснi методи

набл ження знайшли

надзвичайно цiкаву òîíêó

спектраквазiкласичногоольорiв.

Вiдступ.

онстдлязнайденихант¨х встанома¹рiпевнеленнязначення,ьдлямивважпоправи

я ундаментпроункцi¨справедструктуруальнадi¨.Аджвiстьчення

вокника¹Оскiдощопитанкласично¨ьки

¹ìî,

~

спериментуваезалежiче ьняче еперервногоняою. Аëèцечиною,БусвоюльбашцiрдучекСвiтiв,можегуознача¹,унабуватиякихщореалiзубудьмипри¹ть-якi

äiéñíiÿäíå¹ìäîçi~äàòiñç¹

ã

~. Ó íàøié

~ = 1 05457266

·

10−27

êð÷· 2

спектранащонуваннянiстьякiйiвню¹руха¹тьсяАспiрсинтезувмас2пнуле. Якiзичнiбунаскiлькиелементкâнавколоатиодинi(йоговся,онсвтщоарнихядрi,прихвиòнашонза

вибраладивуватись,iдо

призвело

êти,Свiтпускалаолиоладiв,смстинякiтобто/секмоментпрецивiдповiстизгляйпроанакек..дозвопротона,Чомуемоiйнокiлькостiëатомiзу¹моиливажксамевонама¹реалiзуваальнуводпiдiбралтак.рухуналашМоненуюжна.знаЕлектрон,становку,ьектронауванняилишенашеундаментальнiймовi

мiркуваньтiатядерногоспостерiгма

p + e− → n + ν

-

водню,.Процесапаливачiвтобто.Однаквнейогограничнийзiркахйдетаквiдсутностiтомуi,якреакцiявипадок,щонаслiдок,щоузабороненаВсесвiтi,вiдсутностiбидоотже,знестабiльностiенер(познаНасвiдсутносетичВамиих

чевиднi, крiм того, множ к

mp + me < mn

÷å íÿ

îпуска¹моенерберемоiю). Отже,

c2

бiля масиколидлянейтринпрост тивиносзапèòüñó

нульову

me < m,

m = mn − mp,

m = 1.3 MeV.

Ÿ 30. Правило квантування Бора Зоммер ельда

Перейдемо тепер до встановлення зв'язку мiж точними умо

в ми квантування, зокрема енер i¨,

через рiвня ня Шредин е-

ðà ç

вами квантування старо¨ квантово¨ мех iки ,

як умови квантування Б ра Зоммер ельда.

доступнiй областi,дновимiрнийобмежрухенiйчасдвомаинкиточкзамиåíåðповороту,i¹ю вiдомимикла

сичнозглянемо

E

повороту. рис. 28).

x1 ≤

во¨ точки(див

Râiäx

хвильова ункцiя x = x2. Праворуч1

íå¨ x > x2, U (x) > E,

спада¹ зi зростанням

(x) =

C

− ~

x2 |p| dx

ψx.

2p|p|e

область незастосовностi квазiкласичного

наближення.

Лiворуч вiд точки повороту

у класично доступнiй об-

ластi ма¹мо осцилюючi

ðîçâ'ÿçêè:

x < x2

C1

i

R x p dx

C

i

R x p dx

няВиписанiШрединхвильовiераψäëÿ(x) =óíêöi¨e ~ xöå2 ðîçâ'+ ÿç2 eê−одного~ x2

é. òîãî æ ðiâíÿí-

√p

√

ФормальноМирiвнянняцю¹.

x2

-.

чнийакимпараграрозв'язоктрюкомнепраа)

îãî

тповороту

а¹мосьайтинаближенняункцiя

попереднь

точкиераповоротуне(дивбудемо,,,що.деприклПерехiднашквазiкласичпотрiбноскористхвильовадо

тутТомуцьогоШрединбiлявважатимемробит

вздовж¨

ψ(x)

¹ óí

кцi¹ю комплексно¨ змiнн

-

îвуосi,черезäàзiклапоточкуонтуичностiсправа.комплексправа

iйалiвоВiзьмемоплощинiздiйснимотак,бусуцiльноющобне-яке зберегтизначенняx.дiйснумне¨

ïîâî îòó

x íà iéñíié ñ

âiä î÷êè

iузобверхнiй x2

çäiéñíi,имоякийлiнi¹юнавколопiвколомнарисä.äîñ29.òатньний бхiдвеликогозконтуромрадiуса

ðаженийпiвплощи

ис. 29. Контури обхпотду точки повороту

При цьому ми

àïëÿ¹ìî

точкуx2 на комплекснiй п ощинi.

