6251

Поэтому практически в линейных системах (если они не являются строго консервативными) особых точек типа центр, а, следовательно, и замкнутых траекторий не наблюдается.

К устойчивым особым точкам сходятся все фазовые траектории, начавшиеся из любой начальной точки. То есть эти особые точки как бы притягивают к себе все решения уравнений динамики. Вообще, зоны притяжения решений дифференциальных уравнений называются аттракторами. Следовательно, устойчивые особые точки являются частным видом аттракторов.

2 . 3 . 3 . Мето д фазо во й плоско сти

Возможность наглядно проследить поведение системы при различных начальных условиях и различных внешних воздействиях делает фазовую плоскость весьма привлекательным инструментом исследования систем второго порядка. Достоинством метода фазовой плоскости является также то, что для построения фазовых траекторий часто нет необходимости решать дифференциальное уравнение (2.3.2), описывающее эти траектории. Такое построение осуществляется так называемым методом изоклин. Рассмотрим на фазовой плоскости линии, соответствующие алгебраическому уравнению

R(x, y)= C ,

где С – константа, для которой задан ряд значений от −∞ до +∞.

На фазовой плоскости получаем семейство линий, каждой из которых соответствует своё значение С. Эти линии называются изоклинами.

82

Разные типы движений системы в непосредственной окрестности особых точек были рассмотрены выше. Вблизи обыкновенной точки характер движения полностью определяется фазовой траекторией, проходящей через эту точку.

Через обыкновенную точку проходит только одна фазовая траектория,

имеющая наклон dx2 = Q (ср. (2.3.2)). Поэтому отрезок траектории dx1 P

вблизи этой точки можно изобразить в виде отрезка прямой, направленной под упомянутым углом к оси абсцисс. Отрезки фазовых траекторий в окрестности (достаточно малой) обыкновенной точки будут в первом приближении также изображаться отрезками прямых, имеющих тот же наклон, что и наклон отрезка траектории, проходящей через эту точку. Таким образом, движение системы в окрестности обыкновенной точки на фазовой плоскости можно изобразить пучком параллельных отрезков.

Изучение динамики системы, как правило, не ограничивается определением характера движения в окрестностях особых или обыкновенных точек. В большинстве случаев требуется знать характер фазовых траекторий на всей фазовой плоскости или, как говорят, нужен фазовый портрет системы. При этом большое значение приобретает изучение особых траекторий.

Принято выделять три типа особых траекторий.

1.Особые точки, которые являются вырожденным случаем траектории.

2.Предельные циклы, представляющие собой замкнутые изолированные траектории.

3.Сепаратрисы – траектории, разделяющие области с качественно разным характером динамики системы.

83

Особые точки были разобраны выше.

С замкнутыми траекториями мы уже сталкивались, когда речь шла о точке равновесия «центр». Но там рассматривалась консервативная линейная система. И соседние траектории с любой замкнутой там также были замкнутые. Поэтому не было никаких оснований выделять какуюлибо замкнутую траекторию и называть её особой.

В неконсервативных нелинейных же системах замкнутые траектории играют принципиально другую роль. Можно строго доказать, что в таких системах имеются только изолированные замкнутые траектории, так что любая соседняя с ней уже не является замкнутой. Наличие в фазовом портрете системы предельного цикла говорит о возможном существовании в системе автоколебаний, то есть незатухающих колебаний с определенной амплитудой и частотой.

Например, можно представить себе неустойчивую линейную систему, в которой для обеспечения её устойчивости применено в обратной связи нелинейное звено с зоной нечувствительности. При малой величине выходного сигнала корректирующее звено «не работает» и в системе возникают расходящиеся колебания. Если выходной сигнал превышает зону нечувствительности, корректирующее звено делает систему устойчивой и колебания затухают. Таким образом, в системе устанавливаются незатухающие колебания с амплитудой, определяемой зоной нечувствительности корректирующего звена.

Предельные циклы бывают устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми.

Устойчивый предельный цикл будет существовать в приведённом выше примере, когда фазовые траектории приближаются к предельному циклу, начинаясь как изнутри, так и снаружи последнего (траектории 84

притягиваются к предельному циклу с обеих сторон – рис. 2.14, а). Таким образом, устойчивый предельный цикл также является одним из видов аттракторов.

Внеустойчивом предельном цикле любое отклонение от него в ту или другую сторону приводит к удалению от предельного цикла (траектории «разматываются» с предельного цикла как с одной, так и с другой стороны – рис. 2.14,б – цикл 1).

Вполуустойчивом цикле траектории с одной стороны «наматываются», а с другой стороны «разматываются» (рис. 2.14, в, г).

