ли – погрешность в описании данного явления, возникающая из-за недостаточного соответствия аппроксимирующей

функции всем особенностям формы экспериментальной кривой.

Для достижения наилучшего соответствия модели описываемому явлению обычно приходится усложнять модель, что приводит к противоречию между компактностью модели и точностью описания экспериментальных данных. Рациональным будет прекращение усложнения модели, когда она еще относительно проста и при этом имеет удовлетворительную погрешность адекватности. Ориентиром здесь может служить примерное равенство погрешности адекватности принятой модели и ширины полосы ее неопределенности вследствие случайного разброса исходных данных, т. е. принимаемая модель не противоречит данному полю экспериментальных данных.

3.2. Подбор аппроксимирующей функции

После того как вид графической зависимости установлен, встает задача выбора ее математического описания. Обычно используют наиболее компактные выражения, представляющие собой элементарные функции (степенную, показательную, дробно-рациональную).

Чтобы проверить, является ли данная функция степенной вида y = axn , необходимо прологарифмировать правую и левую части и найти величины lg x и lg y . Это будет прямая в координатах lg y −lg x (рис. 3.7).

Если поле экспериментальных точек группируется относительно прямой линии, то можно говорить о том, что модель в виде степенной функции не противоречит данному полю точек и выбор данной функции может быть принят окончательно. Тогда точка пересечения прямой с осью lg y будет

определять величину a, а наклон прямой к оси lg x – величину n.

19

Замена координат x на 1/х и y на 1/y допустима лишь в том случае, если сдвиг по этой координате отсутствует. Если имеется сдвиг, то уравнение, например, гиперболы y = c + a/x в координатах 1/y – 1/х не будет прямой. В этом случае используют метод последовательных приближений.

Например, предполагают, что y = b ax− cx + d ; задают ряд возможных значений b; вычисляют значения 1/(x – b) и останавливаются на том значе-

20

нии b, при котором y = с + a/(x – b) в координатах y – 1/(x – b) даст расположение точек, наиболее близкое к прямой линии.

3.3. Расчет по экспериментальным данным параметров выбранной аппроксимирующей функции

В общем случае расчет сводится к решению системы нелинейных уравнений. При этом возможно несколько частных случаев.

1. Система уравнений, линейных относительно искомых параметров. Обозначим искомые параметры ak , известные координаты x1,..., xm и y1,..., ym для m искомых точек, а в качестве аппроксимирующей примем модель в виде степенного многочлена:

y = a0 + a1x + a2x2 +...+ ak xk .

Расчет коэффициентов ak сводится к решению системы уравнений, линейных относительно искомых a0,...,ak :

2. В качестве аппроксимирующей функции принята модель, не приводящая к системе линейных уравнений:

y = x2ax+b2 .

Путем преобразований yb2 + yx2 = ax , yx2 = ax − yb2 и замены пере-

менных yx2 = Z , b2 = c можно свести расчет a и c к решению системы уравнений:

3. Уравнения системы не сводятся к системе линейных уравнений. Например, при использовании аппроксимирующей функции вида

21

относительно искомого b. Заменив переменные c2 ln a −b2 = A , c2 = B , получим систему уравнений, из которой по найденнымA, B можно найти a и c:

При замене переменных следует иметь в виду, что при любой аппроксимации необходимо стремиться минимизировать абсолютные погрешности. При этом относительные погрешности в начале и конце диапазона будут существенно отличаться. Если после этого выполнить подстановку вида Х = 1/х или Y = 1/y, то начало и конец диапазона меняются местами, а следовательно, меняются местами и погрешности. Эти преобразования следует контролировать; в противном случае они могут привести к существенным неточностям.

Рассмотренные графоаналитические методы аппроксимации достаточно просты и позволяют очень быстро получить приближенные значения параметров. Более того, если модель является неподходящей, то графическое построение наглядно показывает, как надо изменить модель или дополнить ее.

В общем случае при построении экспериментальных данных оси координат следует преобразовывать до тех пор, пока не получится прямая линия, по параметрам которой можно найти параметры модели.

3.4. Аналитические методы аппроксимации

Как видно из (3.1)–(3.3), число независимых уравнений системы равно числу поставленных опытов. С другой стороны, для определения k коэффициентов необходимо не менее k независимых уравнений.

Если число поставленных опытов n равно числу искомых коэффициентов k, то решение системы уравнений единственно, а следовательно, случайно, так как точно соответствует случайным значениям исходных данных.

Если n > k, то число уравнений будет избыточным. Из этих уравнений в различных комбинациях можно составить несколько систем уравнений, любая из которых даст свое решение. Но решения всех этих систем будут несовместны, так как любое из них даст свою аппроксимирующую функцию.

22