6251

Коэффициенты kг0, kг и kг′ , согласно формулам (2.3.44), являются

функциями постоянной составляющей x0 , амплитуды A и частоты ω .

Если величины x0 , A и ω постоянны, то постоянны и коэффициенты kг0, kг и kг′ . Следовательно, и уравнения (2.3.42), (2.3.43) являются линейными для гармонического сигнала (2.3.40). Таким образом, нелинейное уравнение y = ϕ(x) приближённо (без учёта высших гармоник) за-

меняется линейным уравнением (2.3.42) или (2.3.43). Такая замена и называется гармонической линеаризацией.

Коэффициенты kг0, kг и kг′ называются коэффициентами гармонической линеаризации или гармоническими коэффициентами передачи.

Уравнения (2.3.42), (2.3.43) можно условно представить в виде схем,

Рис. 2.29. Гармоническая линеаризация

Появление постоянной составляющей y0 возможно по двум причинам: либо к системе приложено постоянное внешнее воздействие, либо нелинейная характеристика является несимметричной относительно начала координат. В последнем случае нельзя выражать y0 через x0 с помощью

121

коэффициента kг0 , то есть в виде y0 = kг0x0 , поскольку здесь y0 ≠ 0 да-

же если x0 = 0 . Поэтому для несимметричных нелинейностей следует вместо формулы (2.3.42) пользоваться формулой (2.3.43).

Если внешнее воздействие отсутствует и нелинейная характеристика

где Wн (p)= kг + kωг′ p – передаточная функция эквивалентного линейного

звена, называемая гармонической передаточной функцией нелинейного звена.

Представим в выражении (2.3.45) входной сигнал x нелинейного звена в комплексной форме x = ejω t . Получим

ский коэффициент передачи (другие названия – амплитуднофазовая характеристика, описывающая функция) нелинейного звена.

В отличие от линейных систем, коэффициент усиления по амплитуде

являются функциями амплитуды входного сигнала. Это отражено в соответствующих выражениях.

122

Из формул (2.3.42), (2.3.43) следует, что коэффициент kг определяет выходную гармоническую составляющую, совпадающую по фазе с входным сигналом, а коэффициент kг′ – выходную составляющую, сдвинутую по фазе на π2 вперёд или назад в зависимости от знака этого коэффициента. Коэффициент kг′ отличен от нуля только для неоднозначных нелинейностей.

Для однозначной безынерционной нелинейной характеристики основная гармоника на выходе всегда совпадает по фазе с входным сигналом нелинейного звена. Поэтому для таких нелинейностей уравнение (2.3.42) можно переписать в виде

В последнем уравнении ещё раз подчеркнута зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды А и постоянной составляющей x0.

Наконец, при нечётной однозначной нелинейности и отсутствии постоянного входного воздействия уравнение (2.3.46) становится совсем простым

y = kг (A)x.

Для типовых нелинейностей в учебной и справочной литературе по теории автоматического управления существуют таблицы коэффициентов гармонической линеаризации, посчитанные по формулам (2.3.44) [6].

123

Пример 2.3.4. Вычислим коэффициент kг для усилителя с зоной нечувствительности (рис. 2.28). Для простоты положим наклон линейной части равным единице. Тогда аналитическое выражение для нелинейной зависимости можно записать в виде

x + a при x < −a.

Воспользуемся первой из формул (2.3.44). При этом учтём симметрию выходной кривой относительно точки ψ =ωt = π2, что позволяет верхний предел в интеграле заменить на π2, а результат учетверить

В полученном выражении учтено, что sin α = a . Кроме того, приве-

A

дённая формула справедлива при А>а.

На рис. 2.30 приведена зависимость kг от отношения Aa . Качественный характер кривой kг (Aa) можно было предвидеть и без аналитических выкладок. Действительно, до тех пор, пока A<a, выходной сигнал равен нулю и kг = 0. При увеличении отношения Aa больше единицы появляется выходной сигнал, и коэффициент kг возрастает от нуля.

124

kг

1

1Aa

Рис. 2.30. Коэффициент гармонической линеаризации для усилителя с зоной нечувствительности

Дальнейшее увеличение величины Aa приводит к всё меньшему влиянию зоны нечувствительности по сравнению с амплитудой входного сигнала, и при Aa → ∞ выходной сигнал становится равным входному сигналу, то есть коэффициент усиление стремится к единице.

Вернёмся к системе, изображённой на рис. 2.27. После линеаризации получим структурную схему, представленную на рис. 2.31.

f Wxf

W(s)

−

y

Wн(А) x

Рис. 2.31. Линеаризованная система

Для постоянной амплитуды А полученная система является линейной. Незатухающие колебания в линейной системе возможны, если эта система находится на колебательной границе устойчивости. Критерии нахождения системы на границе устойчивости могут быть самые разные: по алгебраическому критерию это равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, по критерию Михайлова – прохождение кривой Михай-

125

лова для замкнутой системы через начало координат, по критерию Найквиста – прохождение кривой АФЧХ разомкнутой системы через критическую точку (–1, j0). Чаще всего применяется последний критерий, а именно, критерий Найквиста.

АФЧХ разомкнутой системы (рис. 2.31) равна

W(jω)Wн(A). (2.3.47)

Условие нахождения замкнутой системы на границе устойчивости

W(jω)Wн(A)= −1.

