6251

реходной функции) и параметрических передаточных функций.

2.Аналитическое решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами возможно только для уравнений первого порядка или для некоторых специальных видов уравнений. Как правило, для решения уравнений с переменными коэффициентами приходится пользоваться численными методами или приближенными методами.

3.Для решения нестационарных уравнений возможно применение преобразования Лапласа.

4.Для получения реакции системы на произвольное входное воздействие возможно использование весовой функции. Также выход системы может быть определён с помощью передаточной функции.

5.Переходная и весовая функции зависят от двух аргументов: различают нормальную и сопряжённую временные функции. Получить весовую функцию можно непосредственно из дифференциального уравнения системы.

6.Устойчивость и качество регулирования нестационарной системы определяются нормальной весовой функцией.

7.Передаточную функцию нестационарной системы можно получить путём решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, либо из сопряжённой весовой функции.

8.Большинство систем с переменными параметрами являются квазистационарными системами.

51

9.Наиболее распространёнными методами исследования квазистационарных систем являются метод замороженных коэффициентов и метод замороженных реакций.

10.Устойчивость и качество регулирования (в том числе точность) квазистационарных систем могут быть исследованы с помощью параметрической передаточной функции.

1.3.Импульсные системы

Импульсные системы относятся к дискретным системам. САУ могут быть дискретными либо потому, что задающее или возмущающее воздействие по природе дискретно, либо потому, что в цепи управления имеется хотя бы одно звено, преобразующее непрерывные (аналоговые) сигналы в дискретные. Подобного рода звено называют звеном прерывистого действия, а процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный – квантованием.

Импульсными системами называются системы, в которых осуществляется квантование сигнала во времени.

Устройства, осуществляющие квантование во времени, называются импульсными элементами. Выходной сигнал импульсного элемента представляет собой серию импульсов. Обычно один из параметров импульса – амплитуда, длительность, период следования – изменяется в соответствии со значениями входной непрерывной величины в дискретные моменты времени. Этот процесс изменения одного из параметров импульса в функции от входной величины называется модуляцией. Квантование же по времени вместе с модуляцией называется импульс-

52

ной модуляцией. Следовательно, импульсный элемент осуществляет импульсную модуляцию входного непрерывного сигнала.

Так как в импульсном элементе сохраняется линейная зависимость между непрерывным входным сигналом и соответствующим параметром импульсов, то импульсная модуляция является линейной операцией, а импульсный элемент – линейным элементом. Импульсная система является линейной, если все остальные звенья в системе – линейны.

Математическое описание импульсных систем – это разностные уравнения, z-преобразование, дискретные передаточные функции, дискретные уравнения состояния. Поскольку это математическое описание применяется также для цифровых систем, все вопросы, касающиеся анализа и синтеза импульсных систем, подробно рассмотрены в курсе «Цифровые системы автоматического управления» [2].

53

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

2.1.Общие понятия

Сточки зрения математического описания САУ делятся на линейные

инелинейные. Нелинейная система – это система, содержащая хотя бы одно нелинейное звено, то есть звено, описываемое нелинейным уравнением.

Все реальные звенья являются, строго говоря, нелинейными, однако часто имеется возможность, ограничиваясь рассмотрением малых отклонений от установившихся режимов, свести задачу к исследованию линейной модели реальной системы путём линеаризации последней.

Условия линеаризации звеньев определяют область применения рассмотренной в первой части теории линейных САУ.

Кроме того, теория линейных САУ может быть применена и для приближённого исследования систем, содержащих и существенно нелинейные звенья, если нелинейности в таких звеньях достаточно малы и ими в первом приближении можно пренебречь. Примером существенной нелинейности, которой никогда нельзя пренебречь, является релейная характеристика. Включение в систему звена с такой характеристикой придает системе принципиально новые свойства.

Нелинейности значительно усложняют исследование систем, так как нет общих методов решения описывающих их нелинейных уравнений. Однако в настоящее время имеется ряд методов решения отдельных классов нелинейных задач. Эти методы достаточно просты и позволяют

54

путём совместного их применения успешно решать задачи анализа нелинейных систем.

Конечно, нелинейности затрудняют исследование САУ, однако их нельзя рассматривать как обязательно нежелательное явление. Нелинейности могут в равной степени оказывать как вредное, так и полезное воздействие на работу системы. Более того, наряду с нелинейностями, присутствующими в САУ помимо нашего желания, например, в объекте управления, в устройство управления могут специально вводить различные нелинейности с целью получения определённого положительного эффекта.

Нелинейности придают САУ ряд качественно новых свойств, невозможных в линейных системах. В динамическом отношении нелинейные системы неизмеримо богаче, чем линейные.

Перечислим только основные особенности поведения нелинейных систем.

1.Выходная величина в линейных системах может неограниченно возрастать (в неустойчивых системах) только при t → ∞ . В нелинейных системах выходной сигнал может неограниченно возрастать на ограниченном интервале времени.

