При малом числе проведенных измерений полная метрологическая аттестация полосы неопределенности невозможна. В среднем для установления границ полосы неопределенности с использованием одночленной формулы рекомендуется проводить более 70 измерений, по двухчленной – более 140, по трехчленной – 210 и т. д. В этом случае погрешность определения доверительного интервала будет 10 %.
Если использовать энтропийный интервал ∆э, то количество измерений уменьшится в 1.5–2 раза, а следовательно, и погрешность уменьшится в 2 раза.
Если Pд = 0.9, то нет необходимости определять значения квантильного и энтропийного коэффициентов: ∆0.9 =1.65σ вне зависимости от закона распределения.
При отсутствии возможности оценить доверительные границы с вероятностью 0.9 необходимо упростить метрологическое описание, перейдя последовательно от трехчленной формулы к двухчленной, а затем и к одночленной. Далее произвольно принимается тот или иной вид распределения и вычисляется одна усредненная оценка погрешности результатовэксперимента.
3.7. Оценка рассеяния экспериментальных данных значением коэффициента корреляции
Как известно из курса теоретической метрологии, погрешность измерения – это показатель разброса экспериментальных данных, а коэффициент корреляции характеризует тесноту группирования результатов относительно принятой модели.
Коэффициент корреляции (Rxy ) применительно к однофакторной зави-
симости будет характеризовать тесноту группирования точек возле некоторой прямой (рис. 3.11). В данном случае можно получить очень мало сведений о тесноте их относительно кривой распределения экспериментальных данных.
Следовательно, оценка разброса экспериментальных данных значением коэффициента корреляции может быть использована лишь для линейной однофакторной модели вида y′ = a0 + a1x (рис. 3.11, а). Однако можно ввести понятие коэффициента множественной корреляции. Его расчетная оценка правомерна для любых многофакторных зависимостей, в том числе и для сложных нелинейных однофакторных зависимостей (рис. 3.11, б).
27
|
|
|
Рис. 3.11. К иллюстрации смысла коэффициента корреляции |
|
|
Если в качестве модели используется функция y′ = f (x), |
являющаяся |
||||
однозначной |
функцией x, то |
при отсутствии погрешностей |
зависимость |
||
y = y |
′ |
в координатах y = f (y ) |
будет биссектрисой прямого угла, как бы ни |
||
|
|
′ |
|
|
|
была сложна используемая модель (рис. 3.12, а). Если погрешность не равна нулю, то экспериментальные значения yi расположатся в некоторой полосе вокруг этой прямой (рис. 3.12, б).
Рис. 3.12. К вопросу о коэффициенте множественной корреляции
Вид прямой не зависит от вида используемой модели, а коэффициент корреляции между экспериментальными значениями yi и полученными по модели y′ при равныхx называется коэффициентом множественной корреляции:
|
|
|
|
|
|
σ |
|
2 |
|
|
|
R |
|
′ = |
1 |
= 1 −(2γ)2 , |
|||||||
yy |
− |
σ |
∆ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
где σ∆ – СКО экспериментальных точек от прямой y = y′ (характеризует ширину полосы разброса); σy – СКО тех же точек от горизонтальной пря-
мой на уровне y (характеризует диапазон изменения значений yi ).
28
Если провести аналогию с приведенной погрешностью (γ = ∆y / yпр), то
отношение γ = σ∆ /σy и будет характеризовать ее. Здесь ∆y |
– половина по- |
||||||||||
лосы неопределенности, |
yпр – диапазон изменения y от ymin |
до ymax. Сле- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
− R2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
довательно, σ∆ /σy ≈ 2γ, |
Ryy′ ≈ 1 −(2γ)2 , γ ≈ |
|
yy′ |
. |
|
||||||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение между СКО и ∆ определяется законом распределения. |
|||||||||||
Форма закона распределения, характеризующего |
σ∆ и σy , |
различна. Рас- |
|||||||||
пределение σy |
будет близко к равномерному (кривая 4 на рис. 3.12, б). Для |
||||||||||
него ∆э1 ≈ σy |
|
. Дисперсия σ∆ определяется погрешностями эксперимен- |
|||||||||
3 |
|||||||||||
тальных точек. Это распределение близко к нормальному (кривая 5 на |
|||||||||||
рис. 3.12, б), следовательно, ∆э2 ≈ 2.066σ∆ .
Энтропийное значение приведенной погрешности будет равно:
γэ = 2∆∆ээ21 ≈ σσy ∆
3,
т. е. σ∆ = γэ 3.
σy
Тогда
Ryy′ = |
1 −3γэ2 |
; |
|
(3.5) |
|
γэ = |
(1 − Ry2y′)/3. |
|
(3.6) |
||
Соотношение (3.6) справедливо при R >0.9. При R <0.9 более точным будет соотношение γэ ≈ 12 
1− Ry2y′ .
Для экспериментального приближенного определения коэффициента множественной корреляции необходимо полуширину полосы неопределенности разделить на диапазон измерения y и по (3.5) рассчитать Ryy′.
3.8. Расчет параметров полосы неопределенности усредненной однофакторной модели
При многократных измерениях в результате усреднения случайные погрешности устраняются не полностью, а лишь уменьшаются в определенное число раз. Следовательно, усредненная модель также имеет свою полосу не-
29
определенности, хотя и более узкую, чем полоса разброса исходных экспериментальных данных. Рассмотрим ее на примере модели y′ = y + ax .
Неопределенность такой модели будет определяться только неопределенностью определения y . СКО при использовании метода наименьших
квадратов будет равно σ |
|
= |
σ∆ |
|
, где σ∆ |
– дисперсия разброса исходных |
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
n −l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
данных относительно линии регрессии; n – число усредняемых экспериментальных точек; l – число определяемых коэффициентов.
При x ≠ 0 погрешность определения коэффициента регрессии можно найти из выражения
∆R =t |
σy |
1 − Rxy2 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
||
σx |
|
n −l |
||||
|
|
|
|
|||
где t – коэффициент, определяемый числом степеней свободы (n – l). Погрешность y имеет аддитивный характер, следовательно, она будет
давать постоянную по ширине полосу возможных значений линии регрессии. Если a изменить на величину ∆a, наклон линии регрессии a изменится и
создаст мультипликативную составляющую погрешности модели:
σax = xσa = |
ax |
|
1 |
− Rxy2 |
|
. |
|
Rxy |
|
|
|
n −l |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Если расположить начало координат в точке (x, y), то погрешности будут независимыми, а суммарная погрешность будет равна:
σΣ = 
σ2y + σ2ax .
Ширина полосы неопределенности линии регрессии определяется суммарной погрешностью:
∆Σэ =tσΣэ или ∆Σэ = kσΣэ .
Таким образом, полоса неопределенности функциональной зависимости, найденная путем усреднения экспериментальных точек, будет иметь вид, представленный на рис. 3.13.
На рис. 3.13 величина tσ∆ характеризует ширину разброса экспериментальных точек, tσy – ширину полосы неопределенности, которая больше
ширины разброса экспериментальных точек в 
n раз. В этой области полоса
30