ò ÷

повороту

x à äiéñíié îñi çëiâà âiä

ðîзкладу потенцiа2ëüíî¨ åíåð i¨

îêîëi

iπ . Ç−урахуванням

ð такому обх дi рiзниця

(x

x2)

отриму¹

д даткову аз веx .ичиноюП

π: x −x2 → |x −x2|e

x2

256

U (x2) = E,

óíêöi¨,

x1 < x < x2,

такому|p| = p2m[U (x) − E]

p2mU ′(x2)(x − x2)

ïðè

обходi, вiдповiдно, набiга¹ аза

|óíêöiÿp| → e справа|p| =

π/2:

p2m[E − U (x)] = ip.

Хв льова

iπ

вiд точки

2

R x √

x2

у другий доданок хвильово¨

задано¨переходитьдля при цьому

1

dx

2m(U (x) E)

ψ(x)

=

−

ðiâíiñòü

− E)]1/4

2[2m(U (x)

R x √

2m(E

→

Ce− ~ x2

−

iπ 1/4

2[2m(E − U (x))e

]

C

π

i

R x

i тому повинна виконуватись

e−

−

~

x2 pdx

4

=

2√

p

e

,

óíêöiÿ

ψ(x) справа вiд x

C головдодаíèìê

приповторимобхдiзапоконтуром у

iπ

= C2.

верхСаме iйцейпiвплощинiдругийдоданок.вiд'¹мПершíóèée− 4

2

õiä÷èì

C1e

2

/√p

~

Rxx

p dx

-

великуеннiмизнайшливерхнюдiйснузв'язокпiвплîчастинущинумiжому.алиТ , щоуйого¹азникнезагберемоасаюек

нентувагипри.ма¹заглибОтже,

роцедуру

Для встановлення зв'язку мiж

C2

òà C.

257

-

щовою.На стрiлкоюрис.29 вiд'¹мнцепоперештрèховайобню

нийзак контуром,.здiйснюючиМиотружнiйма¹мозапiвплощинiгодиннитепер,C1

C

перех дить

перший доданок осцилюючого

ðîçâ'ÿçêó äëÿ x < x2

ç êîå iöi¹íòîì

C1 = C e 4 .

17 I. О. Вакарчук

iπ

2

Таким чином, ми можемо записати хвильову ункцiю злiва вiд

x2

у т ому виглядi:

R x

i R x

C

iπ

i

C

iπ

Отже, остаточноψ(x) =

e 4

+

x2 p dx +

e−

4 −

~

x2 p dx.

2√

2√

p

p

C

cos

1

x

π

,

Zx2

ψ(x) = √

p dx +

~

4

p

Пiдкреслимо, що ми не

зшива¹мо

òî÷öi

x < x2. хвильовi нкцi¨

вза¹мнуротузаданiпозбавленiзлiвавiдповiднiстьсправазмiстумовiд(ма¹мо

x2

наменнику)вонибiляобидвiсправавiддаленням.Моточцiйдеповопро-,

çëiâà

дно¨не¨,дозастосуватиоскiлькинудруо¨

æíà

точки

x2

Усi цi мiркування

повороту.

Îòæå, çëiâà

точки

x1.

хвильову ункцiю

x1 ма¹мо загасаючу з

âiä íå¨

ψ(x) =

C′

e− ~1

Rxx1 |p| dx,

óíêöiÿ

âiäïîâiäíèìè

2p|p|

а в областi

x < x1,

x > x1 осцилюючий розв'язок:

нями,Застосовуючизнах ψ(x) =

C1′

R x1 p dx

+

C2′

R x1 p dx

.

√p e

√p e−

димо,попереднщо цяi викладки~ x записó¹òüñÿ~ x

ó âèглядiперепозначен-

ψóàöiÿ,(x) = óí√p cos ~

Zx

p dx + 4

.

C′

1

x1

π

Âèí êëà ñè

îëêèöi¨äëÿ

x1 < x < x2

нкцi¨, знайденi як

ìà¹ìî ä

хвильовi

258звони

x

злiва вiд доступнiйасправа âiä

x1

x2

õ

умовиописуютьднозначностiòой самийхвильово¨станукласичноункцi¨

димо областiвисновку,..ТомуАлещо

1

x1

π

1

x

π

.

Zx

p dx +

p dx +

C′ cos ~

4 = C cos ~ Zx2

4

Мiняючи мiсцями межi iнте рування, перåпишемо цю умову так:

ðiâíiñòüC′ cos ~

Zx1

p dx − 4

= C cos ~ Zx

p dx −

4

.