2.Выходной сигнал линейной устойчивой системы стремиться к нулю при отсутствии входного сигнала. Для нелинейной системы это не обязательно. Например, триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых ненулевое.

3.В линейной системе незатухающие колебания могут существовать только у системы, находящейся на границе устойчивости. При этом такая система непригодна для работы. В

55

нелинейных системах могут быть незатухающие колебания (автоколебания). В случае достаточной малости этих автоколебаний такая система вполне работоспособна. В пространстве состояний незатухающие колебания соответствуют замкнутой траектории под названием предельный цикл.

4.В устойчивой линейной системе при наличии входного гармонического сигнала выходной сигнал в установившемся режиме также гармонический с той же частотой, что и входной сигнал. В нелинейных системах это может быть не так.

5.При отсутствии входного воздействия в нелинейных системах в зависимости от начальных условий может быть несколько устойчивых состояний или устойчивых предельных циклов.

6.В нелинейных системах возможно резкое (скачкообразное) изменение амплитуды и (или) частоты выходной величины при плавном изменении входной величины или при плавном изменении какого-либо параметра системы.

2.2. Типовые нелинейные звенья и их уравнения

В результате математического описания нелинейных САУ составляется структурная схема, содержащая линейные (точнее, линеаризованные) и существенно нелинейные звенья. При описании последних, в свою очередь, осуществляется идеализация с целью упрощения этого описания вплоть до перехода в большинстве случаев к типовым нелинейностям.

56

Все нелинейности можно подразделить на следующие виды.

1.Статические нелинейности. Все статические характеристики являются однозначными. К типовым нелинейностям этого типа можно отнести:

а) релейную характеристику, б) характеристику усилителя с ограничением,

в) характеристику усилителя с зоной нечувствительности.

2.Динамические нелинейности. К нелинейностям такого типа относятся:

а) петля гистерезиса, б) люфт, в) упор,

г) динамические нелинейности с нелинейными дифференциальными уравнениями, включающими произведения или нелинейные функции производных.

3.Нелинейности структуры.

4.Нелинейности логического типа.

5.Нелинейности самонастройки и оптимизации.

6.Нелинейные законы управления:

а) функциональные, б) логические,

в) параметрические, когда имеются нелинейные функции от параметров, входящих в математическое описание алгоритма управления.

Рассмотрим некоторые типовые нелинейности более подробно.

57

2 . 2 . 1 . Однозначные нелинейно сти

Релейную характеристику (рис. 2.1, а) можно описать соотношениями

где x1 – входной сигнал нелинейного звена, x2 – выходной сигнал. Разновидностью характеристики (2.2.1) обладает трёхпозиционное

реле или реле с зоной нечувствительности (рис.2.1, б) с уравнением

Дальнейшим развитием подобных характеристик являются многоступенчатые характеристики (рис. 2.1, в), получающиеся в результате квантования сигнала по уровню (амплитуде).

Усилитель с ограничением имеет идеализированную характеристику, изображенную на рис. 2.1, г. Аналитический вид этой зависимости

Идеализированная характеристика усилителя с зоной нечувствительности приведена на рис. 2.1, д и задана соотношением

58

Рис. 2.1. Статические нелинейности

Разумеется, возможны и различные комбинации рассмотренных характеристик. Все подобные характеристики являются кусочнолинейными.

2 . 2 . 2 . Двузначные хар актеристики

Петля гистерезиса (рис. 2.2, а) является типичным представителем двузначных характеристик. Такой вид имеет, например, кривая намагничивания в катушке со стальным сердечником. Петля гистерезиса относится к динамическим нелинейностям, поскольку значение функции зависит не только от самого аргумента, но и от скорости его изменения

59

(точнее, от знака скорости). Механическое реле со стальным сердечником также имеет двузначную характеристику с гистерезисом. Например, в двухпозиционном поляризованном реле при его симметричной настройке переключение контактов в одном направлении происходит при вполне определенном напряжении, а переключение в обратном направлении происходит при таком же напряжении, но противоположного знака (рис. 2.2, б). Реальное трёхпозиционное реле также обладает двузначной характеристикой с гистерезисом (рис. 2.2, в).

Рис. 2.2. Двузначные характеристики

2 . 2 . 3 . Мно гозначные хар актер истики

К многозначным характеристикам относится характеристика звена типа «люфт» или «сухое трение». Такая нелинейность часто встречается в механических системах и связана она с наличием зазоров в системе передач вращательного или поступательного движения, либо с сухим (кулоновым) трением в таких системах. Один из примеров механической системы с нелинейностью типа «люфт», приведен на рис. 2.3, а.

Ведомый (вторичный) вал не начнет вращаться, пока не будет выбран

люфт между вращающейся частью ведущего (первичного) вала и дужкой, 60