6251

Пусть теперь одно из решений уравнений (2.3.3) – x0, y0 . Исследуем характер устойчивости в этом положении равновесия. Рассмотрим малую окрестность состояния равновесия x = x0 + ξ, y = y0 +η. Разложим правые части уравнений (2.3.1) в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Получим

P((x, y))= P((x0, y0 ))+ aξ + bη+{чл. высш. порядка малости поξ и η}, (2.3.5) Q x, y = Q x0, y0 + cξ + dη+{чл. высш. порядка малости поξ и η}.

Здесь коэффициенты a,b,c и d – частные производные от P и Q по x и y:

Учитывая, что в особой точке выполняются равенства (2.3.3), а также,

что dx = dξ , dy = dη , получаем (отбросив члены высшего порядка ма- dt dt dt dt

лости относительно ξ и η) уравнения линейного приближения

dt

Матрица системы уравнений состояния (2.3.6) есть матрица

Заслугой Ляпунова является то, что он строго доказал следующие теоремы, касающиеся устойчивости в малом (то есть при малых отклонениях от невозмущенного режима) и позволяющие судить об устойчивости режимов нелинейной системы по устойчивости соответствующей линеаризованной модели.

Теорема 2.3.1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные вещественные части, то есть линеаризованная система устойчива, то невозмущённое движение реальной нелинейной системы асимптотически устойчиво, и учёт членов высшего порядка малости не может сделать систему неустойчивой.

Теорема 2.3.2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то есть линеаризованная система неустойчива, то невозмущённое движение реальной нелинейной системы также неустойчиво, и учёт членов высшего порядка малости не может сделать систему устойчивой.

Теорема 2.3.3. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то реальная нелинейная система может быть как устойчивой, так и неустойчивой, то есть учёт членов высшего порядка малости может сделать систему как устойчивой, так и неустойчивой. Следовательно, в данном случае для суждения об устойчивости нелинейной системы следует привлекать другие методы.

Рассмотрим различные типы особых точек, характеризующихся разными картинами фазовых траекторий в окрестностях этих точек.

72

От уравнений состояния в общем виде (2.3.6) всегда можно перейти к системе канонических уравнений фазовой переменной (например, по методу Данилевского [3]), то есть от системы координат (ξ,η) перейти к системе координат (x1,x2 ). При этом матрица системы будет иметь вид матрицы Фробениуса, и уравнения будут иметь вид

xɺ1 = x2,

xɺ2 = (cb − ad)x1 + (a + d)x2.

Последнюю систему уравнений удобнее переписать в виде

где p = ad − cb, 2h = −a − d.

С учетом введенных обозначений характеристическое уравнение (2.3.7) примет вид

Возможны следующие случаи.

1 . Корни характеристического уравнения мнимые. Очевидно, это будет при h = 0, p > 0. Примером такого уравнения является уравнение

73

описывающее свободное движение (переходную составляющую решения) консервативного (идеального колебательного) звена.

Как известно, решением уравнения (2.3.10) является

где А и φ – константы, определяемые начальными значениями. Продифференцировав последнее выражение по времени и обозначив

x1 = x, x2 = xɺ1, получим

x1 = Acos(ω0t + ϕ), x2 = −Aω0 sin(ω0t + ϕ).

Из двух последних соотношений нетрудно получить уравнение фазовой траектории

представляющее собой уравнение эллипса с полуосями А и Aω0 . Для различных начальных условий получаем и различные значения А. Таким образом, фазовые траектории такой системы – это семейство эллипсов, непересекающихся и вложенных друг в друга (рис. 2.7).

Решение (2.3.11) – это незатухающие колебания около положения равновесия. Изображающая точка, находясь на каком-либо эллипсе, будет все время по нему двигаться вокруг точки равновесия. Точки равновесия такого типа, когда фазовые траектории представляют собой за-

74

мкнутые, вложенные друг в друга кривые, окружающие точки равновесия,

x2

x1

Рис. 2.7. Особая точка типа «центр»

называются центрами. Понятно, что достаточно малым начальным отклонениям от положения равновесия будет соответствовать столь же малая область на фазовой плоскости, за которую не выйдет изображающая точка. Таким образом, точка равновесия центр будет устойчивой по Ляпунову. Подобные точки равновесия характерны для консервативных (у которых нет обмена энергией с окружающей средой) систем.