Последнее условие можно представить в виде

Метод Л.С. Гольдфарба решения уравнения (2.3.48) и тем самым определения параметров возможных автоколебаний заключается в нахождении точки пересечения кривой АФЧХ линейной части W(jω) как функции частоты и кривой −1Wн (A) как функции амплитуды (рис. 2.32).

Частота автоколебаний ω определяется по годографу W(jω), а амплитуда – по годографу −1Wн (A). Определить, какая из точек пересечения (на рис. 2.32 – точки M и N) соответствует устойчивому (то есть реально существующему) предельному циклу, а какая неустойчивому, можно руководствуясь следующим простым правилом: если точка на годографе

−1Wн (A), соответствующая бо́льшему, чем точка пересечения, значению

126

Рис. 2.32. Метод Гольдфарба

амплитуды А, охватывается годографом W(jω), то эта точка соответствует неустойчивому предельному циклу, если не охватывается, – то устойчивому. То есть, если на рис. 2.32 выполняются неравенства A1<А2<А3<А4, то точка N соответствует неустойчивому, а точка M – устойчивому предельному циклу. Если точек пересечения годографов W(jω) и −1Wн (A) нет, это означает отсутствие автоколебаний в системе.

Можно также искать точки пересечения годографа обратной АФЧХ линейной части 1W(jω) и годографа −Wн(A), но это будет уже метод Коченбургера.

В случае постоянного внешнего воздействия f0 (рис. 2.31) оно вызывает на входе нелинейного элемента постоянную составляющую x0, и автоколебания следует искать в форме (2.3.40)

x = x0 + Asinωt .

При однозначной нечётной характеристике линеаризованное уравнение нелинейного элемента принимает вид

y = kг0x0 + (kг + jkг′)(x− x0 ).

127

Здесь уже три подлежащие определению неизвестные параметра: А, ω и x0.

Для постоянной составляющей имеем уравнение

Для гармонической составляющей справедлива та же передаточная функция (2.3.47).

Процедура определения параметров автоколебаний остаётся, в общем, той же, с той лишь разницей, что к уравнению (2.3.48), определяющему условия нахождения системы на границе устойчивости, добавляется уравнение (2.3.49). Можно предложить следующий порядок решения.

Сначала из уравнения (2.3.48) находим А и ω как функции постоянной составляющей x0, считая x0 постоянным неизвестным пока параметром

Далее подставляем эти зависимости в уравнение (2.3.49) и, решая полученное нелинейное уравнение, находим x0. Наконец, из зависимостей (2.3.50) определяем А и ω.

Если нелинейная характеристика несимметрична, при линеаризации нельзя применять коэффициент kг0, а следует пользоваться схемой рис. 2.29, б и соответствующим уравнением (2.3.43)

y = y0 + (kг + jkг′ )(x − x0 ).

128

Поскольку при таком представлении нелинейного звена оно в явном виде не замыкает систему по постоянной составляющей, вместо уравнения (2.3.49) нужно пользоваться уравнением

Если в системе постоянное внешнее воздействие отсутствует, последнее слагаемое в выражении (2.3.51) исчезнет.

Описанный выше метод гармонической линеаризации может быть применен и для систем, содержащих несколько нелинейностей, разделённых линейными звеньями. При этом если последние являются фильтрами нижних частот, каждая из нелинейных характеристик линеаризуется отдельно. В противном случае эти нелинейности вместе с промежуточными линейными звеньями следует рассматривать как одну сложную нелинейность.

Методику исследования автоколебаний при постоянном внешнем воздействии можно использовать и при медленно меняющихся (по сравнению с периодом автоколебаний) воздействиях. В частотной интерпретации это означает, что максимальная частота входного сигнала должна быть значительно меньше минимально возможной частоты автоколебаний в системе. Тогда можно считать, что за период колебаний входное воздействие практически постоянно.

Все приведённые формулы сохраняют силу, за исключением того, что в уравнениях (2.3.49), (2.3.51) для постоянной составляющей уже нельзя полагать p=0 и эти уравнения принимают вид:

– для симметричных нелинейностей

129

– для несимметричных нелинейностей

Последовательность решения сохраняется: по уравнению (2.3.48) находим зависимости A(x0 ), ω (x0 ); подставив найденные зависимости в выражения для y0 (A,ω, x0 ), получаем нелинейную зависимость y0 только от x0; подставляя полученное выражение в уравнения (2.3.52) или (2.3.53) получаем уравнение относительно только x0; решая эти уравнения, определяем x0 и по зависимостям A(x0 ), ω (x0 ) находим окончательно параметры автоколебаний.

Процесс решения уравнений (2.3.52) или (2.3.53) облегчается тем, что входящая в них нелинейная зависимость y0 от x0 часто довольно плавная даже для релейных нелинейностей и допускает обычную линеаризацию. То есть в значительном диапазоне изменения x0 коэффициент kг0 = y0 x0

можно считать постоянным. Такое явление сглаживания нелинейной зависимости колебательной составляющей сигнала называется вибрационной линеаризацией. Благодаря этому эффекту даже релейная система при наличии колебаний ведёт себя по отношению к медленно меняющимся воздействиям как обычная линейная система.

130