6251

импульса v. Рельеф весовой функции в этом случае получается цилиндрическим, а оба рассмотренных ранее сечения совпадают по форме и отличаются только знаками аргументов. Если речь идёт о реверссмещении, то получаем полное совпадение двух весовых функций – нормальной и сопряжённой w(τ)= w(θ).

Весовая функция является, как и для систем с постоянными параметрами, исчерпывающей характеристикой САУ. Она характеризует поведение системы во времени и по её виду можно судить о качестве регулирования.

Кроме того, по известной функции веса можно получать процесс на выходе системы при заданном входном воздействии. Действительно, при входном сигнале g(t) выход может быть подсчитан согласно принципу суперпозиции, как сумма (в пределе интеграл) элементарных реакций на

Учитывая физическую реализуемость системы, верхний предел в последнем выражении можно поменять на бесконечность

0

Переходя к реверс-смещению, получим интеграл свёртки

31

Сравнивая выражения (1.2.17) и (1.2.12) можно сделать вывод, что если f (t)= g(t), то есть B(p,t)=1, то весовая функция совпадает с функцией Грина при 0<v<t

Вычислить функцию Грина можно воспользовавшись формулой (1.2.16), если известны составляющие yi (t) общего решения однородного уравнения. Множители в выражении (1.2.16) выглядят следующим образом

Но в общем случае полином правой части не равен единице B(p,t)≠ 1

и функция Грина не совпадает с весовой функцией. Тогда вынуждающая функция будет равна

f (t)= B(p,t)g(t)= b0(t)pmg(t)+ b1(t)pm−1g(t)+ ...+ bm(t)g(t),

где p = d dt , а m<n. В этом более общем случае для определения весовой функции при известной функции Грина можно воспользоваться уравне-

Необходимо понимать, что соотношение (1.2.21) позволяет определить весовую функцию только для 0<v<t. Поскольку подынтегральное выражение отлично от нуля только при λ=v, пределы интегрирования можно заменить на −∞ и +∞.

Уравнение (1.2.21) не настолько сложное, как это может показаться на первый взгляд. Составляющие выражения в квадратных скобках имеют вид

Интеграл, содержащий такую составляющую, равен

34

Правая часть последнего выражения – интеграл свёртки функции

Теперь применим фильтрующее свойство δ-функции1. Окончательно получим

а весовая функция согласно (1.2.19) будет иметь вид

1 Интеграл от произведения δ-функции на произвольную функцию равен значению этой функции в точке, в которой δ-функция принимает бесконечное значение.

35

Таким образом, при вычислении весовой функции можно пользоваться формулой (1.2.18) или (1.2.22) в зависимости от правой части дифференциального уравнения.

Пример 1.2.3. Получить весовую функцию для системы, описываемой дифференциальным уравнением с переменными параметрами

Данное уравнение является уравнением Эйлера, поэтому делаем под-

становку ez = t . Тогда dt = ezdz, а dz = e−z . Вычисляем производные

Подставляя найденные производные в уравнение (1.2.23), получим соответствующее однородное уравнение в виде

Общим решением последнего уравнения будет yо (z)= C1e−z + C2e−2z

или, переходя к старой переменной t

yо (t)= Ct1 + Ct22 .

36

Так как B(p,t)=1, пользуемся формулами (1.2.18) и (1.2.16)

1 . 2 . 3 . Преобразо вание Лапласа и нестацио нар ные системы

Одно из основных применений преобразования Лапласа для систем с постоянными параметрами заключалось в возможности перехода от дифференциальных уравнений относительно функций времени к алгебраическим уравнениям относительно соответствующих изображений по Лапласу. Вообще говоря, любое дифференциальное уравнение можно почленно преобразовать по Лапласу, но алгебраические уравнения получаются только в том случае, если коэффициенты уравнения посто-

37

вая начальное условие y(+0)=1, постоянная интегрирования C=1, следовательно y(t)= e−t .

Вобщем случае использование свойства (1.2.24) даёт дифференциальное уравнение относительно Y(s) порядка равного высшей степени полинома от t. Следует заметить, что получившееся уравнение часто нелегко решить: приведённый пример скорее исключение.

Каждый член уравнения с переменными коэффициентами – это произведение известной и неизвестной функции времени. Для вычисления преобразования Лапласа от такого члена можно воспользоваться теоремой о свёртке в области изображений. В итоге получится сложное интегральное уравнение относительно Y(s). Поскольку результирующее уравнение редко оказывается проще, чем исходное, то непосредственное применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами малоперспективно в плане получения решения такого уравнения.

Втех случаях, когда преобразование Лапласа неприемлемо, можно попытаться поискать какое-либо другое эффективное интегральное пре-

39

образование. Для определённых специальных случаев подобные преобразования разработаны. Наиболее известные из них преобразование Меллина и Ханкеля.

1 . 2 . 4 . Пар ам етр ическая передаточная функция

Второе применение преобразования Лапласа – это введение понятия передаточной функции, которую можно определить по аналогии со стационарными системами как преобразование Лапласа от весовой функции.

Рассмотрим поведение системы при экспоненциальном входном сигнале

где s – в общем случае комплексная величина, а −∞ < t < ∞ . Известно, что реакция системы с постоянными параметрами на такой входной сигнал есть

где W(s) – передаточная функция системы.

Применив интеграл (1.2.14), найдём реакцию нестационарной системы на входной сигнал (1.2.26). При этом учтём, что сигнал существует

все время −∞ < t < ∞ , поэтому верхний предел будет +∞

40