2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные с отрицательной вещественной частью. Для характеристического уравнения (2.3.9) это будет выполняться при

h > 0,

Решение уравнений (2.3.8) имеет вид затухающих колебаний

x1 = C1e−ht cos(ωt + ϕ1), x2 = C2e−ht cos(ωt + ϕ2 ),

75

где ω = p − h2 , а C1,C2,ϕ1,ϕ2 – константы, определяемые начальными

условиями.

Поделив второе из уравнений (2.3.8) на первое, получим дифференциальное уравнение фазовой траектории

Можно показать, что последнее уравнение – это уравнение логарифмической спирали (рис. 2.8).

x2

x1

Рис. 2.8. Особая точка устойчивый фокус

Различные начальные условия дадут различные, вложенные друг в друга спирали, навивающиеся на начало координат, которое является точкой равновесия под названием устойчивый фокус. Любая фазовая траектория, начавшись в произвольной точке фазовой плоскости, с течением времени будет неограниченно приближаться к точке равновесия. Поэтому устойчивый фокус не только является устойчивым по Ляпунову, но и является асимптотически устойчивой точкой равновесия.

76

3. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные с положительной вещественной частью. Для характеристического уравнения (2.3.9) это будет выполняться при

h < 0,

Переходной процесс при этом колебательный с нарастающей амплитудой, а фазовые траектории – раскручивающие логарифмические спирали (рис. 2.9).

x2

x1

Рис. 2.9. Особая точка неустойчивый фокус

Любое сколь угодно малое отклонение от точки равновесия приведет к тому, что с течением времени изображающая точка, двигаясь по соответствующей траектории, неограниченно удаляется от точки равновесия. Следовательно, такая точка равновесия является неустойчивой и называется неустойчивым фокусом.

4. Вещественные отрицательные корни характеристического уравнения. Для характеристического уравнения (2.3.9) это означает, что

77

h > 0,

Решение дифференциальных уравнений (2.3.8) при этом будет иметь вид «затухающих» экспонент

причем λ1,λ2 – отрицательные вещественные числа.

Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 2.10. x2

x1

Рис. 2.10. Особая точка устойчивый узел

Из рисунка видно, что любая траектория ведет в начало координат. Особая точка в этом случае является точкой устойчивого (более того, асимптотического) равновесия и называется устойчивым узлом.

5. Вещественные положительные корни характеристического уравнения. Такие корни будут, если в условии (2.3.15) h < 0 . Показатели экспонент в решении (2.3.16) будут положительные, и малейшие отклонения от точки равновесия приведут к неизбежному удале-

78

нию от точки равновесия. Следовательно, точка равновесия является неустойчивой и называется неустойчивым узлом. Изменится и направление движения по фазовым траекториям, которые будут иметь, в общем, тот же вид, что и изображенные на рис. 2.10. Фазовые траектории вблизи неустойчивого узла приведены на рис. 2 11.

x2

x1

Рис. 2.11. Особая точка неустойчивый узел

6. Вещественные корни различных знаков. Такие корни будут, если в характеристическом уравнении (2.3.9) p<0. Простейшим примером дифференциального уравнения, соответствующего данному случаю, будет уравнение динамики материальной точки массой m под действием силы, пропорциональной отклонению этой точки от положения равновесия

mɺxɺ= kx .

Обозначив x1 = x , перейдем от этого уравнения к канонической форме фазовой переменной

79

xɺ1 = x2,

k xɺ2 = m x1.

Из последней системы уравнений получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

dx2 = k x1 . dx1 m x2

Полученное уравнение легко интегрируется разделением переменных

km

где С – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Уравнение (2.3.17) является уравнением семейства гипербол (рис.

2.12). Положив в частном случае С=0, получим две асимптоты такого семейства

x2 = ± k x1 . m

Особая точка этого типа называется седлом.

Анализ фазовых траекторий на рис. 2.12 показывает, что движение, начавшееся из любой точки фазовой плоскости, приведет с течением времени к бесконечному удалению изображающей точки от точки равновесия. Единственное исключение – это нахождение начальной точки точ-

но на асимптоте x2 = −k m x1 . Однако сколь угодно малое отклонение

80