1

x

π

1

x2

π

Öÿ

âèêîíó¹òüñÿ äëÿ довiльних зíà÷å ü

òà

x мiж точками x1

1

x

π

1

x2

π

Zx1

p dx −

+

Zx

p dx −

= nπ,

àáî

~

Zx1

p dx −

2 = nπ

1

x2

перiодомЦей iнте

класичногоралздвiй~

Zx1

p dx = 2π(n + 1/2).

2

x2

êîруху¹нiчимю частинки:iншим, як iнте ралом за повним

знаУабво¨тичнiй)

I

p dx = 2π~(n + 1/2),

n = 0, 1, 2, . . . .

мiльПцеймер.Ереякгеометричнийiнтеельдаприiзестзалиша¹тьсквантуваннямпонадававзiâiстаро¨льнiйдомийвелик(адiабасталквантояк.Iнтеîþãî-.

iíâàðiàíòiâíiöi¨ Çîíà,

парамеквантуванняУкласичнiйадi, рiвово¨батичнтобтомехункцБормехвеличàíiêèõ

Цермежахченняловiтичниймеханiки¹умовазмiнiстаро¨зв'язкуiнварi.

17*

p dx можн надатè простий

çìiñò 259öå

Зоммертiднехтра¹кторiя(ена)ельдадо.Дляелементарного¹зводитьсязамкненоюперiодичногодо.Приквантаумови,рухуцьомудi¨щоякийплощаумоватут розглядквантуванняазового¹мо,простору,Базора-

òî÷íiñòþ

h = 2π~, ¹ цiлим числом з

1/2 (äèâ. ðèñ. 30):

Число

H2π~

= n + 1/2.

p dx

àíüШрединченняхвиникчнаера¹.умовавнаслiдокквантуванвикоíаннязастосограничнихлишеумовпривузлiв,велирiв

зiкласичностi,няннiихКвзн 1/2

êöi¨

n. Äiéñí ,

плива¹визнавир зу для хвиль о¨ ун

-

âèхвилiкваннема

оскiлькивеликимззмушенiдовжинiумовами¨¨поiмпульс

þ¹

довжинабуомслолоювеличинивеликвеличиною,хвилi,цi¹¨умовидортобтозг¹iêiëüêiñòüäíìè

íèìèповинначисло. Длязавузлiввiльностi,забезпеченнябутидк,

Дебройлiвськ

утиБройлябутиквантовещобмiжвеликимкiлькiсть.ол

n

ãìà¹äåâiäñòψ(x)

x1 < x < x2

координатувДляáàння,гатьмаЗнайденекжногоякщоступенямипiдправилокоординатоюквант.

альненуêâà туихз-.

n

колима¹iмпульсомузагальню¹тьсможливесилувиписанарозумiтироздiленняумоваузагсистемузмiн

νточкиви= 3/4

ν = 0 n ≥ 1

(наприклад,

q а вiдповiдний ¨й iмпульс p:

p dq

H2π~

= n + ν,

n = 0, 1, 2, . . .

поворотуе дляичина.вертикально¨Цiумовизалежитьдиктудорiвню¹стiнкихарактервiдвиднограничнихднiйпотенцiально¨зточумовзадачiоворотуенер¨:

наточкахпричомулад,

ν < 1

òîìóбохва ункцiя,

. Ценулевi

âiä

з того,випадкущзлiваершом

äëÿ

адку хвиль

íå

),

íàøà óíêöiÿ

äëÿ

ìà¹

àçó x1

ψ(x1) = 0

ψ(x)

x > x1

óíêöi¨, π/i äëÿ4, à π/2, ùî

๠ν = 3/4. У другому

обидвi

x < x2

äëÿ x > x1 мають ази рiвнi π/2, тому

ν260= 0.

òорi¹ю, умiща¹тьсункцi¨я. цiлеСталучислонормуванняквантiв дi¨ .

азов ю тра¹кдо хвильово¨

межена

знача¹мо з умови

C âè-

при ому до уваги беремоZëèøå|ψ(xвнесок)| dx =âiä1,областi

2

туючи експоненцiально малими

внесками за

x1 ≤ x ≤ x2

ìiæêó:

межами цього, пронех-

2

x2

dx

cos

2

1

x

π

= 1.

|C|

Zx1

ê p

~

Zx2 p dx +

4

¹мо:озписуючи квадрат

îñинуса чåрез косинуñ подвiйного кута, ма-

воюВнеском |

2|

Zx1

p

−

Zx1

p

sin

~

Zx2

p dx = 1.

C

2

x2

dx

x2

dx

2

x

êëàñдругичнîãîñòiiíiìтепульсрала òàêîæ

êâàçiâiä