6251

Сравнивая выражения (1.2.27) и (1.2.28) можно определить параметрическую передаточную функцию нестационарной системы как преобразование Лапласа сопряжённой весовой функции

Формула (1.2.29) может быть использована для получения передаточной функции, если предварительно получена весовая функция.

Пример 1.2.5. Получить передаточную функцию системы, описываемой уравнением

Весовая функция для такой системы была найдена в примере 1.2.3

Как функция реверс-смещения она имеет вид

Тогда параметрическая передаточная функция будет являться преобразованием Лапласа сопряжённой весовой функции по переменной θ

41

С учётом обозначения (1.2.29) реакция системы на экспоненциальный сигнал будет равна

Дифференциальное уравнение системы (1.2.2) при входном сигнале (1.2.26) и выходном сигнале (1.2.31) будет иметь вид

где p = d – оператор дифференцирования, s – комплексная величина. dt

Уравнение (1.2.32) является дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами и может служить для нахождения параметрической передаточной функции. Порядок этого уравнения тот же, что и уравнения для определения весовой функции, но его решение в некоторых случаях может оказаться проще. Поскольку входной сигнал g(t) существует всё время −∞ < t < ∞ , то W(s,t) определяет только частное решение (вынужденную составляющую) уравнения (1.2.32).

Уравнение (1.2.32) можно упростить ввиду простоты дифференцирования экспоненты. Типичный член в правой части равен

bm−k (t)pkest = bm−k (t) dkk est = bm−k (t)skest ,

dt

42

поэтому

где B(s,t) уже не оператор, а функция s и t.

Типичный член в левой части уравнения (1.2.32) равен

an−k (t)pk [W(s,t)est ]= an−k (t) dkk [W(s,t)est ]. dt

В квадратных скобках произведение двух функций времени. Производная k-го порядка от произведения двух функций f и g вычисляется по формуле

Следовательно, левая часть уравнения (1.2.32) примет вид

43

Окончательно с учётом выражений (1.2.33) и (1.2.34) из уравнения (1.2.32) получим уравнение относительно параметрической передаточной функции W(s,t)

Если не удаётся найти точное решение уравнения (1.2.35) или (1.2.36) (а чаще всего так и бывает), то возможно применение численных методов или метода последовательных приближений. Рассмотрим этот метод более подробно. Введём для краткости в уравнении (1.2.36) обозначение

Тогда уравнение (1.2.36) примет вид

Решение уравнения (1.2.37) ищем в виде ряда

44

Для определения нулевого приближения W0(s,t) полагаем в (1.2.37)

приближение в правую часть уравнения (1.2.37) и ограничиваясь в левой части двумя слагаемыми ряда (1.2.38), получим уравнение относительно первого приближения

W1(s,t)= − F[W(0(,s,)t)] .

A s t

Продолжая процедуру, для k-го приближения получаем рекуррентное соотношение

Wk (s,t)= − F[WAk(−s1,(ts),t)].

Ряд (1.2.38) сходится тем быстрее, чем медленнее меняются коэффициенты уравнения (1.2.34) ai(t) и bi(t).

Зная параметрическую передаточную функцию можно, как и в случае систем с постоянными параметрами, найти реакцию системы на произвольное воздействие. Действительно, реакция системы на произвольный входной сигнал g(t), согласно выражению (1.2.13) равна

y(t)= ∞∫w(t − v,v)g(v)dv .

0

45

Заменим в этом интеграле входной сигнал g(t) обратным преобразованием по Лапласу от его изображения G(s) и поменяем местами порядок интегрирования по v и по s

Выражение в квадратных скобках правой части – это, согласно формуле (1.2.13), реакция на экспоненту esv , которая, как было выяснено выше, равна (est W(s,t)), поэтому подставляя это выражение в квадратные скобки, получим

При определении обратного преобразования Лапласа относительно переменной s время t рассматривается как параметр.

Попутно следует обратить внимание, что

Y(s)≠W(s,t) G(s),

так как Y(s)= L{y(t)} не может быть функцией времени t.

Следует ещё раз подчеркнуть, что параметрическая передаточная функция является лишь частным решением уравнения (1.2.35). Но, несмотря на то, что при учёте общего решения будут получаться различные W(s,t), можно показать, что реакция системы, вычисленная по формуле (1.2.39) при этом не изменится.

46

Пример 1.2.6. Найти реакцию системы, заданной дифференциальным уравнением

t2 d2 y + 4t dy + 2y = g dt2 dt

на входной сигнал g(t)= te−t 1(t).

Передаточная функция для этой системы была получена в примере

Обратное преобразование Лапласа вычислим, воспользовавшись теоремой о вычетах.

47

1 . 2 . 5 . Усто йчивость и качество регулир о вания

Для систем с переменными параметрами понятие устойчивости имеет некоторые особенности. В частности, теряет смысл понятие асимптотической устойчивости.

В большом числе случаев систему можно считать квазистационарной. Будет считать такую систему устойчивой на заданном интервале времени [0,T], если её нормальная функция веса затухает для всех фиксирован-

Для определения устойчивости может быть использована и сопряжённая функция веса, связанная с параметрической передаточной функцией. Условие её затухания

48

для всех 0 ≤ t ≤T не всегда совпадает с условием (1.2.40). Но для систем, у которых оператор правой части дифференциального уравнения

B(p,t)=1, условия (1.2.40) и (1.2.41) эквивалентны.

Поскольку сопряженная весовая функция связана с передаточной функцией, то условие (1.2.41) приводит к соответствующим условиям относительно передаточной функции. В частности, это касается полюсов передаточной функции, а также критериев устойчивости Рауса-Гурвица, Михайлова и Найквиста.

Из методов исследования квазистационарных систем наиболее развиты два метода: метод замороженных коэффициентов и метод замороженных реакций.

Метод замороженных коэффициентов заключается в том, что переменные коэффициенты уравнений фиксируются («замораживаются» – отсюда и название метода) в определённые наиболее интересные с точки зрения поведения системы моменты времени. Затем получают передаточную функцию обычным порядком и на основе этой передаточной функции исследуют систему.

Метод замороженных реакций заключается в точном вычислении переходной или весовой функции, фиксации момента поступления входного воздействия v, и уже затем по полученным обычным функциям вычисляют передаточную функцию, на основе которой и исследуется система.

Качество регулирования может быть оценено по виду переходного процесса (по виду переходной функции или функции веса). Для этой цели должны использоваться нормальная переходная функция и нормальная весовая функции, определённые для фиксированных моментов поступления входного воздействия 0 ≤ v ≤T .

49

Критерии точности, основанные на передаточной функции, также имеют место. Например, установившуюся ошибку воспроизведения задающего воздействия в следящих системах для произвольного задающего воздействия g(t) можно представить так же, как и для систем с постоянными параметрами, рядом ошибок

Коэффициенты ошибки вычисляются по той же формуле, что и для систем с постоянными параметрами, но, в отличие от последних, зависят от времени

где Φε(s,t) – параметрическая передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

Представление ошибки в виде (1.2.42) и (1.2.43) предполагает, что параметрическая передаточная функция и соответствующие коэффициенты ошибки со временем меняются слабо, то есть их можно приблизительно считать не зависимыми от t за время переходного процесса.

Сделаем некоторые выводы по рассмотренной теме.

1.Математическое описание системы с переменными параметрами получают в виде: уравнений с переменными коэффициентами, временны́х характеристик (функции веса, пе-

50