Рис. 2. 14. Предельные циклы

Системы с фазовым портретом, изображённым на рис. 2.14, а, называются системами с мягким режимом возбуждения колебаний. В таких системах после их включения устанавливаются автоколебания независимо от начальных условий или внешних воздействий.

85

Системы с фазовым портретом на рис. 2.14, б называются системами с жестким режимом возбуждения колебаний. При малых отклонениях от точки равновесия такие системы устойчивы, то есть колебания затухают (внутри области, определяемой неустойчивым предельным циклом 1), а при достаточно больших отклонениях, вызванных, например, внешним воздействием, движение системы неограниченно приближается к устойчивому предельному циклу 2.

Третий вид особых траекторий – сепаратрисы – разделяют фазовую плоскость на области с разным характером траекторий. «Усы» сёдел это типичный пример сепаратрисы. На рис. 2.12 видно, что «усы» седла (асимптоты гипербол) разделяют области с разным характером динамики системы. Если вблизи особой точки «ус» – прямая линия, то на достаточном удалении он может быть уже кривой или даже замкнутой линией.

Итак, определив все особые траектории, мы получаем основу, скелет всех возможных движений в системе. Особые траектории разделяют фазовую плоскость на области с разным характером фазовых траекторий; динамику системы в каждой области нетрудно определить, зная типы особых точек и предельных циклов. Таким образом получают полную картину динамики системы.

2 . 3 . 4 . Мето д интегр ир уемой аппро ксим ации

Основная трудность при исследовании нелинейных систем – это невозможность аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений в общем виде, то есть получения решения в виде конечной комбинации элементарных функций. Идея метода заключается в приближённой замене нелинейности f(t), не допускающей аналитического

86

решения уравнения, на функцию φ(t), при которой такое решение возможно. Поиск такой функции – задача сама по себе неординарная. Но существует метод аппроксимации, который годится практически всегда,

– это кусочно-линейная аппроксимация, то есть замена нелинейной зависимости на ломаную линию. При этом на каждом линейном участке такой ломаной дифференциальное уравнение в целом получается линейным и легко решается. Остаётся согласовать (или как говорят, сшить – отсюда и название метода: метод сшивания или припасовывания) отдельные решения в точках излома соответствующим подбором постоянных интегрирования.

Пример 2.3.1. Рассмотрим релейную систему, структурная схема которой приведена на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Нелинейная система

Нелинейный элемент – это электромагнитное поляризованное реле с характеристикой, показанной на рис. 2.16.

При увеличении входного напряжения ε>δ реле срабатывает, и выходной сигнал принимает значение +1. При уменьшении входного сигнала ε реле отпускает при меньшем напряжении λε (0<λ≤1). Это происходит по причине эффекта остаточного намагничивания стального сердечника

87

катушки реле. При отрицательных значениях ε наблюдается симметричная картина.

φ(ε)

1

−δ −λδ

λδ δ ε

−1

Рис. 2.16. Релейная характеристика

Для простоты положим задающее воздействие равным нулю g=0. Запишем уравнения, связывающие переменные в системе, структур-

ная схема которой приведена на рис. 2.15:

p(Tp +1)x = ku,

Исключив промежуточные переменные, сведем систему уравнений (2.3.8) к одному уравнению

Правая часть уравнения (2.3.9) может принимать три значения: −1, 0 и +1. При каждом из этих трёх значений уравнение (2.3.9) является линейным и, следовательно, легко интегрируется.

88

Начнём рассмотрение системы с простейшего случая при отключенной местной обратной связи (это будет, если положить kос=0). Уравнение (2.3.9) преобразуется тогда в уравнение

2

T d x + dx = −kϕ(x). (2.3.10) dt2 dt

Имея в виду построение фазового портрета системы, перейдём от одного уравнения второго порядка к двум уравнениям первого порядка,

введя обозначение y = dx dt

T dy + y = −kϕ(x),

Положим вначале λ=1 (см. рис. 2.16). В этом случае уравнения (2.3.10) можно переписать как

dx = y. dt

Поделив второе из уравнений (2.3.12) на первое, получим дифференциальные уравнения фазовых траекторий для трёх случаев.

1. При x < δ

89

2. При x > δ

3. При x < −δ

Таким образом, вся фазовая плоскость делится на три зоны. Интегрируя уравнение (2.3.13), получаем семейство траекторий для

первой зоны

где x0, y0 – начальные значения.

Уравнение (2.3.16) описывает семейство прямых линий (рис. 2.17). Уравнение фазовых траекторий в зоне 2 получим интегрированием

уравнения (2.3.15). Разделив переменные, имеем

90