2. Идеальные газы

Идеальный газ – это система материальных точек, взаимодействующих между собой и со стенками сосуда только путем упругих соударений. Другие механизмы взаимодействия отсутствуют. Существующие в действительности газы при не слишком низких температурах и достаточно малых давлениях – разреженные газы – по своим свойствам близки к идеальному газу.

Реальный газ тем больше отличается от идеального, чем выше его плотность. С точки зрения молекулярно-кинетической теории отклонение реального газа от идеального («неидеальность») обусловлено, в первую очередь, наличием у молекул собственного объема и сложным механизмом межмолекулярного взаимодействия.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона), молярная масса которого μ (кг/кмоль), масса M (кг), занимающего объем V (м³) при давлении P (Па) и абсолютной температуре T (K), записывается следующим образом:

,

где R₀ = 8314,41 Дж/(кмоль·К) ≈ 8314 Дж/(кмоль·К) – универсальная газовая постоянная. Величину R₀/μ называют газовой постоянной.

Молярная масса – это масса в килограммах одного киломоля газа. Она численно равна атомной массе вещества для одноатомных газов либо сумме атомных масс составляющих элементов, если вещество газа – многоатомное химическое соединение. Например, для серной кислоты, пользуясь таблицей химических элементов Менделеева и округляя атомные массы до целого числа, находим

μ(H₂SO₄) = 2μ(H) + μ(S) + 4μ(O) = 2+42+64 = 98 кг/кмоль.

Поскольку удельный объем v=V/M – это объем занимаемый 1 кг газа, то (μ v) – это объем, занимаемый μ кг газа, т.е. одним киломолем (молярный объем). Из уравнения Клапейрона следует, что при одних и тех же P и Т киломоль любого идеального газа занимает один и тот же объем:

.

Так, при нормальных физических условиях (P = 101325 Па, T = 273,15 K) μv= 22,4136 м³/кмоль. Следовательно, в объеме 22,4136 м³ при этих значениях P и Т будет находиться, например, либо 1 кг атомарного водорода, либо 32 кг двухатомного кислорода (μ(O₂)=32 кг/кмоль).

Очевидно, что отношение n=M/μ определяет количество вещества в киломолях. Для идеального газа получаем

.

Это равенство выражает закон Авогадро: в одинаковых объемах идеальных газов при одинаковых T и P содержится одно и то же число молекул. По определению, в одном киломоле любого вещества содержится одно и то же число молекул (атомов – для одноатомных). Его определяет фундаментальная физическая постоянная – число Авогадро (N_A):

N_A = 6,022045·10²⁶ 1/кмоль.

Наконец, отношение постоянных R₀ и N_A определяет третью физическую постоянную – число Больцмана (k):

k = R₀ /N_A = 1,380662·10^-23 Дж/К  1,38·10^-23Дж/К.

С учетом этого уравнение Клапейрона можно записать в виде

.

Величину можно условно рассматривать как средний объем, приходящийся на одну молекулу, а kT – как среднюю энергию теплового движения одной молекулы.

Задачи

2.1. Определить плотность и удельный объем двуокиси углерода (CO₂) при нормальных физических условиях.

2.2. Плотность воздуха при нормальных физических условиях равна ρ=1,293 кг/м³. Чему равна плотность воздуха при давлении P=15 бар и температуре t=20ºC?

2.3. Определить массу углекислого газа в сосуде объемом V=4м³ при t=80ºC. Давление газа по манометру равно 0,4 бар. Барометрическое давление B= 780 мм рт. ст.

2.4. Начальное состояние азота задано параметрами: t=200ºC, v=1,9 м³/кг. Азот нагревается при постоянном давлении, причем объем азота увеличивается до 5,7 м³/кг. Определить конечную температуру.

2.5. В цилиндре с подвижным поршнем находится кислород при t=80ºC и разрежении (вакууме), равном 427 гПа. При постоянной температуре кислород сжимается до избыточного давления P_изб=1,2 МПа. Барометрическое давление B=993 гПа. Во сколько раз уменьшится объем кислорода?

2.6. Абсолютное давление азота в сосуде при комнатной температуре (t=20ºC) P=2,2 МПа. В сосуде азот нагревают, причем известно, что предельное избыточное давление, при котором возможна безопасная работа, P= 6 МПа. Определить температуру, до которой возможно нагревание азота. Барометрическое давление B=1000 гПа.

2.7. В воздухоподогреватель парового котла подается вентилятором 130000 м³/ч воздуха при температуре 28ºC. Определить объемный расход воздуха на выходе из воздухоподогревателя, если нагрев его производится до 400ºC при постоянном давлении.

