5. Процессы изменения состояния идеальных газов

Исследование термодинамического процесса включает в себя получение аналитической связи между термодинамическими параметрами газа, определение их значений и приращений в различных термодинамических состояниях, реализуемых в процессе.

Фундаментальные соотношения для идеального газа (в удельных массовых величинах):

Pv=RT – уравнение состояния (Клапейрона);

du=c_vdT, dh=c_pdT – закон Джоуля;

с

(5.1)

_p–c_v=R₀/μ – формула Майера;

две формы уравнения первого закона термодинамики

(5.2)

–

Изобарный процесс (P=P₀=const)

а). В этом случае для любых двух состояний газа

P₀ v₁=RT₁, P₀ v₂=RT₂.

Отсюда следует характерная для этого процесса связь между термодинамическими параметрами (уравнение процесса):

или .

б). Поскольку dP0, то из (5.1) следует, что все тепло идет на изменение энтальпии:

q = h = c_pdT.

Располагаемая работа равна нулю.

в). С учетом этого из (5.2) следует

u = h – P₀V = h – RT.

Работа расширения А = P₀V.

Изохорный процесс (V=V₀=const)

Поскольку M=const, то v₀=V₀/M=const.

a). Для любых двух состояний

P₁v₀=RT₁ , P₂v₀=RT₂.

Отсюда следует уравнение изохорного процесса

или .

б). Из (5.2) получаем q=u=c_vT – все тепло идет на изменение внутренней энергии; т.к. dv0, работа расширения равна нулю.

в). Из (5.1) следует

h = u +v₀P = u+RT = q+v₀P.

Располагаемая работа v₀P = h –u = RT.

Изотермический процесс (T=T₀=const)

а). Из уравнения состояния для двух произвольных «точек» этого процесса

P₁v₁=RT₀ , P₂v₂=RT₀

следует уравнение процесса

или Pv=RT₀=const.

б). В соответствии с законом Джоуля, т.к. dT0,

du = c_vdT  0, dh = c_pdT  0 (u=h=0).

в). Из уравнения (5.2) следует, что dq=Pdv – все тепло идет на совершение работы, и наоборот.

Из (5.1) следует, что dq = –vdP – располагаемая работа равна работе расширения с обратным знаком.

г). Произведенная работа (работа расширения)

Здесь использованы следующие из уравнения процесса равенства:

P₁v₁= P₂ v₂ =Pv= RT₀=const и .

Адиабатный процесс (dq=0)

В этом процессе отсутствует теплообмен с окружающей средой:

Q=Mq=0.

a). Поскольку dq=0, уравнения (5.1), (5.2) имеют вид

, ( =dh; =du).

Разделив первое уравнение на второе (отдельно левые и правые части), получаем

( – показатель адиабаты). Из этого уравнения следует , т.е. , и

или . (5.3)

Это и есть уравнение адиабатного процесса, а т.к. Pv=RT, можно представить его в виде

или . (5.4)

б). Располагаемая работа в адиабатном процессе в k раз больше работы расширения:

vdP= –k(Pdv).

Поскольку vdP=dh, а du= –pdv, приращение энтальпии в k раз больше приращения внутренней энергии:

dh=kdu.

в). Для работы (работа расширения), совершаемой газом в адиабатном процессе при переходе из одного состояние в другое,

dA=Pdv.

Поскольку h=u+Pv, то

dh–du=d(Pv)=Pdv+vdP=dA–kdA=(1–k)dA,

следовательно, получаем

dA= –d(Pv)/(k–1).

Отсюда после интегрирования

.

Используя различные уравнения адиабатного процесса (5.3) или (5.4), формулам для A можно придать различный вид, например,

.

Политропный процесс (dq=c_пdT, c_п=const)

Этот процесс характеризуется линейной зависимостью Q от T.

а). Для этого процесса уравнения (5.1), (5.2) имеют вид

(du=c_vdT, dh=c_pdT), .

Перенесем в левые части этих уравнений:

,

.

Разделив первое уравнение на второе, получим

, vdP= –n(Pdv)= – ndA

(n – показатель политропы). Действуя как в предыдущем пункте, получим уравнение политропного процесса

или

т.е. уравнения предыдущего пункта (5.3) и (5.4) с заменой k на n.

Замечание. Из равенства c учетом того, что c_p=kc_v, следует связь между n и k:

.

б). Для работы, совершаемой газом (dA=Pdv) при переходе из одного состояния в другое, получаем те же формулы, что и для адиабатного процесса, с заменой в них k на n. Действительно,

dh–du=d(Pv)=Pdv+vdP=–ndA+kdA=(1–n)dA

и

dA= –d(Pv)/(n–1).

Отсюда

и т.д.

Замечание. Задание объема V_н (м³) идеального газа, «приведенного к нормальным условиям» (P₀=101325 Па, T₀=273,15 К), фактически задает его массу M (кг) , т.к.

P₀ V_н=МRT₀ .