2.8. Известно, что 1 кмоль газа содержит 6,022·10²⁶ молекул. Для того чтобы представить себе, как велико это число, полезно проделать мысленно такой опыт. В сосуде объемом 1 см³ создан полный вакуум, т.е. удалены молекулы. В стенке сосуда сделано отверстие такого размера, что из окружающего воздуха в сосуд проникают молекулы с расходом 100000 молекул в секунду. Определить, сколько времени потребуется, чтобы плотность воздуха в рассматриваемом объеме стала равной плотности окружающего воздуха, если окружающий воздух находится при нормальных условиях, а скорость проникновения молекул остается неизменной.

2.9. Паротурбинная установка мощностью 100 МВт расходует 0,37 кг топлива на 1 кВт·ч. Какова должна быть суммарная массовая производительность вентиляторов, подающих воздух в топку котла, если для сжигания топлива требуется 16 м³ воздуха при нормальных условиях? Определить, что это за вещество.

2.10. В комнате площадью 42 м² и высотой 2,9 м находится воздух при температуре 22ºC и барометрическом давлении 980,3 гПа. Какое количество воздуха проникнет с улицы в комнату, если барометрическое давление увеличится до 1020 гПа, а температура останется постоянной.

2.11. 0,37·10^-3 кг газообразного вещества, формула которого С_nH_n , при температуре 400 К и абсолютном давлении 0,958 бар имеет объем 164·10^-6 м³. Определить, что это за вещество.

2.12. Определить, действительно ли молекула кислорода является двухатомной, если известно, что в объеме, равном 4 дм³, находится 5 г кислорода при температуре 150ºC и P=0,1373 МПа. Чему было бы равно давление газа, если бы молекула состояла из трех атомов кислорода (озон O₃)?

2.13. 0,003 м³ кислорода, отнесенного к нормальным физическим условиям, находится в сосуде емкостью 650 см³. Определить показания манометра, измеряющего давление в этом сосуде, если температура кислорода 200ºC. Атмосферное давление 1016 гПа.

2.14. Компрессор подает азот в резервуар емкостью 3 м³; избыточное давление в резервуаре увеличивается при этом от 0,01 до 0,6 МПа, а температура газа от 15 до 30ºС. Определить массу поданного компрессором азота. Барометрическое давление равно 987 гПа.

2.15. Определить подъемную силу шара-зонда, наполненного водородом и имеющего объем 1 м³. Абсолютное давление воздуха 0,1 МПа. Избыточное давление в шаре 0,333 бар. Температура водорода равна температуре воздуха T=288 K. Изменением температуры и давления при подъеме пренебречь.

Примечание. Подъемной силой называется разность удельных весов окружающей среды и газа, заполняющего шар.

2.16. Определить подъемную силу воздушного шара, наполненного водородом, если объем его на поверхности земли равен 1,2 м³ при давлении P=752 мм рт. ст. и температуре t=17ºC.

2.17. Определить необходимый объем аэростата, наполненного водородом, если подъемная сила, которую он должен иметь на высоте H=7000 м, равна 39240 Н. Параметры воздуха на этой высоте принять равными P=0,41 бар, t= –30ºC. Насколько изменится подъемная сила аэростата при заполнении его гелием? Чему равен объем аэростата на поверхности земли при давлении P=0,981 бар, t= 30ºC?

2.18. В герметически закрытом цилиндре поршень может двигаться без трения. По одну сторону поршня помещается 1 г водорода, а по другую – то же количество углекислого газа. Определить соотношение объемов справа и слева при равновесии.

2.19. Поршневой компрессор всасывает в минуту 3 м³ воздуха при температуре t = 17ºC и барометрическом давлении 753 мм рт. ст. и нагнетает его в резервуар, объем которого равен 8,5 м³. За сколько минут компрессор поднимает давление в резервуаре до 7 бар, если температура в нем будет оставаться постоянной? Начальное давление воздуха в резервуаре составляло 753 мм рт. ст. при температуре 17ºC.

2.20. На аналитических весах взвешивают образец из пластмассы, причем в момент равновесия на весах стоят гири общей массой 80,146 г. Определить истинную массу образца (т.е. с учетом поправки на выталкивающую силу воздуха), если известно, что плотность пластмассы равна 0,2 г/см³, а плотность вещества гирь 8,4 г/см³. Взвешивание производится в комнате при параметрах воздуха t=25ºC, P=0,102 МПа.

2.21. 5 м³ кислорода с начальным абсолютным давлением P₁=0,4 МПа при температуре t=135ºC сжимаются изотермически до достижения давления P₂=1,5 МПа. Определить количество газа, участвующего в процессе, и его конечный объем.